การกระจายผลิตภัณฑ์โดยประมาณของ N iid ปกติ? กรณีพิเศษμ≈0

รับ iid , และ , ค้นหา: $N\geq30$ $X_n\approx\mathcal{N}(\mu_X,\sigma_X^2)$ $\mu_X \approx 0$

การประมาณการแจกแจงแบบฟอร์มปิดที่แม่นยำของ $Y_N=\prod\limits_{1}^{N}{X_n}$
asymptotic ( exponential ?) การประมาณของผลิตภัณฑ์เดียวกัน

นี้เป็นกรณีพิเศษของขึ้นคำถามทั่วไป $\mu_X \approx 0$

— Andrei Pozolotin
แหล่งที่มา

1. คุณมีข้อมูลเกี่ยวกับ

และ

หรือไม่? (มันจะดีถ้าทุก

เช่น.) (2) การประมาณปกติ asymptotic จะน่ากลัวเพราะ asymptotically

จะไม่ดูปกติจากระยะไกล

μ_{X}

$\mu_X$

σ_{X}

$\sigma_X$

μ_{X} / σ_{X} ≫ 0

$\mu_X/\sigma_X \gg 0$

Y

$Y$

— whuber

n

$n$

N (0, σ^{2})

$N(0, \sigma^2)$

μ

$\mu$

μ

$\mu$

σ

$\sigma$

F

$F$

N > 30

$N>30$

| μ_{X} | \geq 10 σ_{X}

$|\mu_X|\geq10\sigma_X$

μ_{F}

$\mu_F$

σ_{F}

$\sigma_F$

χ^{2}

${\chi}^2$

F

$F$

F

$F$

μ_{X} \geq 10 σ_{X}

$\mu_X \ge 10\sigma_X$

Y

$Y$

\log (X)

$\log(X)$

F_{N} \approx 0 + \frac{1}{\sqrt{N}} Z

$F_N \approx 0 + \frac{1}{\sqrt{N}}Z$

μ_{F}

$\mu_F$

σ_{F}

$\sigma_F$

α

$\alpha$

เป็นไปได้ที่จะได้รับทางออกที่แน่นอนในกรณีที่ไม่มีค่าเฉลี่ย (ส่วน B)

ปัญหา

อนุญาตให้แทนตัวแปร iid ตัวแปรแต่ละตัวที่มี pdf ทั่วไป : $(X_1, \dots, X_n)$ $n$ $N(0,\sigma^2)$ $f(x)$

เราหาไฟล์ pdf ของ , สำหรับ $\prod_{i=1}^n X_i$ $n = 2, 3, \dots$

วิธีการแก้

ไฟล์ PDF ของผลิตภัณฑ์ของสองบรรทัดฐานดังกล่าวเป็นเพียง:

... ที่ฉันใช้ TransformProductฟังก์ชั่นจากmathStaticaแพคเกจสำหรับMathematica โดเมนของการสนับสนุนคือ:

ผลิตภัณฑ์ของ 3, 4, 5 และ 6 ปกติได้รับโดยการใช้ฟังก์ชั่นซ้ำ ๆ กัน (ที่นี่สี่ครั้ง):

... ที่MeijerGหมายถึงฟังก์ชั่น G เมย์เยอร์

$n$ $N(0,\sigma^2)$

\frac{1}{(2 π)^{\frac{n}{2}} σ^{n}} MeijerG [{{}, {}}, {{0_{1}, \dots, 0_{n}}, {}}, \frac{x^{2}}{2^{n} σ^{2 n}}] for x \in R

$\frac{1}{(2 \pi )^{\frac{n}{2}} \sigma ^n} \text{MeijerG}[\{ \{ \}, \{ \} \}, \{ \{0_1, \dots, 0_n \}, \{ \} \}, \frac{x^2}{2^n \sigma ^{2 n}}] \quad \quad \text{ for } x \in \mathbb{R}$

ตรวจสอบ Monte Carlo ด่วน

นี่คือการตรวจสอบอย่างรวดเร็วเปรียบเทียบ:

$n = 6$ $\sigma=3$
เพื่อประจักษ์ Monte Carlo pdf: เส้นโค้งสีน้ำเงินอย่างคร่าวๆ

ดูดี! [เส้นโค้งสีฟ้าไก่เขี่ยบดบังเส้นโค้งสีแดงประที่แน่นอน]

— wolfies
แหล่งที่มา

l o g (. . . M e i j e r G (. . .))

$log(...MeijerG(...))$