การกระจายตัวของคือ ,คือการแจกแจงแบบสม่ำเสมอ?

17

ฉันมีสี่อิสระตัวแปรกระจายอย่างสม่ำเสมอ , ในแต่ละ [0,1]ฉันต้องการที่จะคำนวณการกระจายของ(โฆษณา)ฉันคำนวณการกระจายตัวของเป็น (ดังนั้น ) และจากจะเป็นตอนนี้การกระจายของจำนวนเงินที่คือ (นอกจากนี้ยังมี อิสระ)เพราะ $a,b,c,d$ $[0,1]$ $(a-d)^2+4bc$ $u_2=4bc$

f_{2} (u_{2}) = - \frac{1}{4} \ln \frac{u_{2}}{4}

$f_2(u_2)=-\frac{1}{4}\ln\frac{u_2}{4}$

u_{2} \in (0, 4]

$u_2\in(0,4]$

u_{1} = (a - d)^{2}

$u_1=(a-d)^2$

f_{1} (u_{1}) = \frac{1 - \sqrt{u_{1}}}{\sqrt{u_{1}}} .

$f_1(u_1)=\frac{1-\sqrt{u_1}}{\sqrt{u_1}}.$

u_{1} + u_{2}

$u_1+u_2$

u_{1}, u_{2}

$u_1,\, u_2$

f_{u_{1} + u_{2}} (x) = \int_{- \infty}^{+ \infty} f_{1} (x - y) f_{2} (y) d y = - \frac{1}{4} \int_{0}^{4} \frac{1 - \sqrt{x - y}}{\sqrt{x - y}} \cdot \ln \frac{y}{4} d y,

$f_{u_1+u_2}(x)=\int_{-\infty}^{+\infty}f_1(x-y)f_2(y)dy=-\frac{1}{4}\int_0^4\frac{1-\sqrt{x-y}}{\sqrt{x-y}}\cdot\ln\frac{y}{4}dy,$

y \in (0, 4]

$y\in(0,4]$ . ที่นี่จะต้องเป็นดังนั้นอินทิกรัลเท่ากับตอนนี้ฉันแทรกมันลงใน Mathematica และรับ

x > y

$x>y$

f_{u_{1} + u_{2}} (x) = - \frac{1}{4} \int_{0}^{x} \frac{1 - \sqrt{x - y}}{\sqrt{x - y}} \cdot \ln \frac{y}{4} d y .

$f_{u_1+u_2}(x)=-\frac{1}{4}\int_0^{x}\frac{1-\sqrt{x-y}}{\sqrt{x-y}}\cdot\ln\frac{y}{4}dy.$

f_{u_{1} + u_{2}} (x) = \frac{1}{4} [- x + x \ln \frac{x}{4} - 2 \sqrt{x} (- 2 + \ln x)] .

$f_{u_1+u_2}(x)=\frac{1}{4}\left[-x+x\ln\frac{x}{4}-2\sqrt{x}\left(-2+\ln x\right)\right].$

ฉันสร้างชุดอิสระสี่ชุดประกอบด้วยตัวเลขแต่ละชุดและดึงฮิสโตแกรมของ : $a,b,c,d$ $10^6$ $(a-d)^2+4bc$

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

และดึงพล็อต $f_{u_1+u_2}(x)$ :

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

โดยทั่วไปพล็อตจะคล้ายกับฮิสโตแกรม แต่ในช่วงเวลา $(0,5)$ ส่วนใหญ่จะเป็นลบ (รากอยู่ที่ 2.27034) และหนึ่งของส่วนที่เป็นบวกคือ $\approx 0.77$ 0.77

ความผิดพลาดอยู่ที่ไหน หรือฉันหายไปบางสิ่ง

แก้ไข:ฉันปรับฮิสโตแกรมเพื่อแสดง PDF

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

แก้ไข 2:ฉันคิดว่าฉันรู้ว่ามีปัญหาในการให้เหตุผลของฉัน - ในข้อ จำกัด การรวม เนื่องจากและฉันไม่สามารถเพียงแค่พล็อตแสดงภูมิภาคที่ฉันต้องรวมเข้าด้วยกัน: $y\in (0,4]$ $x-y\in(0,1]$ $\int_0^x$

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

ซึ่งหมายความว่าฉันมีสำหรับ (นั่นเป็นสาเหตุที่ส่วนหนึ่งของของฉันถูกต้อง),ใน , และในโชคไม่ดีที่ Mathematica ไม่สามารถคำนวณอินทิกรัลสองอันหลังได้ ) $\int_0^x$ $y\in(0,1]$ $f$ $\int_{x-1}^x$ $y\in(1,4]$ $\int_{x-1}^4$ $y\in (4,5]$

แก้ไข 3:ปรากฏว่า Mathematica สามารถคำนวณอินทิกรัลสามรายการสุดท้ายด้วยรหัสต่อไปนี้:

(1/4)*Integrate[((1-Sqrt[u1-u2])*Log[4/u2])/Sqrt[u1-u2],{u2,0,u1}, Assumptions ->0 <= u2 <= u1 && u1 > 0]

(1/4)*Integrate[((1-Sqrt[u1-u2])*Log[4/u2])/Sqrt[u1-u2],{u2,u1-1,u1}, Assumptions -> 1 <= u2 <= 3 && u1 > 0]

(1/4)*Integrate[((1-Sqrt[u1-u2])*Log[4/u2])/Sqrt[u1-u2],{u2,u1-1,4}, Assumptions -> 4 <= u2 <= 4 && u1 > 0]

ซึ่งให้คำตอบที่ถูกต้อง :)

— corey979
แหล่งที่มา

2

ฉันชอบที่คุณได้ลองตรวจสอบความสมเหตุสมผลของคำตอบด้วยการจำลอง ปัญหาของคุณคือคุณรู้ว่าคุณได้ทำผิดพลาด แต่ไม่สามารถดูได้ว่าอยู่ที่ไหน คุณคิดว่าคุณสามารถตรวจสอบแต่ละขั้นตอนของวิธีการของคุณเพื่อแก้ไขปัญหาข้อผิดพลาดหรือไม่ ตัวอย่างเช่นข้อผิดพลาดอยู่ในของคุณหรือไม่ คุณสามารถตรวจสอบ PDF ที่คำนวณได้ของคุณเทียบกับผลลัพธ์ที่จำลองได้เหมือนที่คุณทำเพื่อหาคำตอบสุดท้าย เช่นเดียวกันสำหรับF_2หากทั้งและนั้นถูกต้องทั้งคู่คุณก็ทำผิดพลาดเมื่อรวมมันเข้าด้วยกัน การตรวจสอบทีละขั้นตอนดังกล่าวช่วยให้คุณสามารถกำหนดจุดที่ผิดพลาดได้!

f_{1} (u_{1})

$f_1(u_1)$

f_{2}

$f_2$

f_{1}

$f_1$

f_{2}

$f_2$

— Silverfish

ฉันโยนความพยายามครั้งแรกของฉันออกไปและคำนวณใหม่ตั้งแต่เริ่มต้น ฉันเชื่อว่าและนั้นถูกต้องแม้ว่าฉันจะต้องคูณเริ่มต้นด้วยตนเอง 2 ด้วยตนเองเพื่อให้มันเป็นมาตรฐานสู่ความเป็นเอกภาพ แต่นั่นเป็นเพียงการเปลี่ยนแปลงสูงและไม่ได้อธิบายว่าทำไมฉันมีเชิงลบฉ

f_{1}

$f_1$

f_{2}

$f_2$

f_{1}

$f_1$

f

$f$

— corey979

เมื่อสร้างฮิสโตแกรมดังกล่าวเพื่อเปรียบเทียบกับปริมาณพีชคณิตที่คำนวณได้ให้ปรับฮิสโตแกรมเป็นความหนาแน่นที่ถูกต้อง (และใส่ลงไปอีกหากคุณทำได้) ทำการตรวจสอบที่คล้ายกันสำหรับ f1 และ f2 ของคุณเพื่อให้แน่ใจว่าคุณมีสิทธิ์เหล่านั้น; หากพวกเขาพูดถูก (ฉันยังไม่เห็นเหตุผลที่ดีที่จะสงสัยพวกเขา แต่มันเป็นการดีที่สุดที่จะตรวจสอบอีกครั้ง) ดังนั้นปัญหาจะต้องเกิดขึ้นในภายหลัง

— Glen_b -Reinstate Monica

19

บ่อยครั้งที่มันช่วยในการใช้ฟังก์ชันการแจกแจงสะสม

ครั้งแรก

F (x) = Pr ((a - d)^{2} \leq x) = Pr (| a - d | \leq \sqrt{x}) = 1 - (1 - \sqrt{x})^{2} = 2 \sqrt{x} - x .

$F(x) = \Pr((a-d)^2 \le x) = \Pr(|a-d| \le \sqrt{x}) = 1 - (1-\sqrt{x})^2 = 2\sqrt{x} - x.$

ต่อไป,

G (y) = Pr (4 b c \leq y) = Pr (b c \leq \frac{y}{4}) = \int_{0}^{y / 4} d t + \int_{y / 4}^{1} \frac{y d t}{4 t} = \frac{y}{4} (1 - \log (\frac{y}{4})) .

$G(y) = \Pr(4 b c \le y) = \Pr(b c \le \frac{y}{4}) = \int_0^{y/4} dt + \int_{y/4}^1\frac{y\,dt}{4t} = \frac{y}{4}\left(1 - \log\left(\frac{y}{4}\right)\right).$

Letช่วงระหว่างที่เล็กที่สุด ( ) และใหญ่ที่สุด ( ) ค่าที่เป็นไปของปีก่อนคริสตกาล เขียนด้วย CDFและด้วย PDFเราจำเป็นต้องคำนวณ $\delta$ $0$ $5$ $(a-d)^2 + 4 b c$ $x=(a-d)^2$ $F$ $y=4 b c$ $g = G^\prime$

H (δ) = Pr ((a - d)^{2} + 4 b c \leq δ) = Pr (x \leq δ - y) = \int_{0}^{4} F (δ - y) g (y) d y .

$H(\delta) = \Pr((a-d)^2 + 4 b c \le \delta) = \Pr(x\le \delta-y) = \int_0^4 F(\delta-y)g(y)dy.$

เราคาดหวังว่าสิ่งนี้จะน่ารังเกียจ - การกระจายเครื่องแบบ PDF ไม่ต่อเนื่องดังนั้นจึงควรหยุดพักในคำจำกัดความของดังนั้นมันค่อนข้างน่าอัศจรรย์ที่Mathematicaได้รับแบบฟอร์มปิด (ซึ่งฉันจะไม่ทำซ้ำที่นี่) การแยกความแตกต่างด้วยความเคารพให้ความหนาแน่นที่ต้องการ มันถูกกำหนดเป็นชิ้น ๆ ภายในสามช่วงเวลา ใน , $H$ $\delta$ $0 \lt \delta \lt 1$

H^{'} (δ) = h (δ) = \frac{1}{8} (8 \sqrt{δ} + δ (- (2 + \log (16))) + 2 (δ - 2 \sqrt{δ}) \log (δ)) .

$H^\prime(\delta) = h(\delta) = \frac{1}{8} \left(8 \sqrt{\delta }+\delta (-(2+\log (16)))+2 \left(\delta -2 \sqrt{\delta }\right) \log (\delta )\right).$

ใน , $1 \lt \delta \lt 4$

h (δ) = \frac{1}{4} (- (δ + 1) \log (δ - 1) + δ \log (δ) - 4 \sqrt{δ} \coth^{- 1} (\sqrt{δ}) + 3 + \log (4)) .

$h(\delta) = \frac{1}{4} \left(-(\delta +1) \log (\delta -1)+\delta \log (\delta )-4 \sqrt{\delta } \coth ^{-1}\left(\sqrt{\delta }\right)+3+\log (4)\right).$

และใน , $4 \lt \delta \lt 5$

\begin{aligned} h (δ) = \\ \frac{1}{4} (δ - 4 \sqrt{δ - 4} + (δ + 1) \log (\frac{4}{δ - 1}) + 4 \sqrt{δ} \tanh^{- 1} (\frac{\sqrt{(δ - 4) δ} - \sqrt{δ}}{δ - \sqrt{δ - 4}}) - 1) . \end{aligned}

$\eqalign{ &h(\delta) = \\ &\frac{1}{4}\left(\delta -4 \sqrt{\delta -4}+(\delta +1) \log \left(\frac{4}{\delta -1}\right)+4 \sqrt{\delta } \tanh ^{-1}\left(\frac{\sqrt{(\delta -4) \delta }-\sqrt{\delta }}{\delta -\sqrt{\delta -4}}\right)-1\right). }$

รูป

ตัวเลขนี้ซ้อนพล็อตของบนกราฟแสดงความถี่ของความเข้าใจของ IID4BC ทั้งสองจะแยกไม่ออกเกือบบอกความถูกต้องของสูตรสำหรับชั่วโมง $h$ $10^6$ $(a-d)^2 + 4bc$ $h$

ต่อไปนี้เป็นวิธีการแก้ปัญหาทางคณิตศาสตร์ Mathematica ที่ไร้กำลัง มันทำทุกอย่างเกี่ยวกับการคำนวณโดยอัตโนมัติ ตัวอย่างเช่นมันจะคำนวณช่วงของตัวแปรผลลัพธ์:

ClearAll[ a, b, c, d, ff, gg, hh, g, h, x, y, z, zMin, zMax, assumptions];
assumptions = 0 <= a <= 1 && 0 <= b <= 1 && 0 <= c <= 1 && 0 <= d <= 1; 
zMax = First@Maximize[{(a - d)^2 + 4 b c, assumptions}, {a, b, c, d}];
zMin = First@Minimize[{(a - d)^2 + 4 b c, assumptions}, {a, b, c, d}];

นี่คือการรวมและความแตกต่างทั้งหมด (จงอดทน; การคำนวณใช้เวลาสองสามนาที) $H$

ff[x_] := Evaluate@FullSimplify@Integrate[Boole[(a - d)^2 <= x], {a, 0, 1}, {d, 0, 1}];
gg[y_] := Evaluate@FullSimplify@Integrate[Boole[4 b c <= y], {b, 0, 1}, {c, 0, 1}];
g[y_]  := Evaluate@FullSimplify@D[gg[y], y];
hh[z_] := Evaluate@FullSimplify@Integrate[ff[-y + z] g[y], {y, 0, 4}, 
          Assumptions -> zMin <= z <= zMax];
h[z_]  :=  Evaluate@FullSimplify@D[hh[z], z];

ในที่สุดการจำลองและการเปรียบเทียบกับกราฟของ : $h$

x = RandomReal[{0, 1}, {4, 10^6}];
x = (x[[1, All]] - x[[4, All]])^2 + 4 x[[2, All]] x[[3, All]];
Show[Histogram[x, {.1}, "PDF"], 
 Plot[h[z], {z, zMin, zMax}, Exclusions -> {1, 4}], 
 AxesLabel -> {"\[Delta]", "Density"}, BaseStyle -> Medium, 
 Ticks -> {{{0, "0"}, {1, "1"}, {4, "4"}, {5, "5"}}, Automatic}]

— whuber
แหล่งที่มา

8

(+1) โดยเฉพาะอย่างยิ่งสำหรับเตือนผู้คนว่าแทนที่จะพูดถึงการโน้มน้าวความหนาแน่น"บ่อยครั้งที่มันช่วยให้ใช้ฟังก์ชันการแจกแจงสะสม"โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อพวกเขามีรูปแบบที่เรียบง่ายเช่นที่นี่ และคุณก็ถูกสาปแช่งอย่างรวดเร็วเช่นกัน

— Alecos Papadopoulos

นั่นดูเหมือนเป็นทางออกที่เรียบร้อยที่ฉันชอบยอมรับ - หลังจากที่ฉันเข้าใจแล้ว ฉันเป็นแคลคูลัสมากกว่าผู้น่าจะเป็น ในขณะนี้ฉันมีคำถามสามข้อ: i) คุณใช้ CDF อย่างไรในการรับและ , ii) สาเหตุที่มีและภายใต้อินทิกรัลสำหรับและ iii) คุณเป็นอย่างไร ว่าผลลัพธ์ของการแก้ปัญหาจะเป็นค่าทีละน้อย?

F (x)

$F(x)$

G (y)

$G(y)$

F

$F$

g

$g$

H

$H$

— corey979

(1)และเป็น CDFs พวกเขาถูกคำนวณจากคำจำกัดความของ CDF ตามที่ระบุโดยความเท่าเทียมกันครั้งแรกหลังจากที่ปรากฏตัวครั้งแรก รายละเอียดควรจะชัดเจนในรหัสที่ฉันใส่ (2) นี่คือสูตรการรวมสำหรับผลรวม (อธิบายอย่างเต็มที่ยิ่งขึ้นในการคำนวณที่คล้ายกันที่stats.stackexchange.com/a/144237 ) (3) ฉันใส่ลิงค์ไปยังเธรดอื่นเกี่ยวกับคุณสมบัติของการแจกแจงแบบเดียวกัน

F

$F$

G

$G$

— whuber

7

เช่นเดียวกับ OP และคนรอบข้างฉันจะใช้ความเป็นอิสระเพื่อแยกปัญหานี้ออกเป็นปัญหาที่ง่ายกว่า:

ให้ 2 จากนั้นไฟล์ pdf ของบอกว่าคือ: $X = (a-d)^2$ $X$ $f(x)$

Letปีก่อนคริสตกาล จากนั้นไฟล์ pdf ของพูดว่าคือ: $Y = 4 b c$ $Y$ $g(y)$

ปัญหาที่เกิดขึ้นในขณะนี้ลดไปหารูปแบบไฟล์ PDF ของY อาจจะมีหลายวิธีในการทำเช่นนี้ แต่ที่ง่ายที่สุดสำหรับฉันคือการใช้ฟังก์ชั่นที่เรียกว่าจากรุ่นปัจจุบันของพัฒนาการmathStatica น่าเสียดายที่นี่ไม่สามารถใช้ได้ในรุ่นสาธารณะในขณะนี้ แต่นี่คืออินพุต: $X + Y$ TransformSum

TransformSum[{f,g}, z]

ซึ่งจะส่งคืนไฟล์ PDF ของเป็นฟังก์ชั่นตามเข็มนาฬิกา: $Z = X + Y$

นี่คือพล็อตของ pdf ที่เพิ่งได้มาพูด : $h(z)$

ตรวจสอบมอนติคาร์โลด่วน

แผนภาพต่อไปนี้เป็นการเปรียบเทียบการประมาณของมอนติคาร์โลเชิงประจักษ์ของ pdf (ไก่งวงสีน้ำเงิน) กับ pdf เชิงทฤษฎีที่ได้มาจากด้านบน (เส้นประสีแดง) ดูดี

— wolfies
แหล่งที่มา