โปรดทราบว่าการแสดงออกของความแปรปรวนในคำถามเป็นการประมาณ Hedges (1981)ได้รับความแปรปรวนตัวอย่างขนาดใหญ่ของและการประมาณค่าในการตั้งค่าทั่วไป (เช่นการทดลอง / การศึกษาหลาย ๆ ครั้ง) และคำตอบของฉันค่อนข้างเดินผ่านการพิสูจน์ในกระดาษd
ก่อนอื่นสมมติฐานที่เราจะใช้มีดังต่อไปนี้:
สมมติว่าเรามีกลุ่มการรักษาอิสระสองกลุ่มคือ (การรักษา) และ (การควบคุม) ให้และเป็นคะแนน / การตอบสนอง / อะไรก็ได้จากหัวเรื่องในกลุ่มและหัวเรื่องในกลุ่มตามลำดับC Y T ฉัน Y C jฉันT j CTCYTiYCjiTjC
เราคาดว่าคำตอบจะได้รับการเผยแพร่ตามปกติและกลุ่มการรักษาและการควบคุมมีความแปรปรวนร่วมกันเช่น
YTiYCj∼N(μT,σ2),i=1,…nT∼N(μC,σ2),j=1,…nC
ขนาดผลที่เรากำลังสนใจในการประเมินในแต่ละศึกษาซิก} ตัวประมาณขนาดเอฟเฟกต์ที่เราจะใช้คือ
ที่คือความแปรปรวนของกลุ่มตัวอย่างที่เป็นกลางสำหรับกลุ่มk δ=μT−μCσ
d=Y¯T−Y¯C(nT−1)S2T+(nC−1)S2CnT+nC−2−−−−−−−−−−−−−√
S2kk
ลองพิจารณาคุณสมบัติขนาดใหญ่ตัวอย่างd d
ก่อนอื่นให้สังเกตว่า:
และ (หลวมด้วยสัญลักษณ์ของฉัน):
และ
Y¯T−Y¯C∼N(μT−μC,σ2nT+nCnTnC)
(nT−1)S2Tσ2(nT+nC−2)=1nT+nC−2(nT−1)S2Tσ2∼1nT+nC−2χ2nT−1(1)
(nC−1)S2Cσ2(nT+nC−2)=1nT+nC−2(nC−1)S2Cσ2∼1nT+nC−2χ2nC−1(2)
สมการ (1) และ (2) นำไปสู่ความจริงที่ว่า (อีกครั้งเป็นอิสระกับสัญกรณ์ของฉัน):
1σ2(nT−1)S2T+(nC−1)S2CnT+nC−2∼1nT+nC−2χ2nT+nC−2
ตอนนี้พีชคณิตที่ฉลาด:
โดยที่
d=Y¯T−Y¯C(nT−1)S2T+(nC−1)S2CnT+nC−2−−−−−−−−−−−−−√=(σnT+nCnTnC−−−−−√)−1(Y¯T−Y¯C)(σnT+nCnTnC−−−−−√)−1(nT−1)S2T+(nC−1)S2CnT+nC−2−−−−−−−−−−−−−√=(Y¯T−Y¯C)−(μT−μC)σnT+nCnTnC√+μT−μCσnT+nCnTnC√(nT+nCnTnC−−−−−√)−1(nT−1)S2T+(nC−1)S2Cσ2(nT+nC−2)−−−−−−−−−−−−−√=nT+nCnTnC−−−−−−−√⎛⎝⎜θ+δnTnCnT+nC−−−−−√Vν−−√⎞⎠⎟
θ∼N(0,1),และn_C-2 ดังนั้นคือตัวแปรซึ่งตามหลังการกระจาย t ที่ไม่ใช่ศูนย์กลางด้วยองศาอิสระและพารามิเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์กลางของn_C}}
V∼χ2νν=nT+nC−2dnT+nCnTnC−−−−−√nT+nC−2δnTnCnT+nC−−−−−√
การใช้คุณสมบัติโมเมนต์ของการแจกแจงแบบ non-centraltจึงเป็นไปตามนั้น:
โดยที่
Var(d)=(nT+nC−2)(nT+nC−4)(nT+nC)nTnC(1+δ2nTnCnT+nC)−δ2b2(3)
b=Γ(nT+nC−22)nT+nC−22−−−−−−−√Γ(nT+nC−32)≈1−34(nT+nC−2)−1
ดังนั้นสมการ (3) แสดงความแปรปรวนตัวอย่างขนาดใหญ่ที่แน่นอน โปรดทราบว่าตัวประมาณค่าที่ไม่เอนเอียงสำหรับคือพร้อมความแปรปรวน:δbd
Var(bd)=b2(nT+nC−2)(nT+nC−4)(nT+nC)nTnC(1+δ2nTnCnT+nC)−δ2
สำหรับองศาอิสระขนาดใหญ่ (เช่นขนาดใหญ่) การแปรปรวนของ non-centralแปรปรวนกับองศาอิสระและพารามิเตอร์ที่ไม่ใช่ศูนย์กลางสามารถประมาณ ( Johnson, Kotz, Balakrishnan, 1995 ) ดังนั้นเราจึงมี:
nT+nC−2tνp1+p22ν
Var(d)≈nT+nCnTnC⎛⎝⎜1+δ2(nTnCnT+nC)2(nT+nC−2)⎞⎠⎟=nT+nCnTnC+δ22(nT+nC−2)
เชื่อมต่อตัวประมาณของเราสำหรับและเสร็จแล้วδ