ฉันสามารถคำนวณ

เราจะประเมินความคาดหวังของ CDF ปกติที่ยกกำลังสองในรูปแบบปิดได้อย่างไร?

E [Φ {(a Z + b)}^{2}] = \int_{- \infty}^{\infty} Φ {(a z + b)}^{2} ϕ (z) d z

$\mathbb{E}\left[\Phi\left(aZ+b\right)^{2}\right] = \int_{-\infty}^{\infty}\Phi\left(az+b\right)^{2}\phi(z)\,dz$

ที่นี่ ,คือจำนวนจริงและและเป็นฟังก์ชันความหนาแน่นและการกระจายของตัวแปรสุ่มมาตรฐานแบบปกติ ตามลำดับ $a$ $b$ $Z\sim\mathcal{N}(0,1)$ $\phi(\cdot)$ $\Phi(\cdot)$

mathematical-statistics

— อังเดร
แหล่งที่มา

คุณติดอยู่ที่ไหน คุณเคยลองประเมินมันหรือยัง? อาจใช้ข้อเท็จจริงที่ว่า

Var (g (X)) = E [g (X)^{2}] - (E [g (X)])^{2}

$\text{Var}(g(X))=E[g(X)^2]-(E[g(X)])^2$

— stoched

ฉันพยายามประเมินอินทิกรัลโดยใช้การรวมเข้าด้วยกันโดยใช้ชิ้นส่วนและเทคนิคอื่น ๆ (ง่าย ๆ ) แต่นั่นก็ไม่ได้นำพาฉันไปทุกที่ นอกจากนี้ฉันเริ่มจากความแปรปรวนเพื่อมาที่นี่ ฉันพบคำถามที่คล้ายกัน ( stats.stackexchange.com/questions/61080/… ) แต่การขยายไปยัง CDF กำลังสองดูเหมือนจะไม่สำคัญ

— Andrei

คุณคิดว่าใช้พิกัดเชิงขั้วหรือไม่?

— StatsStudent

ไม่ฉันไม่มีรายละเอียดหน่อยได้ไหม?

— Andrei

หากและแล้วกระจายอย่างสม่ำเสมอระหว่าง 0 และ 1 ขณะที่สองของมันคือแล้ว1/3ฉันจำได้ว่าพยายามคำนวณบางอย่างเช่นสิ่งที่คุณขอให้และทั่วไป แต่ฉันไม่พบวิธีแก้ปัญหาแบบปิด

b = 0

$b=0$

a = 1

$a=1$

Φ (Z)

$\Phi(Z)$

1 / 3

$1/3$

a

$a$

b

$b$

— StijnDeVuyst

ตามที่ระบุไว้ในความคิดเห็นของฉันข้างต้นตรวจสอบ Wikipedia สำหรับรายการอินทิกรัลของฟังก์ชันเกาส์เซียน โดยใช้สัญกรณ์ของคุณจะช่วยให้ที่คือฟังก์ชัน T ของ Owen ที่กำหนดโดย

\int_{- \infty}^{\infty} Φ (a z + b)^{2} ϕ (z) d z = Φ (\frac{b}{\sqrt{1 + a^{2}}}) - 2 T (\frac{b}{\sqrt{1 + a^{2}}}, \frac{1}{\sqrt{1 + 2 a^{2}}}),

$\int_{-\infty}^{\infty} \Phi (az+b)^2 \phi(z) dz=\Phi \left( {{b} \over {\sqrt{1+a^2}} }\right) - 2T \left( {{b} \over {\sqrt{1+a^2}}} \ , {{1} \over {\sqrt{1+2a^2}}} \right) ,$

T (h, q)

$T(h,q)$

T (h, q) = ϕ (h) \int_{0}^{q} \frac{ϕ (h x)}{1 + x^{2}} d x

$T(h,q)=\phi(h) \int_0^q {{\phi(hx) } \over {1+x^2}} dx$

หากคุณเสียบคุณจะได้รับ $a=1,b=0$ ตามความคิดเห็นที่บ่งบอกว่าคุณควร $1 \over 3$

— soakley
แหล่งที่มา

ขอบคุณมากนี่คือสิ่งที่ฉันกำลังมองหา

— อังเดร