เกณฑ์การคำนวณสำหรับตัวแยกประเภทความเสี่ยงขั้นต่ำ

สมมติว่าสองชั้นและมีแอตทริบิวต์และมีการกระจายและ0.5) หากเรามีค่าเท่ากับก่อนหน้าสำหรับเมทริกซ์ต้นทุนต่อไปนี้: $C_1$ $C_2$ $x$ $\cal{N} (0, 0.5)$ $\cal{N} (1, 0.5)$ $P(C_1)=P(C_2)=0.5$

$L= \begin{bmatrix} 0 & 0.5 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}$

ทำไมเป็นเกณฑ์สำหรับตัวจำแนกประเภทความเสี่ยงขั้นต่ำ (ราคา) $x_0 < 0.5$

นี่คือตัวอย่างบันทึกย่อของฉันที่ฉันเข้าใจผิด (เช่นจะถึงเกณฑ์นี้ได้อย่างไร)

แก้ไข 1: ฉันคิดว่าอัตราส่วนของอัตราส่วนความน่าจะเป็นที่เราสามารถใช้ P (C1) / P (C2)

แก้ไข 2: ฉันเพิ่มจากหนังสือ Duda ในรูปแบบข้อความบางอย่างเกี่ยวกับเกณฑ์ ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

— user153695
แหล่งที่มา

สำหรับเมทริกซ์ต้นทุน

L = [\begin{matrix} 0 & 0.5 \\ 1 & 0 \end{matrix}] \begin{matrix} ค_{1} \\ ค_{2} \end{matrix} คาดการณ์ \begin{matrix} ค_{1} & ค_{2} \end{matrix} ความจริง

$L= \begin{bmatrix} 0 & 0.5 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{matrix} c_1 \\ c_2 \end{matrix} \;\text{prediction} \\ \hspace{-1.9cm} \begin{matrix} c_1 & c_2 \end{matrix} \\ \hspace{-1.9cm}\text{truth}$

การสูญเสียของการเรียนการทำนายเมื่อความจริงก็คือระดับเป็นและค่าใช้จ่ายในการคาดการณ์การเรียนเมื่อความจริงก็คือระดับเป็น 1มีค่าใช้จ่ายสำหรับการคาดการณ์ที่ถูกต้องไม่เป็น 0ความเสี่ยงตามเงื่อนไขสำหรับการทำนายคลาสนั้นคือ $c_1$ $c_2$ $L_{12} = 0.5$ $c_2$ $c_1$ $L_{21} = 1$ $L_{11} = L_{22} = 0$ $R$ $k$

\begin{aligned} R (ค_{1} | x) & = L_{11} ราคา (ค_{1} | x) + L_{12} ราคา (ค_{2} | x) = L_{12} ราคา (ค_{2} | x) \\ R (ค_{2} | x) & = L_{22} ราคา (ค_{2} | x) + L_{21} ราคา (ค_{1} | x) = L_{21} ราคา (ค_{1} | x) \end{aligned}

$\begin{align} R(c_1|x) &= L_{11} \Pr (c_1|x) + L_{12} \Pr (c_2|x) = L_{12} \Pr (c_2|x) \\ R(c_2|x) &= L_{22} \Pr (c_2|x) + L_{21} \Pr (c_1|x) = L_{21} \Pr (c_1|x) \end{align}$

เพื่อลดความเสี่ยง / การสูญเสียให้น้อยที่สุดคุณทำนายถ้าค่าใช้จ่ายจากความผิดพลาดในการทำเช่นนั้น (นั่นคือการสูญเสียการคาดคะเนผิดครั้งที่ความน่าจะเป็นหลังที่การทำนายผิด ) เล็กกว่าค่าใช้จ่ายในการทำนายทางเลือกโดยมิชอบ $c_1$ $L_{12} \Pr (c_2|x)$

\begin{aligned} L_{12} ราคา (ค_{2} | x) & < L_{21} ราคา (ค_{1} | x) \\ L_{12} ราคา (x | ค_{2}) ราคา (ค_{2}) & < L_{21} ราคา (x | ค_{1}) ราคา (ค_{1}) \\ \frac{L_{12} ราคา (ค_{2})}{L_{21} ราคา (ค_{1})} & < \frac{ราคา (x | ค_{1})}{ราคา (x | ค_{2})} \end{aligned}

$\begin{align} L_{12} \Pr (c_2|x) &< L_{21} \Pr (c_1|x) \\ L_{12} \Pr (x|c_2) \Pr (c_2) &< L_{21} \Pr (x|c_1) \Pr (c_1) \\ \frac{L_{12} \Pr (c_2)}{L_{21} \Pr (c_1)} &< \frac{\Pr (x|c_1)}{ \Pr (x|c_2)} \end{align}$ ที่บรรทัดที่สองใช้กฎของเบย์(c_2) ให้ความน่าจะเป็นก่อนหน้าเท่ากับคุณได้

Pr (c_{2} | x) \propto Pr (x | c_{2}) Pr (c_{2})

$\Pr (c_2|x) \propto \Pr (x|c_2) \Pr (c_2)$

Pr (c_{1}) = Pr (c_{2}) = 0.5

$\Pr (c_1) = \Pr (c_2) = 0.5$

\frac{1}{2} < \frac{ราคา (x | ค_{1})}{ราคา (x | ค_{2})}

$\frac{1}{2} < \frac{\Pr (x|c_1)}{ \Pr (x|c_2)}$

ดังนั้นคุณเลือกที่จะจัดประเภทการสังเกตเนื่องจากเป็นอัตราส่วนความน่าจะเป็นที่สูงกว่าเกณฑ์นี้ ตอนนี้มันไม่ชัดเจนกับผมว่าคุณต้องการที่จะรู้ว่า "เกณฑ์ที่ดีที่สุด" ในแง่ของอัตราส่วนความเป็นไปได้หรือในแง่ของแอตทริบิวต์xคำตอบจะเปลี่ยนไปตามฟังก์ชั่นค่าใช้จ่าย การใช้ Gaussian ในความไม่เท่าเทียมกับและ , , $c_1$ $x$ $\sigma_1 = \sigma_2 = \sigma$ $\mu_1 = 0$ $\mu_2 = 1$

\begin{aligned} \frac{1}{2} & < \frac{\frac{1}{\sqrt{2 π} σ} ประสบการณ์ [- \frac{1}{2 σ^{2}} (x - μ_{1})^{2}]}{\frac{1}{\sqrt{2 π} σ} ประสบการณ์ [- \frac{1}{2 σ^{2}} (x - μ_{2})^{2}]} \\ เข้าสู่ระบบ (\frac{1}{2}) & < เข้าสู่ระบบ (\frac{1}{\sqrt{2 π} σ}) - \frac{1}{2 σ^{2}} (x - 0)^{2} - [เข้าสู่ระบบ (\frac{1}{\sqrt{2 π} σ}) - \frac{1}{2 σ^{2}} (x - 1)^{2}] \\ เข้าสู่ระบบ (\frac{1}{2}) & < - \frac{x^{2}}{2 σ^{2}} + \frac{x^{2}}{2 σ^{2}} - \frac{2 x}{2 σ^{2}} + \frac{1}{2 σ^{2}} \\ \frac{x}{σ^{2}} & < \frac{1}{2 σ^{2}} - เข้าสู่ระบบ (\frac{1}{2}) \\ x & < \frac{1}{2} - เข้าสู่ระบบ (\frac{1}{2}) σ^{2} \end{aligned}

$\begin{align} \frac{1}{2} &< \frac{\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp \left[ -\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu_1)^2 \right]}{\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp \left[ -\frac{1}{2\sigma^2}(x-\mu_2)^2 \right]} \\ \log \left(\frac{1}{2}\right) &< \log \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\right) -\frac{1}{2\sigma^2}(x-0)^2 - \left[ \log \left(\frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\right) -\frac{1}{2\sigma^2}(x-1)^2 \right] \\ \log \left(\frac{1}{2}\right) &< -\frac{x^2}{2\sigma^2} + \frac{x^2}{2\sigma^2} - \frac{2x}{2\sigma^2} + \frac{1}{2\sigma^2} \\ \frac{x}{\sigma^2} &< \frac{1}{2\sigma^2} - \log \left(\frac{1}{2}\right) \\ x &< \frac{1}{2} - \log \left(\frac{1}{2}\right) \sigma^2 \end{align}$ ดังนั้นเกณฑ์การทำนายในแง่ของ

x

$x$ ในขณะที่คุณค้นหาสามารถทำได้ก็ต่อเมื่อการสูญเสียจากการคาดการณ์ที่ผิดพลาดเหมือนกันนั่นคือเพราะเมื่อนั้นคุณจะมีและคุณจะได้รับ{2}

L_{12} = L_{21}

$L_{12} = L_{21}$

\log (\frac{L_{12}}{L_{21}}) = \log (1) = 0

$\log \left( \frac{L_{12}}{L_{21}} \right) = \log (1) = 0$

x_{0} < \frac{1}{2}

$x_0 < \frac{1}{2}$

— แอนดี้
แหล่งที่มา

คำตอบที่ดี แต่ฉันสับสน! ถ้าคุณต้องการเลือกหรืออันไหนถูกต้อง?

x_{0} = 0.5

$x_0=0.5$

x_{0} < 0.5

$x_0<0.5$

— user153695

ดังนั้นในขอบเขตการตัดสินใจคุณไม่สามารถบอกได้อย่างแน่ชัดว่าการสังเกตควรอยู่ในชั้นหนึ่งหรือสอง (เพราะอยู่บนขอบเขต) ดังนั้นการเลือกว่าการสังเกตควรอยู่ในคลาส 1 หรือไม่ถ้าหรือขึ้นอยู่กับคุณ ด้วยตัวอย่างขนาดใหญ่ที่เพียงพอสิ่งนี้น่าจะเกิดขึ้นสำหรับการสังเกตน้อยมากดังนั้นเมื่อถึงระยะขอบมันจะทำให้เกิดครอกสำหรับผลลัพธ์ของคุณ

x_{0} = 0.5

$x_0=0.5$

i

$i$

x_{0} \leq 0.5

$x_0 \leq 0.5$

x_{0} < 0.5

$x_0 < 0.5$

— Andy

ปัญหาของฉันทั้งหมดที่ตั้งค่าหัวมันไว้กับศาสตราจารย์ของฉัน คำนวณและไม่ยอมรับโปรดดูที่แก้ไขของฉันในคำถามผมเกณฑ์บางควรจะx_0

x_{0} < 0.5

$x_0<0.5$

x_{0} = 0.5

$x_0=0.5$

x_{0} < 0.5

$x_0<0.5$

— user153695

อาจ 0.5-ln :)

— 153695

@ เมื่อไรขอบคุณฉันพลาดอย่างสมบูรณ์ดังนั้นฉันจึงเริ่มต้นจากจุดจบที่ผิดอย่างสมบูรณ์

— Andy