การทำความเข้าใจสูตรที่แตกต่างแบบเศษส่วน

ฉันมีอนุกรมเวลาและฉันต้องการจำลองเป็นกระบวนการ ARFIMA (aka FARIMA) หากถูกรวมกับคำสั่ง (เศษส่วน)ฉันต้องการแยกความแตกต่างเล็กน้อยเพื่อทำให้เป็นแบบนิ่ง$y_t$$y_t$$d$

คำถาม : สูตรต่อไปนี้กำหนดความแตกต่างของเศษส่วนถูกต้องหรือไม่

$\Delta^d y_t := y_t - d y_{t-1} + \frac{d(d-1)}{2!} y_{t-2} - \frac{d(d-1)(d-2)}{3!} y_{t-3} + ... +(-1)^{k+1} \frac{d(d-1) \cdot ... \cdot (d-k)}{k!} y_{t-k} + ...$

(ที่นี่หมายถึงส่วนต่างของคำสั่ง )$\Delta^d$$d$

ฉันยึดสูตรในบทความ Wikipedia นี้กับ ARFIMA , บทที่ ARFIMA ( ) แต่ฉันไม่แน่ใจว่าฉันได้รับอย่างถูกต้องหรือไม่$0,d,0$

ใช่ดูเหมือนว่าจะถูกต้อง ตัวกรองที่เป็นเศษส่วนถูกกำหนดโดยการขยายแบบทวินาม:

$\Delta^{d}=\left(1-L\right)^{d}=1-dL+\frac{d\left(d-1\right)}{2!}L^{2}-\frac{d\left(d-1\right)\left(d-2\right)}{3!}L^{3}+\cdots$

โปรดทราบว่าเป็นผู้ดำเนินการล่าช้าและที่กรองนี้ไม่ได้ง่ายเมื่อ<1 ตอนนี้พิจารณากระบวนการ:$L$$0<d<1$

$\Delta^{d}X_{t}=\left(1-L\right)^{d}X_{t}=\varepsilon_{t}$

การขยายตัวเราได้รับ:

$\Delta^{d}X_{t}=\left(1-L\right)^{d}X_{t}=X_{t}-dLX_{t}+\frac{d\left(d-1\right)}{2!}L^{2}X_{t}-\frac{d\left(d-1\right)\left(d-2\right)}{3!}L^{3}X_{t}+\cdots=\varepsilon_{t}$

ซึ่งสามารถเขียนเป็น:

$X_{t}=dX_{t-1}-\frac{d\left(d-1\right)}{2!}X_{t-2}+\frac{d\left(d-1\right)\left(d-2\right)}{3!}X_{t-3}-\cdots+\varepsilon_{t}$

ดูการเปลี่ยนแปลงของราคาสินทรัพย์ความผันผวนและการทำนายโดย Stephen J. Taylor (หน้า 243 ใน 2007 ed.) หรืออนุกรมเวลา: ทฤษฎีและวิธีการโดย Brockwell และ Davis สำหรับการอ้างอิงเพิ่มเติม