ความแปรปรวนของโคเฮนสถิติ

Cohen'sเป็นหนึ่งในวิธีการทั่วไปที่เราวัดขนาดของเอฟเฟกต์ ( ดู Wikipedia ) มันวัดระยะห่างระหว่างสองวิธีในแง่ของค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานที่รวมเข้าด้วยกัน เราจะได้สูตรทางคณิตศาสตร์ของการประมาณค่าความแปรปรวนของ Cohen'sอย่างไร $d$$d$

ธันวาคม 2015 แก้ไข:ที่เกี่ยวข้องกับคำถามนี้เป็นความคิดของการคำนวณช่วงความเชื่อมั่นทั่วdบทความนี้กล่าวว่า$d$

$$\sigma_{d}^2 = \dfrac{n_{+}}{n_{\times}} + \dfrac{d^2}{2n_{+}}$$

โดยที่คือผลรวมของขนาดตัวอย่างสองขนาดและเป็นผลิตภัณฑ์ของขนาดตัวอย่างสองขนาด n $n_{+}$$n_{\times}$

สูตรนี้มีวิธีมาอย่างไร

โปรดทราบว่าการแสดงออกของความแปรปรวนในคำถามเป็นการประมาณ Hedges (1981)ได้รับความแปรปรวนตัวอย่างขนาดใหญ่ของและการประมาณค่าในการตั้งค่าทั่วไป (เช่นการทดลอง / การศึกษาหลาย ๆ ครั้ง) และคำตอบของฉันค่อนข้างเดินผ่านการพิสูจน์ในกระดาษ$d$

ก่อนอื่นสมมติฐานที่เราจะใช้มีดังต่อไปนี้:

สมมติว่าเรามีกลุ่มการรักษาอิสระสองกลุ่มคือ (การรักษา) และ (การควบคุม) ให้และเป็นคะแนน / การตอบสนอง / อะไรก็ได้จากหัวเรื่องในกลุ่มและหัวเรื่องในกลุ่มตามลำดับC Y T ฉัน Y C jฉันT j $T$$C$$Y_{Ti}$$Y_{Cj}$$i$$T$$j$$C$

เราคาดว่าคำตอบจะได้รับการเผยแพร่ตามปกติและกลุ่มการรักษาและการควบคุมมีความแปรปรวนร่วมกันเช่น

$$\begin{align*} Y_{Ti} &\sim N(\mu_T, \sigma^2), \quad i = 1, \dots n_T \\ Y_{Cj} &\sim N(\mu_C, \sigma^2), \quad j = 1, \dots n_C \end{align*}$$

ขนาดผลที่เรากำลังสนใจในการประเมินในแต่ละศึกษาซิก} ตัวประมาณขนาดเอฟเฟกต์ที่เราจะใช้คือ ที่คือความแปรปรวนของกลุ่มตัวอย่างที่เป็นกลางสำหรับกลุ่มk $\delta = \frac{\mu_T - \mu_C}{\sigma}$

$$\begin{equation*} d = \frac{\bar{Y}_T - \bar{Y}_C}{\sqrt{\frac{(n_T - 1)S_T^2 + (n_C - 1)S_C^2}{n_T + n_C - 2}}} \end{equation*}$$ $S_k^2$$k$

ลองพิจารณาคุณสมบัติขนาดใหญ่ตัวอย่างd $d$

ก่อนอื่นให้สังเกตว่า: และ (หลวมด้วยสัญลักษณ์ของฉัน): และ

$$\begin{equation*} \bar{Y}_T - \bar{Y}_C \sim N \Bigg( \mu_T - \mu_C, \,\sigma^2\frac{n_T + n_C}{n_T n_C} \Bigg) \end{equation*}$$ $$\begin{equation} \frac{(n_T - 1)S_T^{2}}{\sigma^2(n_T + n_C - 2)} = \frac{1}{n_T + n_C - 2}\frac{(n_T - 1)S_T^{2}}{\sigma^2} \sim \frac{1}{n_T + n_C- 2}\chi_{n_T - 1}^2 \tag{1} \end{equation}$$ $$\begin{equation} \frac{(n_C - 1)S_C^{2}}{\sigma^2(n_T + n_C - 2)} = \frac{1}{n_T + n_C - 2}\frac{(n_C - 1)S_C^{2}}{\sigma^2} \sim \frac{1}{n_T + n_C- 2}\chi_{n_C - 1}^2 \tag{2} \end{equation}$$

สมการ (1) และ (2) นำไปสู่ความจริงที่ว่า (อีกครั้งเป็นอิสระกับสัญกรณ์ของฉัน):

$$\begin{equation*} \frac{1}{\sigma^2}\frac{(n_T - 1)S_T^{2} + (n_C - 1)S_C^{2}}{n_T + n_C - 2} \sim \frac{1}{n_T + n_C - 2}\chi_{n_T + n_C - 2}^2 \end{equation*}$$

ตอนนี้พีชคณิตที่ฉลาด: โดยที่

$$\begin{align*} d &= \frac{\bar{Y}_T - \bar{Y}_C}{\sqrt{\frac{(n_T - 1)S_T^2 + (n_C - 1)S_C^2}{n_T + n_C - 2}}} \\\\ &= \frac{\left(\sigma\sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}\right)^{-1}(\bar{Y}_T - \bar{Y}_C)}{\left(\sigma\sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}\right)^{-1}\sqrt{\frac{(n_T - 1)S_T^2 + (n_C - 1)S_C^2}{n_T + n_C - 2}}} \\\\ &= \frac{\frac{(\bar{Y}_T - \bar{Y}_C) - (\mu_T - \mu_C)}{\sigma\sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}} + \frac{\mu_T - \mu_C}{\sigma\sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}}}{\left(\sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}\right)^{-1}\sqrt{\frac{(n_T - 1)S_T^2 + (n_C - 1)S_C^2}{\sigma^2(n_T + n_C - 2)}}} \\\\ &= \sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}\left(\frac{\theta + \delta\sqrt{\frac{n_T n_C}{n_T + n_C}}}{\sqrt{\frac{V}{\nu}}}\right) \end{align*}$$ $\theta \sim N(0,1)$,และn_C-2 ดังนั้นคือตัวแปรซึ่งตามหลังการกระจาย t ที่ไม่ใช่ศูนย์กลางด้วยองศาอิสระและพารามิเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์กลางของn_C}}$V \sim \chi^2_{\nu}$$\nu = n_T+n_C-2$$d$$\sqrt{\frac{n_T + n_C}{n_T n_C}}$$n_T + n_C - 2$$\delta\sqrt{\frac{n_T n_C}{n_T + n_C}}$

การใช้คุณสมบัติโมเมนต์ของการแจกแจงแบบ non-central$t$จึงเป็นไปตามนั้น: โดยที่

$$\begin{equation*} \mathrm{Var}(d) = \frac{(n_T + n_C - 2)}{(n_T + n_C - 4)}\frac{(n_T + n_C)}{n_T n_C}(1+ \delta^2\frac{n_T n_C}{n_T + n_C}) - \frac{\delta^2}{b^2} \tag{3} \end{equation*}$$ $$\begin{equation*} b = \frac{\Gamma\left(\frac{n_T + n_C - 2}{2}\right)}{\sqrt{\frac{n_T+n_C-2}{2}}\Gamma\left(\frac{n_T+n_C-3}{2}\right)} \approx 1 - \frac{3}{4(n_T+n_C-2)-1} \end{equation*}$$

ดังนั้นสมการ (3) แสดงความแปรปรวนตัวอย่างขนาดใหญ่ที่แน่นอน โปรดทราบว่าตัวประมาณค่าที่ไม่เอนเอียงสำหรับคือพร้อมความแปรปรวน:$\delta$$b d$

$$\begin{equation*} \mathrm{Var}(bd) = b^2\frac{(n_T + n_C - 2)}{(n_T + n_C - 4)}\frac{(n_T + n_C)}{n_T n_C}(1+ \delta^2\frac{n_T n_C}{n_T + n_C}) - \delta^2 \end{equation*}$$

สำหรับองศาอิสระขนาดใหญ่ (เช่นขนาดใหญ่) การแปรปรวนของ non-centralแปรปรวนกับองศาอิสระและพารามิเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์กลางสามารถประมาณ ( Johnson, Kotz, Balakrishnan, 1995 ) ดังนั้นเราจึงมี: $n_T+n_C-2$$t$$\nu$$p$$1 + \frac{p^2}{2\nu}$

$$\begin{align*} \mathrm{Var}(d) &\approx \frac{n_T + n_C}{n_T n_C}\left(1 + \frac{\delta^2\left(\frac{n_T n_C}{n_T + n_C}\right)}{2(n_T+n_C-2)}\right) \\\\ &= \frac{n_T + n_C}{n_T n_C} + \frac{\delta^2}{2(n_T+n_C-2)} \end{align*}$$

เชื่อมต่อตัวประมาณของเราสำหรับและเสร็จแล้ว$\delta$