เมื่อเป็นตัวแปรต่อเนื่อง

ฉันรู้ว่าตัวแปรอย่างต่อเนื่อง 0 $P[X=x]=0$

แต่ฉันไม่สามารถจินตนาการได้ว่าถ้ามีจำนวนเป็นไปได้ไม่ จำกัด และทำไมความน่าจะเป็นของพวกเขาถึงน้อยมาก? $P[X=x]=0$ $x$

ความซ้ำซ้อนของความน่าจะเป็นแบบมีเงื่อนไขของตัวแปรต่อเนื่องที่เป็นไปได้

— ซีอาน

มีสองคะแนนเพื่อปิดคำถามนี้ซ้ำกัน ฉันไม่เห็นด้วย นี่เป็นหัวข้อพื้นฐานที่น่าสนใจซึ่งหนึ่งในนั้นอาจปรากฏตัวอีกครั้งในอนาคตดังนั้นจะดีถ้ามีคำตอบที่ตรงและมีคุณภาพสูงดังนั้นเราสามารถอ้างอิงได้ในอนาคต ลิงค์ที่ให้บริการโดย @ Xi'an อาจมีการทำซ้ำเหมือนกัน แต่ก็ค่อนข้างเฉพาะเจาะจงและหายากผ่านการค้นหา ลิงก์ยังไม่ได้ให้คำตอบที่ครบถ้วนสมบูรณ์ในขณะที่ภัยคุกคามนี้ดูเหมือนว่าจะมาบรรจบกัน ฉันคิดว่ามันควรเปิดทิ้งไว้เป็นข้อมูลอ้างอิงในอนาคต

— ทิม

มันอาจช่วยพิจารณาการผกผันของสถานการณ์นี้ ให้เป็นตัวแปรสุ่มใด ๆและให้เป็นจำนวนจริงบวกใด ๆ มีเพียงจำนวน จำกัด ของที่เป็นอย่างอื่น - โดยการเพิ่มความน่าจะเป็นเหล่านี้ทั้งหมดไปยังเหตุการณ์ที่แยกจากกัน

ซึ่งท้ายที่สุดก็เกิน1

(นี่คือคุณสมบัติ Archimedeanของจำนวนจริง) การใช้เหตุผลนี้มีสัจพจน์เพียงสามประการเท่านั้นคือความน่าจะเป็นของการเพิ่มเหตุการณ์ที่แยกจากกันความน่าจะเป็นทั้งหมดคือ

และความจริงของ Archimedean

X

$X$

ϵ

$\epsilon$

ω

$\omega$

Pr (X = ω) \geq ϵ

$\Pr(X=\omega)\ge\epsilon$

ϵ + ϵ + \dots

$\epsilon+\epsilon+\cdots$

1

$1$

1

$1$

— whuber

@ Tim ขอบคุณ แต่ผมโพสต์ความคิดนี้เป็นความคิดเห็นมากกว่าคำตอบเพราะมันไม่สมบูรณ์: ผมไม่ได้คิดออกวิธีการประถมศึกษาเพื่ออธิบายสิ่งที่เกิดขึ้นในขีด จำกัด เป็น

ϵ \to 0

$\epsilon\to 0$ 0 ดูเหมือนว่าจะต้องมีความรู้เกี่ยวกับความสำคัญของเซตอนันต์

— whuber

@ ซีอานฉันเห็นด้วย แต่สิ่งที่คุณเสนอนั้นไม่ซ้ำซ้อนกันพอสมควร นี่เป็นสิ่งที่ยากที่จะค้นหา คุณอาจทราบถึงหัวข้ออื่น ๆ ที่ทำซ้ำคำถามนี้หรือไม่

— whuber

คำตอบ:

ความน่าจะเป็นแบบจำลองสำหรับความถี่สัมพัทธ์ของการสังเกต หากเหตุการณ์สังเกตว่าเกิดขึ้นครั้งในการทดลองครั้งดังนั้นความถี่สัมพัทธ์ของมันคือ และโดยทั่วไปเชื่อว่าค่าตัวเลขของ อัตราส่วนข้างต้นเป็นค่าประมาณใกล้เคียงกับเมื่อคือ "ใหญ่"ซึ่งความหมายโดย "ใหญ่" คือสิ่งที่ดีที่สุดสำหรับจินตนาการ (และความงมงาย) ของผู้อ่าน $A$ $N_A$ $N$

relative frequency of (A) = \frac{N_{A}}{N}

$\text{relative frequency of }(A) = \frac{N_A}{N}$

P (A)

$P(A)$ $N$

ตอนนี้ก็มีการสังเกตว่าถ้ารูปแบบของเราเป็นที่ของตัวแปรสุ่มต่อเนื่องแล้วตัวอย่างของมี ตัวเลขที่แตกต่างกัน ดังนั้นความถี่สัมพัทธ์ของตัวเลขที่เฉพาะเจาะจง (หรือมากกว่า pedantically, เหตุการณ์ ) เป็นหากหนึ่งในมีค่าหรือหากทั้งหมดแตกต่างกัน จากxหากผู้อ่านสงสัยมากขึ้นเก็บเพิ่มอีก ตัวอย่างความถี่ญาติของเหตุการณ์ เป็นอย่างใดอย่างหนึ่ง $X$ $X$ $\{x_1, x_2, \ldots, x_N\}$ $N$ $x$ $\{X = x\}$ $\frac 1N$ $x_i$ $x$ $\frac 0N$ $x_i$ $x$ $N$ $\{X=x\}$ $\frac{1}{2N}$ หรือเพลิดเพลินกับค่าต่อไป ดังนั้นหนึ่งถูกล่อลวงให้คาดเดาว่าควรกำหนดค่าเนื่องจากเป็นค่าประมาณที่ดีสำหรับความถี่สัมพัทธ์ที่สังเกตได้ $\frac 0N$ $P\{X = x\}$ $0$

หมายเหตุ: คำอธิบายข้างต้นคือ (โดยปกติ) เป็นที่พอใจของวิศวกรและคนอื่น ๆ ที่สนใจในการประยุกต์ใช้ความน่าจะเป็นและสถิติ (เช่นคนที่เชื่อว่าสัจพจน์ของความน่าจะเป็นถูกเลือกเพื่อให้ทฤษฎี เป็นแบบจำลองที่ดีของความเป็นจริง) เพื่อคนอื่น ๆ นอกจากนี้ยังเป็นไปได้ที่จะเข้าถึงคำถามของคุณจากมุมมองทางคณิตศาสตร์หรือสถิติอย่างแท้จริงและพิสูจน์ว่าต้องมีค่าเมื่อใดก็ตามที่เป็นตัวแปรสุ่มต่อเนื่องผ่านการหักเชิงตรรกะจากสัจพจน์ของความน่าจะเป็น ความถี่สัมพัทธ์หรือการสังเกตทางกายภาพเป็นต้น $P\{X = x\}$ $0$ $X$

— Dilip Sarwate
แหล่งที่มา

+1 "หมายเหตุ: คำอธิบายข้างต้นคือ ... เป็นที่พอใจของผู้ที่เชื่อว่าสัจพจน์ของความน่าจะเป็นได้รับการคัดเลือกเพื่อที่จะทำให้ทฤษฎีเป็นแบบจำลองที่ดีของความเป็นจริง) แต่ไม่เป็นที่น่าพอใจโดยสิ้นเชิง ... " ใน ถ้อยคำที่ชื่นชอบของอินเทอร์เน็ต lol

— gung - Reinstate Monica

ฉันไม่เข้าใจสิ่งที่คุณหมายถึงโดยจะได้รับการตั้งข้อสังเกตว่าถ้าเป็นอย่างต่อเนื่องแล้ว $X$ ... เราจะสังเกตได้อย่างไร

— Stéphane Laurent

@ StéphaneLaurentประโยคนั้นซับซ้อนเล็กน้อยดังนั้นมันจึงอ่านใหม่ คำพูดที่เกี่ยวกับผู้ปกครองถูกถอดออกมามันบอกว่า "มันได้รับการสังเกตว่า ... ตัวอย่าง ... เป็นจำนวนที่แตกต่างกัน " ในคำอื่น ๆเมื่อหนึ่งสันนิษฐานว่ามีการกระจายอย่างต่อเนื่องแล้ว (เกือบแน่นอน) จะมีซ้ำกันในตัวอย่าง IID ใด ๆ แน่นอนไม่Xที่สามารถพิสูจน์ได้ทางคณิตศาสตร์: มันไม่ใช่แค่การสังเกต

N

$N$ $X$

X

$X$

— whuber

@ StéphaneLaurentฉันคิดว่าคำพูดของ Dilip นั้นถูกสร้างขึ้นมาในวิญญาณที่แตกต่างไปจากนั้น คำตอบนี้ไม่ได้เป็นความพยายามที่จะให้การสาธิตทางคณิตศาสตร์อย่างเข้มงวด แต่เพื่อให้สัญชาตญาณและแรงจูงใจสำหรับความจริงที่ว่าปริศนา OP ฉันรู้สึกทึ่งกับวิธีการนี้เพราะมันมีศักยภาพที่จะเชื่อมช่องว่างระหว่างทฤษฎีความน่าจะเป็นแบบแยกโดยสิ้นเชิงที่สอนแบบดั้งเดิมกับผู้เริ่มต้นและทฤษฎีความน่าจะเป็นทั่วไปยิ่งขึ้นโดยอิงตามทฤษฎีการวัด

— whuber

@ คนที่ฉันเข้าใจวิญญาณ แต่ในแวบแรกฉันไม่เชื่อว่าคุณสมบัติแบบไม่มีความสัมพันธ์นั้นง่ายกว่าคุณสมบัติความน่าจะเป็นศูนย์ สำหรับนี้เป็นจริงในสิ่งเดียวกัน " " 0

N = 2

$N=2$

x_{2} is never x_{1}

$x_2 \text{ is never } x_1$

⟺

$\iff$

Pr (X_{2} = x_{1}) = 0

$\Pr(X_2=x_1)=0$

— Stéphane Laurent

ให้เป็นพื้นที่ความน่าจะเป็นพื้นฐาน เราบอกว่าฟังก์ชั่นที่วัดค่าได้เป็นตัวแปรสุ่มอย่างต่อเนื่องถ้าวัดความน่าจะเป็นเหนือกำหนดโดยรู้จักกันในชื่อการกระจายของถูกครอบงำโดย Lebesgue วัดในแง่ที่ว่าทุก Borel เซตถ้าดังนั้น 0 ในกรณีนี้ทฤษฎีบท Radon-Nikodym บอกเราว่ามีวัดได้ $(\Omega,\mathscr{F},P)$ $X:\Omega\to\mathbb{R}$ $\mu_X$ $(\mathbb{R},\mathscr{B})$ $\mu_X(B)=P\{X\in B\}$ $X$ $\lambda$ $B$ $\lambda(B)=0$ $\mu_X(B)=0$ $f_X:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ ที่กำหนดไว้ถึงเกือบทุกที่เท่าเทียมกันเช่นว่า(x) Letเป็นเซตนับของ{R} เนื่องจากเป็นสารเติมแต่งมากมาย}) แต่ สำหรับทุก1 เนื่องจากทรัพย์สินอาร์คิมีดีนของจำนวนจริงตั้งแต่ความไม่เท่าเทียมกันเก็บไว้สำหรับทุก ๆถ้าหาก $\mu_X(B)=\int_B f(x)\,d\lambda(x)$ $B=\{x_1,x_2,\dots\}$ $\mathbb{R}$ $\lambda$ $\lambda(B)=\lambda\left(\cup_{i\geq 1}\{x_i\}\right)=\sum_{i\geq 1}\lambda(\{x_i\})$

λ ({x_{i}}) = λ (\cap_{k \geq 1} [x_{i}, x_{i} + 1 / k)) \leq λ ([x_{i}, x_{i} + 1 / n)) = \frac{1}{n}, (*)

$\lambda(\{x_i\}) = \lambda\left(\cap_{k\geq 1}[x_i,x_i+1/k)\right) \leq \lambda\left([x_i,x_i+1/n)\right) = \frac{1}{n} \, ,\qquad (*)$

n \geq 1

$n\geq 1$

λ ({x_{i}}) \geq 0

$\lambda(\{x_i\})\geq 0$

(*)

$(*)$

n \geq 1

$n\geq 1$

λ ({x_{i}}) = 0

$\lambda(\{x_i\})=0$ , ผูกพันที่ 0 จากการสันนิษฐานต่อเนื่องแน่นอนของมันตามที่ 0

λ (B) = 0

$\lambda(B)=0$

X

$X$

μ_{X} (B) = P {X \in B} = 0

$\mu_X(B)=P\{X\in B\}=0$

— เซน
แหล่งที่มา

ตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่องไม่จำเป็นต้องต่อเนื่องอย่างแน่นอน (อาจไม่มีความหนาแน่น)

— Zhanxiong

เรื่องเหลวไหล "ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง" เป็นชื่อที่ไม่เป็นทางการสำหรับ "ตัวแปรสุ่มซึ่งต่อเนื่องอย่างยิ่งเมื่อเทียบกับการวัด Lebesgue" ดังนั้น Radon-Nikodym รับประกันว่ามีความหนาแน่นอยู่ ตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงเอกพจน์ (เช่นคันทอร์) เป็นสิ่งที่แตกต่าง คุณกำลังทำให้เข้าใจผิดนักเรียนที่มีศักยภาพด้วยความคิดเห็นปลอมของคุณ

— Zen

เมื่อคุณวิจารณ์ใครบางคนโปรดแสดงการอ้างอิงที่คุณอ้างถึง ซึ่งน่าจะเป็นข้อความในหนังสือบอกว่า"ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง" เป็นชื่อทางการสำหรับ "ตัวแปรสุ่มซึ่งเป็นอย่างต่อเนื่องอย่างที่เกี่ยวกับการวัด Lebesgue" ? นอกจากนี้ปัญหานี้สามารถแก้ไขได้โดยไม่ต้องมีความหนาแน่นดูหลักฐานของฉันด้านล่าง

X

$X$

— Zhanxiong

Wikipedia ไม่เห็นด้วยกับคุณ @Solitary: " การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบต่อเนื่องคือการแจกแจงความน่าจะเป็นที่มีฟังก์ชั่นความหนาแน่นของความน่าจะเป็นนักคณิตศาสตร์ยังเรียกการแจกแจงแบบต่อเนื่องอย่างแน่นอน [... ]"

— อะมีบา

$X$ เป็นตัวแปรสุ่มต่อเนื่องหมายถึงฟังก์ชั่นการกระจายอย่างต่อเนื่อง นี้เป็นเงื่อนไขเดียวที่เรามี แต่จากที่เราได้มาที่0 $F$ $P(X = x) = 0$

ในความเป็นจริงโดยความต่อเนื่องของเรามีสำหรับทุก ๆดังนั้น: $F$ $F(x) = F(x-)$ $x \in \mathbb{R}^1$

P (X = x) = P (X \leq x) - P (X < x) = F (x) - F (x -) = 0.

$P(X = x) = P(X \leq x) - P(X < x) = F(x) - F(x-) = 0.$

— Zhanxiong
แหล่งที่มา

หากการแจกแจงของ rvคือคันทอร์ฟังก์ชันการแจกแจงนั้นจะต่อเนื่อง แต่เป็นตัวแปรสุ่มแบบเอกพจน์ ไม่ใช่ตัวแปรสุ่มต่อเนื่อง

X

$X$

X

$X$

— Zen

เพื่อนของฉันนี่อาจเป็นตัวอย่างกับคำตอบของคุณไม่ใช่ของฉัน เนื่องจากการดำรงอยู่ของrv เอกพจน์ต่อเนื่องดังกล่าวจึงจำเป็นต้องแยกrv สัมบูรณ์อย่างต่อเนื่องและrv ต่อเนื่องแบบเอกพจน์ถึงแม้ว่าฟังก์ชันการแจกแจงนั้นจะต่อเนื่องทั้งหมด การทำให้เท่าเทียมกันrv อย่างต่อเนื่องและrv ต่อเนื่องสัมบูรณ์ไม่ชัดเจน

— Zhanxiong

มันไม่ได้ แต่คุณจะไม่ได้ยินเพื่อนของฉัน

— Zen

โดยวิธีการที่คุณจริง "พิสูจน์" ว่าถ้าสำหรับทุกแล้วสำหรับทุกx

P (X = x) = 0

$P(X=x)=0$

x

$x$

P (X = x) = 0

$P(X=x)=0$

x

$x$

— Zen