คำอธิบายที่เข้าใจง่ายสำหรับความหนาแน่นของตัวแปรที่ถูกแปลง?

37

สมมติว่า $X$ เป็นตัวแปรสุ่มที่มีรูปแบบไฟล์ PDF $f_X(x)$ )จากนั้นตัวแปรสุ่ม $Y=X^2$ มี pdf

f_{Y} (y) = {\begin{cases} \frac{1}{2 \sqrt{y}} (f_{X} (\sqrt{y}) + f_{X} (- \sqrt{y})) & y \geq 0 \\ 0 & y < 0 \end{cases}

$f_Y(y)=\begin{cases}\frac{1}{2\sqrt{y}}\left(f_X(\sqrt{y})+f_X(-\sqrt{y})\right) & y \ge 0 \\ 0 & y \lt 0\end{cases}$

ฉันเข้าใจแคลคูลัสที่อยู่เบื้องหลังนี้ แต่ฉันพยายามคิดหาวิธีอธิบายให้คนที่ไม่รู้แคลคูลัส โดยเฉพาะฉันพยายามอธิบายว่าทำไมปัจจัย $\frac{1}{\sqrt{y}}$ ปรากฏขึ้นด้านหน้า ฉันจะแทงมัน:

สมมติว่า $X$ มีการแจกแจงแบบเกาส์ เกือบทั้งหมดน้ำหนักของไฟล์ PDF ที่อยู่ระหว่างค่าการพูด $-3$ และ $3.$ แต่แผนที่ที่ 0-9 สำหรับY $Y$ ดังนั้นน้ำหนักหนักใน pdf สำหรับ $X$ ได้รับการขยายในช่วงที่กว้างขึ้นของค่าในการเปลี่ยนแปลงที่จะY $Y$ ดังนั้นสำหรับ $f_Y(y)$ ที่จะเป็นไฟล์ PDF ที่แท้จริงน้ำหนักที่หนักเป็นพิเศษจะต้องลดน้ำหนักโดยปัจจัยคูณ $\frac{1}{\sqrt{y}}$

ฟังดูเป็นยังไง?

หากใครสามารถให้คำอธิบายที่ดีกว่าของพวกเขาเองหรือเชื่อมโยงไปยังหนึ่งในเอกสารหรือตำราเรียนฉันจะขอบคุณมันมาก ฉันพบตัวอย่างการเปลี่ยนแปลงตัวแปรนี้ในหนังสือคณิตศาสตร์สถิติ / ความน่าจะเป็นเบื้องต้น แต่ฉันไม่เคยพบคำอธิบายที่เข้าใจง่ายเลย :(

random-variable pdf intuition

— lowndrul
แหล่งที่มา

ฉันคิดว่าคำอธิบายของคุณถูกต้อง

— สูง

2

คำอธิบายนั้นถูกต้อง แต่เป็นเชิงคุณภาพอย่างแท้จริง: รูปแบบที่แม่นยำของปัจจัยการคูณยังคงเป็นปริศนา พลังงาน -1/2 นั้นปรากฏขึ้นอย่างน่าอัศจรรย์ ดังนั้นในบางระดับคุณต้องทำสิ่งเดียวกันกับที่แคลคูลัสทำ: หาอัตราการเปลี่ยนแปลงของฟังก์ชันรากที่สอง

— whuber

37

PDF เป็นความสูง แต่ใช้เพื่อแสดงความน่าจะเป็นโดยการใช้พื้นที่ ดังนั้นจึงช่วยในการแสดง PDF ในลักษณะที่เตือนเราว่าพื้นที่เท่ากับฐานคูณความสูง

ในขั้นต้นสูงที่ค่าใด ๆ $x$ จะได้รับจากไฟล์ PDF $f_X(x)$ )ฐานคือเซ็กเมนต์ที่เล็กที่สุด $dx$ ซึ่งการกระจายตัว (นั่นคือการวัดความน่าจะเป็นซึ่งตรงข้ามกับฟังก์ชันการแจกแจง ) เป็นรูปแบบอนุพันธ์หรือ "องค์ประกอบความน่าจะเป็น"

{PE}_{X} (x) = f_{X} (x) d x .

$\operatorname{PE}_X(x) = f_X(x) \, dx.$

สิ่งนี้ไม่ใช่ PDF เป็นวัตถุที่คุณต้องการทำงานกับทั้งแนวคิดและการปฏิบัติเพราะมันมีองค์ประกอบทั้งหมดที่จำเป็นในการแสดงความน่าจะเป็นอย่างชัดเจน

เมื่อเราแสดง $x$ อีกครั้งในรูปของ $y = x^2$ ส่วนฐาน $dx$ จะถูกยืด (หรือบีบ): โดยการยกกำลังสองทั้งสองช่วงจาก $x$ ถึง $x + dx$ เราจะเห็นว่าฐานของพื้นที่ $y$ ต้อง เป็นช่วงความยาว

d y = (x + d x)^{2} - x^{2} = 2 x d x + (d x)^{2} .

$dy = (x + dx)^2 - x^2 = 2 x \, dx + (dx)^2.$

เนื่องจากผลิตภัณฑ์ของ infinitesimals สองชุดนั้นมีความสำคัญน้อยมากเมื่อเทียบกับ infinitesimals เองเราจึงสรุป

d y = 2 x d x, whence d x = \frac{d y}{2 x} = \frac{d y}{2 \sqrt{y}} .

$dy = 2 x \, dx, \text{ whence }dx = \frac{dy}{2x} = \frac{dy}{2\sqrt{y}}.$

เมื่อสร้างสิ่งนี้แล้วการคำนวณนั้นสำคัญมากเพราะเราเพิ่งเสียบส่วนสูงใหม่กับความกว้างใหม่:

{PE}_{X} (x) = f_{X} (x) d x = f_{X} (\sqrt{y}) \frac{d y}{2 \sqrt{y}} = {PE}_{Y} (y) .

$\operatorname{PE}_X(x) = f_X(x) \, dx = f_X(\sqrt{y}) \frac{dy}{2\sqrt{y}} = \operatorname{PE}_Y(y).$

เพราะฐาน, ในแง่ของ $y$ , คือ $dy$ , อะไรก็ตามคูณมันต้องเป็นความสูง, ซึ่งเราสามารถอ่านได้โดยตรงจากเทอมกลางเป็น

\frac{1}{2 \sqrt{y}} f_{X} (\sqrt{y}) = f_{Y} (y) .

$\frac{1}{2\sqrt{y}}f_X(\sqrt{y}) = f_Y(y).$

สมการนี้ $\operatorname{PE}_X(x) = \operatorname{PE}_Y(y)$ เป็นกฎหมายอนุรักษ์พื้นที่ (= ความน่าจะเป็นได้อย่างมีประสิทธิภาพ

สอง PDF

$y=x^2$ $[0.32, 0.45]$ $y$ $x$

— whuber
แหล่งที่มา

2

2 x

$2x$

\sqrt{y}

$\sqrt{y}$

P (X \in (x, x + d x)) = f_{x} (x) d x

$P(X \in (x, x + dx)) = f_{x}(x)dx$

{pdf}_{X} (x)

$\text{pdf}_{X}(x)$

d x

$\mathrm{d}x$

f_{X} (x)

$f_{X}(x)$

f_{x} (x) d x

$f_{x}(x)dx$

f_{X} (x) d x

$f_{X}(x)dx$

1

@Carlos: ขอบคุณ; ตอนนี้ฉันเห็นประเด็นของคุณแล้ว ฉันได้ทำการแก้ไขเพื่อแก้ไข

— whuber

11

ถ้าฉันผลิตวัตถุที่มักจะเป็นสี่เหลี่ยมจัตุรัสและรู้การกระจายของความยาวด้านของสี่เหลี่ยม สิ่งที่ฉันสามารถพูดเกี่ยวกับการกระจายตัวของพื้นที่ของสี่เหลี่ยม?

$X$ $Y = X^{2}$

\begin{aligned} F_{Y} (c) & = & P (Y \leq c) \\ = & P (X^{2} \leq c) \\ = & P (- \sqrt{c} \leq X \leq \sqrt{c}) \\ = & F_{X} (\sqrt{c}) - F_{X} (- \sqrt{c}) . \end{aligned}

$\eqalign{ F_{Y} (c) & = & P( Y \le c ) \\ & = & P( X^{2} \le c ) \\ & = & P ( - \sqrt{c} \le X \le \sqrt{c}) \\ & = & F_{X}( \sqrt{c} ) - F_{X}( - \sqrt{c} ). \\ }$

$Y$ $X$

— เนคเลดี้
แหล่งที่มา

2

f_{Y}

$f_Y$

1

ฉันไม่เข้าใจว่าทำไม pdf (x) = f (x) dx แล้ว pdf (x) dx = f (x), density = prob mass/interval... อะไรที่ฉันคิดผิด?

— เฟอร์นันโด

2

$Y$ $P(Y \in (y, y + \Delta y))$ $Y$ $(y, y + \Delta y)$ $\Delta y$

$X$ $Y$ $X$ $Y = X^2$ $Y\in (y, y + \Delta y)$ $X^2 \in (x^2, (x + \Delta x)^2)$ $X \in (|x|, |x| + \Delta x)~ \text{or}~ X \in (- |x| -\Delta x, -|x| )$ $(y, y + \Delta y)$ $(|x|, |x| + \Delta x)$ $(- |x| -\Delta x, -|x| )$

\begin{aligned} P (Y \in (y, y + Δ y)) & = P (X \in (| x |, | x | + Δ x)) + P (X \in (- | x | - Δ x, - | x |)) \end{aligned}

$\begin{align} P(Y \in (y, y + \Delta y)) &=P\left( X \in (|x|, |x| + \Delta x) \right) + P\left( X \in (- |x| -\Delta x, -|x| )\right) \end{align}$

ตกลงทีนี้มาถึงความหนาแน่นกันแล้ว อันดับแรกเราต้องกำหนดความหนาแน่นของความน่าจะเป็น เป็นชื่อที่แนะนำก็คือสัดส่วนของบุคคลต่อพื้นที่ นั่นคือเรานับหุ้นของบุคคลที่เกี่ยวกับถังที่และหารด้วยขนาดของถัง เนื่องจากเราได้พิสูจน์แล้วว่าสัดส่วนของคนเหมือนกันที่นี่ แต่ขนาดของถังขยะเปลี่ยนไปเราจึงสรุปว่าความหนาแน่นจะแตกต่างกัน แต่แตกต่างกันมากแค่ไหน?

$Y$ $f_Y(y):=\frac{P(Y \in (y, y + \Delta y))}{\Delta y}$ $X$ $f_X(x):=\frac{P(X \in (x, x + \Delta x))}{\Delta x}$

จากผลลัพธ์ก่อนหน้าของเราว่าจำนวนประชากรในแต่ละถังนั้นเท่ากันเราก็มี

\begin{aligned} f_{Y} (y) := \frac{P (Y \in (y, y + Δ y))}{Δ y} & = \frac{P (X \in (| x |, | x | + Δ x)) + P (X \in (- | x | - Δ x, - | x |))}{Δ y} \\ = \frac{f_{X} (| x |) Δ x + f_{X} (- | x |) Δ x}{Δ y} \\ = \frac{Δ x}{Δ y} (f_{X} (| x |) + f_{X} (- | x |)) \\ = \frac{Δ x}{Δ y} (f_{X} (\sqrt{y}) + f_{X} (- \sqrt{y})) \end{aligned}

$\begin{align} f_Y(y):=\frac{P(Y \in (y, y + \Delta y))}{\Delta y} &= \frac{P\left( X \in (|x|, |x| + \Delta x) \right) + P\left( X \in (- |x| - \Delta x, -|x| )\right)}{\Delta y} \\ &= \frac{f_X(|x|)\Delta x + f_{X}(-|x|)\Delta x}{\Delta y}\\ &= \frac{\Delta x}{\Delta y} \left(f_X(|x|) + f_{X}(-|x|) \right)\\ &= \frac{\Delta x}{\Delta y} \left(f_X(\sqrt{y}) + f_{X}(-\sqrt{y}) \right) \end{align}$

$f_X(\sqrt{y}) + f_{X}(-\sqrt{y})$ $\frac{\Delta x}{\Delta y}$ $y = x^2$ $y + \Delta y = (x + \Delta x )^2 = x^2 + 2x \Delta x + \Delta x^2$ $\Delta x$ $\Delta x ^2$ $\Delta y = 2x \Delta x$ $\frac{\Delta x}{\Delta y} = \frac{1}{2x} = \frac{1}{2 \sqrt{y}}$ $\frac{1}{2 \sqrt{y}}$

— Carlos Cinelli
แหล่งที่มา