ความแปรปรวนของโคเฮนสถิติ


12

Cohen'sเป็นหนึ่งในวิธีการทั่วไปที่เราวัดขนาดของเอฟเฟกต์ ( ดู Wikipedia ) มันวัดระยะห่างระหว่างสองวิธีในแง่ของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานที่รวมเข้าด้วยกัน เราจะได้สูตรทางคณิตศาสตร์ของการประมาณค่าความแปรปรวนของ Cohen'sอย่างไร dd

ธันวาคม 2015 แก้ไข:ที่เกี่ยวข้องกับคำถามนี้เป็นความคิดของการคำนวณช่วงความเชื่อมั่นทั่วdบทความนี้กล่าวว่าd

σd2=n+n×+d22n+

โดยที่คือผลรวมของขนาดตัวอย่างสองขนาดและเป็นผลิตภัณฑ์ของขนาดตัวอย่างสองขนาด n ×n+n×

สูตรนี้มีวิธีมาอย่างไร


@Clarinetist: มันค่อนข้างขัดแย้งในการแก้ไขคำถามของบุคคลอื่นเพื่อเพิ่มเนื้อหาเพิ่มเติมและคำถามเพิ่มเติม (เทียบกับการปรับปรุงถ้อยคำ) ฉันใช้เสรีภาพในการอนุมัติการแก้ไขของคุณ (เนื่องจากคุณได้รับความโปรดปรานและฉันคิดว่าการแก้ไขของคุณจะปรับปรุงคำถาม) แต่คนอื่น ๆ อาจตัดสินใจย้อนกลับ
อะมีบาพูดว่า Reinstate Monica

1
@amoeba ไม่มีปัญหา ตราบใดที่มีสูตรสำหรับ (ซึ่งไม่เคยมีมาก่อน) และเป็นที่ชัดเจนว่าเรากำลังมองหาสูตรที่ได้มาทางคณิตศาสตร์ σd2
Clarinetist

ผมคิดว่าส่วนของส่วนที่สองที่ควรจะเป็น2) ดูคำตอบของฉันด้านล่าง 2(n+2)

คำตอบ:


15

โปรดทราบว่าการแสดงออกของความแปรปรวนในคำถามเป็นการประมาณ Hedges (1981)ได้รับความแปรปรวนตัวอย่างขนาดใหญ่ของและการประมาณค่าในการตั้งค่าทั่วไป (เช่นการทดลอง / การศึกษาหลาย ๆ ครั้ง) และคำตอบของฉันค่อนข้างเดินผ่านการพิสูจน์ในกระดาษd

ก่อนอื่นสมมติฐานที่เราจะใช้มีดังต่อไปนี้:

สมมติว่าเรามีกลุ่มการรักษาอิสระสองกลุ่มคือ (การรักษา) และ (การควบคุม) ให้และเป็นคะแนน / การตอบสนอง / อะไรก็ได้จากหัวเรื่องในกลุ่มและหัวเรื่องในกลุ่มตามลำดับC Y T ฉัน Y C jฉันT j CTCYTiYCjiTjC

เราคาดว่าคำตอบจะได้รับการเผยแพร่ตามปกติและกลุ่มการรักษาและการควบคุมมีความแปรปรวนร่วมกันเช่น

YTiN(μT,σ2),i=1,nTYCjN(μC,σ2),j=1,nC

ขนาดผลที่เรากำลังสนใจในการประเมินในแต่ละศึกษาซิก} ตัวประมาณขนาดเอฟเฟกต์ที่เราจะใช้คือ ที่คือความแปรปรวนของกลุ่มตัวอย่างที่เป็นกลางสำหรับกลุ่มk δ=μTμCσ

d=Y¯TY¯C(nT1)ST2+(nC1)SC2nT+nC2
Sk2k

ลองพิจารณาคุณสมบัติขนาดใหญ่ตัวอย่างd d

ก่อนอื่นให้สังเกตว่า: และ (หลวมด้วยสัญลักษณ์ของฉัน): และ

Y¯TY¯CN(μTμC,σ2nT+nCnTnC)
(1)(nT1)ST2σ2(nT+nC2)=1nT+nC2(nT1)ST2σ21nT+nC2χnT12
(2)(nC1)SC2σ2(nT+nC2)=1nT+nC2(nC1)SC2σ21nT+nC2χnC12

สมการ (1) และ (2) นำไปสู่ความจริงที่ว่า (อีกครั้งเป็นอิสระกับสัญกรณ์ของฉัน):

1σ2(nT1)ST2+(nC1)SC2nT+nC21nT+nC2χnT+nC22

ตอนนี้พีชคณิตที่ฉลาด: โดยที่

d=Y¯TY¯C(nT1)ST2+(nC1)SC2nT+nC2=(σnT+nCnTnC)1(Y¯TY¯C)(σnT+nCnTnC)1(nT1)ST2+(nC1)SC2nT+nC2=(Y¯TY¯C)(μTμC)σnT+nCnTnC+μTμCσnT+nCnTnC(nT+nCnTnC)1(nT1)ST2+(nC1)SC2σ2(nT+nC2)=nT+nCnTnC(θ+δnTnCnT+nCVν)
θN(0,1),และn_C-2 ดังนั้นคือตัวแปรซึ่งตามหลังการกระจาย t ที่ไม่ใช่ศูนย์กลางด้วยองศาอิสระและพารามิเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์กลางของn_C}}Vχν2ν=nT+nC2dnT+nCnTnCnT+nC2δnTnCnT+nC

การใช้คุณสมบัติโมเมนต์ของการแจกแจงแบบ non-centraltจึงเป็นไปตามนั้น: โดยที่

(3)Var(d)=(nT+nC2)(nT+nC4)(nT+nC)nTnC(1+δ2nTnCnT+nC)δ2b2
b=Γ(nT+nC22)nT+nC22Γ(nT+nC32)134(nT+nC2)1

ดังนั้นสมการ (3) แสดงความแปรปรวนตัวอย่างขนาดใหญ่ที่แน่นอน โปรดทราบว่าตัวประมาณค่าที่ไม่เอนเอียงสำหรับคือพร้อมความแปรปรวน:δbd

Var(bd)=b2(nT+nC2)(nT+nC4)(nT+nC)nTnC(1+δ2nTnCnT+nC)δ2

สำหรับองศาอิสระขนาดใหญ่ (เช่นขนาดใหญ่) การแปรปรวนของ non-centralแปรปรวนกับองศาอิสระและพารามิเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์กลางสามารถประมาณ ( Johnson, Kotz, Balakrishnan, 1995 ) ดังนั้นเราจึงมี: nT+nC2tνp1+p22ν

Var(d)nT+nCnTnC(1+δ2(nTnCnT+nC)2(nT+nC2))=nT+nCnTnC+δ22(nT+nC2)

เชื่อมต่อตัวประมาณของเราสำหรับและเสร็จแล้วδ


ดีมากมามาก เพียงไม่กี่คำถาม: 1) คุณช่วยอธิบายได้ไหมว่าสัญกรณ์หมายถึงอะไร (ฉันรู้ว่ามันเกี่ยวข้องกับความแตกต่าง ตัวอย่างหมายถึง แต่พวกเขาทั้งสองมีดัชนีเดียวกันได้อย่างไร) 2) คุณช่วยอธิบายได้อย่างไรว่าการประมาณค่าสำหรับเสร็จสิ้นแล้ว (ฉันไม่ต้องการรายละเอียดทั้งหมดแหล่งข้อมูลก็ดีและอาจอธิบายสั้น ๆ ) มิฉะนั้นฉันค่อนข้างพอใจกับสิ่งนี้ (+1) สิ่งนี้ก็เห็นด้วยกับข้อสังเกตที่ฉันทำไว้ว่าไม่เป็นไปตามการแจกแจงแบบปกติตรงกันข้ามกับคำอธิบายในบทความที่เชื่อมโยงใน OP bdY¯iTY¯iCbd
Clarinetist

@Clarinetist ขอบคุณ! 1) พวกเขามีดัชนีเดียวกันได้อย่างไร นั่นเป็นวิธี! : P พวกเขาเป็นสิ่งประดิษฐ์ของร่างคำตอบแรกของฉัน ฉันจะแก้ไขมัน 2) ฉันดึงมันออกมาจากกระดาษ Hedges - ไม่รู้ว่ามันมาในขณะนี้ แต่จะลองคิดดูอีกที

ฉันกำลังมองหาในรากศัพท์ในขณะนี้ แต่ FYI, เศษของควรจะขวา) Γ ( n T + n C - 2bΓ(nT+nC22)
Clarinetist

มาให้สำหรับการอ้างอิง: math.stackexchange.com/questions/1564587/... ปรากฎว่ามีข้อผิดพลาดของสัญญาณ
Clarinetist

@ ไมค์: คำตอบที่น่าประทับใจมาก ขอขอบคุณที่สละเวลาแบ่งปันกับเรา
เดนิส Cousineau
โดยการใช้ไซต์ของเรา หมายความว่าคุณได้อ่านและทำความเข้าใจนโยบายคุกกี้และนโยบายความเป็นส่วนตัวของเราแล้ว
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.