ดังนั้นคำถามนี้จะยุ่งเล็กน้อย แต่ฉันจะรวมกราฟสีสันเพื่อชดเชย ก่อนอื่นมาที่พื้นหลังของคำถาม

พื้นหลัง

สมมติว่าคุณมีการแจกแจงพหุคูณแบบหลายมิติแบบมิติที่มีโพรไบท์เท่ากันในประเภทให้เป็นจำนวนปกติ ( ) จากการแจกแจงนั่นคือ:$n$$n$$\pi = (\pi_1, \ldots, \pi_n)$$c$

ตอนนี้การกระจายทั่วมีการสนับสนุนใน -simplex แต่มีขั้นตอนแบบแยก ตัวอย่างเช่นด้วยการกระจายนี้มีการสนับสนุนดังต่อไปนี้ (จุดสีแดง):$\pi$$n$$n = 3$

การแจกแจงอื่นที่มีการรองรับที่คล้ายกันคือการแจกแจงแบบ -dimensionalนั่นคือการกระจายแบบสม่ำเสมอทั่วหน่วย simplex ตัวอย่างเช่นนี่คือการสุ่มจับจาก 3-dimesional :$n$$\text{Dirichlet}(1, \ldots, 1)$$\text{Dirichlet}(1, 1, 1)$

ตอนนี้ฉันมีความคิดว่าการกระจายของจากการแจกแจงอาจมีลักษณะเหมือนวาดจากที่มี discretized การสนับสนุนต่อเนื่องของ\ต่อเนื่องผมมีอยู่ในใจ (และที่ดูเหมือนว่าจะทำงานได้ดี) คือการใช้เวลาในแต่ละจุดในเริมและ "รอบมันออก" เพื่อจุดที่ใกล้ที่สุดที่อยู่ในการสนับสนุนของ\สำหรับ simplex แบบ 3 มิติคุณจะได้พาร์ทิชันต่อไปนี้โดยที่จุดในแต่ละพื้นที่สีควร "ปัดเศษ" เป็นจุดแดงที่ใกล้ที่สุด:$\pi$$\text{Multinomial}(1/n, \ldots, 1/n)$$\text{Dirichlet}(1, \ldots, 1)$$\pi$$\pi$

เนื่องจากการแจกแจงไดริชเลตมีความสม่ำเสมอความหนาแน่น / ความน่าจะเป็นที่ได้ของแต่ละจุดจึงแปรผันตามพื้นที่ / ปริมาตรที่ได้รับ "ปัดเศษ" ในแต่ละจุด สำหรับกรณีสองมิติและสามมิติความน่าจะเป็นเหล่านี้คือ:

( ความน่าจะเป็นเหล่านี้มาจากการจำลอง Monte Carlo )

ดังนั้นจึงดูเหมือนว่าอย่างน้อยสำหรับ 2 และ 3 มิติการกระจายความน่าจะเป็นผลมาจากการ discretizingในลักษณะนี้โดยเฉพาะอย่างยิ่งเป็นเช่นเดียวกับการกระจายความน่าจะเป็นสำหรับ\นั่นคือผลลัพธ์ปกติของการแจกแจงฉันได้ลองด้วย 4 มิติและดูเหมือนว่าจะทำงานที่นั่น$\text{Dirichlet}(1, \ldots, 1)$$\pi$$\text{Multinomial}(1/n, \ldots, 1/n)$

คำถาม (s)

ดังนั้นคำถามหลักของฉันคือ:

เมื่อแยกแยะ Dirichlet ที่เหมือนกันในวิธีนี้โดยเฉพาะความสัมพันธ์กับถือเป็นมิติต่อไปหรือไม่? ความสัมพันธ์นั้นมีอยู่หรือไม่? (ฉันลองทำสิ่งนี้โดยใช้การจำลอง Monte Carlo ... )$\text{Multinomial}(1/n, \ldots, 1/n)$

ต่อไปฉันสงสัยว่า:

• หากความสัมพันธ์นี้เกิดขึ้นมันเป็นผลที่รู้กันหรือไม่ และมีแหล่งที่มาที่ฉันสามารถอ้างถึงสำหรับเรื่องนี้?
• หาก discretization ของชุด Dirichlet นี้ไม่มีความสัมพันธ์นี้กับ Multinomial มีการก่อสร้างที่คล้ายกันบ้างไหม?

บริบทบางอย่าง

เหตุผลของฉันในการถามคำถามนี้คือฉันกำลังดูความคล้ายคลึงกันระหว่าง Bootstrap ที่ไม่ใช่พารามิเตอร์และ Bootstrap แบบเบย์แล้วสิ่งนี้ก็เกิดขึ้น ฉันได้สังเกตเห็นด้วยว่าลวดลายบนพื้นที่สีบน 3-dimesional simplex ด้านบนดูเหมือนว่า (และควรเป็น) แผนภาพ Voronoi วิธีหนึ่ง (ฉันหวังว่า) คุณสามารถคิดได้ว่านี่เป็นลำดับของ Triangle / Simpex ของ Pascal ( http://www.math.rutgers.edu/~erowland/pascalssimplices.html ) ในกรณีที่ขนาดของพื้นที่สีตามแถวที่สองของสามเหลี่ยมปาสกาลในกรณี 2 มิติแถวที่สามของจัตุรมุขของปาสคาลในกรณี 3 มิติและอื่น ๆ นี่จะอธิบายการเชื่อมต่อกับการกระจายพหุนาม แต่ที่นี่ฉันอยู่ในน้ำลึก ...

ผู้ที่สองการกระจายแตกต่างกันสำหรับทุก4$n \geq 4$

เอกสาร

ฉันจะลดความซับซ้อนของคุณโดยปัจจัยเพื่อให้จุดขัดแตะมีพิกัดจำนวนเต็ม นี่ไม่เปลี่ยนแปลงอะไรเลยฉันแค่คิดว่ามันจะทำให้สัญกรณ์ยุ่งยากน้อยลง$n$

ให้เป็น -simplex, ให้เป็นตัวเรือนูนของจุด , ... ,ใน{n} ในคำอื่น ๆ เหล่านี้เป็นจุดที่ทุกคนมีพิกัดที่ไม่ใช่เชิงลบและที่พิกัดสรุปผลการn$S$$(n-1)$$(n,0,\ldots,0)$$(0,\ldots,0,n)$$\mathbb R^{n}$$n$

ให้แสดงถึงชุดของจุดขัดแตะนั่นคือจุดเหล่านั้นในที่พิกัดทั้งหมดเป็นส่วนประกอบ$\Lambda$$S$

ถ้าเป็นจุดตาข่ายเราปล่อยให้แสดงของเซลล์ Voronoiกำหนดเป็นจุดที่ผู้ที่อยู่ในซึ่งเป็น (อย่างเคร่งครัด) ใกล้ชิดกับกว่าไปยังจุดอื่น ๆ ใน\$P$$V_P$$S$$P$$\Lambda$

เราใส่สองแจกแจงความน่าจะเราสามารถใส่ใน\หนึ่งคือการกระจายพหุนามที่จุดมีความน่าจะเป็นa_n!)! อื่น ๆ ที่เราจะเรียกรุ่น Dirichletและจะกำหนดให้แต่ละสัดส่วนน่าจะเป็นเสียงของV_P$\Lambda$$(a_1, ..., a_n)$$2^{-n} n!/(a_1! \cdots a_n!)$$P \in \Lambda$$V_P$

เหตุผลที่ไม่เป็นทางการมาก

ผมอ้างว่ารูปแบบพหุนามและรูปแบบการกระจาย Dirichlet ให้แตกต่างกันในเมื่อใดก็ตามที่4$\Lambda$$n \geq 4$

หากต้องการดูนี้พิจารณากรณีและจุดและ(3,1,0,0) ผมอ้างว่าและจะสอดคล้องกันผ่านการแปลโดยเวกเตอร์-1,0,0) ซึ่งหมายความว่าและมีระดับเสียงเท่ากันดังนั้นและจึงมีความน่าจะเป็นเหมือนกันในโมเดล Dirichlet ในอีกทางหนึ่งในโมเดลพหุนามพวกเขามีความน่าจะเป็นต่างกัน (และ ) และมัน หลังจากนั้นการแจกแจงต้องไม่เท่ากัน$n=4$$A = (2,2,0,0)$$B=(3,1,0,0)$$V_A$$V_B$$(1,-1,0,0)$$V_A$$V_B$$A$$B$$2^{-4} \cdot 4!/(2!2!)$$2^{-4} \cdot 4!/3!$

ความจริงที่ว่าและนั้นสอดคล้องกันดังต่อไปนี้จากการอ้างสิทธิ์ที่เป็นไปได้ แต่ไม่ชัดเจน (และค่อนข้างคลุมเครือ):$V_A$$V_B$

การอ้างสิทธิ์ที่เป็นไปได้ : รูปร่างและขนาดของนั้นได้รับผลกระทบจาก "เพื่อนบ้านที่ใกล้เคียง" ของเท่านั้น (นั่นคือคะแนนในซึ่งแตกต่างจากโดยเวกเตอร์ที่มีลักษณะดังนี้โดยที่และอาจอยู่ที่อื่น)$V_P$$P$$\Lambda$$P$$(1,-1,0,\ldots,0)$$1$$-1$

เป็นเรื่องง่ายที่จะเห็นว่าการกำหนดค่า "เพื่อนบ้านทันที" ของและเหมือนกันและจากนั้นตามด้วยและนั้นสอดคล้องกัน$A$$B$$V_A$$V_B$

ในกรณีเราสามารถเล่นเกมเดียวกันโดยมีและตัวอย่างเช่น$n \geq 5$$A = (2,2,n-4,0,\ldots,0)$$B=(3,1,n-4,0,\ldots,0)$

ฉันไม่คิดว่าการอ้างสิทธิ์นี้ชัดเจนและฉันจะไม่พิสูจน์มันแทนที่จะใช้กลยุทธ์ที่แตกต่างออกไปเล็กน้อย แต่ผมคิดว่านี่เป็นคำตอบได้ง่ายขึ้นว่าทำไมการกระจายที่แตกต่างกันสำหรับ4$n \geq 4$

หลักฐานที่เข้มงวด

ใช้และตามที่อธิบายไว้อย่างไม่เป็นทางการข้างต้น เราจำเป็นต้องพิสูจน์ว่าและนั้นสอดคล้องกันเท่านั้น$A$$B$$V_A$$V_B$

รับเราจะกำหนดดังต่อไปนี้:คือชุดของคะแนนซึ่ง<1 (ในรูปแบบที่ย่อยได้มากขึ้น: ให้ .เป็นชุดของจุดที่ความแตกต่างระหว่างสูงสุดและต่ำสุดน้อยกว่า 1)$P = (p_1, \ldots, p_n) \in \Lambda$$W_P$$W_P$$(x_1, \ldots, x_n) \in S$$\max_{1 \leq i \leq n} (a_i - p_i) - \min_{1 \leq i \leq n} (a_i - p_i) < 1$$v_i = a_i - p_i$$W_P$$v_i$

เราจะแสดงให้เห็นว่าW_P$V_P = W_P$

ขั้นตอนที่ 1

การอ้างสิทธิ์: W_P$V_P \subseteq W_P$

นี้ค่อนข้างง่าย: สมมติว่าไม่ได้อยู่ในW_Pให้และสมมติ (โดยไม่สูญเสียของทั่วไป) ที่ ,v_i ตั้งแต่เรายังไม่ทราบว่าv_2$X = (x_1, \ldots, x_n)$$W_P$$v_i = x_i - p_i$$v_1 = \max_{1\leq i\leq n} v_i$$v_2 = \min_{1\leq i\leq n} v_i$$v_1 - v_2 \geq 1$$\sum_{i=1}^n v_i = 0$$v_1 > 0 > v_2$

ตอนนี้ให้p_n) ตั้งแต่และทั้งสองมีพิกัดที่ไม่ใช่เชิงลบจึงไม่และมันตามที่และอื่น ๆ\ ในทางกลับกัน0 ดังนั้นอย่างน้อยใกล้เคียงกับเป็นไปดังนั้นV_P การแสดง (โดยการเติมเต็ม) ที่นี้W_P$Q = (p_1 + 1, p_2 - 1, p_3, \ldots, p_n)$$P$$X$$Q$$Q \in S$$Q \in \Lambda$$\mathrm{dist}^2(X, P) - \mathrm{dist}^2(X, Q) = v_1^2 + v_2^2 - (1-v_1)^2 - (1+v_2)^2 = -2 + 2(v_1 - v2) \geq 0$$X$$Q$$P$$X \not\in V_P$$V_p \subseteq W_P$

ขั้นตอนที่ 2

การอ้างสิทธิ์ :เป็นคู่กันไม่ได้$W_P$

สมมติว่าเป็นอย่างอื่น ให้และเป็นจุดที่แตกต่างกันใน และให้W_Q ตั้งแต่และมีความแตกต่างทั้งในและจะต้องมีดัชนีหนึ่งที่และหนึ่งที่1 โดยไม่สูญเสียของทั่วไปเราคิดว่าและ1 การจัดเรียงและการเพิ่มร่วมกันเราได้รับ2$P=(p_1,\ldots, p_n)$$Q = (q_1,\ldots,q_n)$$\Lambda$$X \in W_P \cap W_Q$$P$$Q$$\Lambda$$i$$p_i \geq q_i + 1$$p_i \leq q_i - 1$$p_1 \geq q_1 + 1$$p_2 \leq q_2 - 1$$q_1 - p_1 + p_2 - q_2 \geq 2$

พิจารณาในขณะนี้ตัวเลขและx_2จากความจริงที่ว่าเรามี<1 ในทำนองเดียวกันหมายความว่า<1 เมื่อรวมเข้าด้วยกันเราจะได้และเรามีข้อขัดแย้ง$x_1$$x_2$$X \in W_P$$x_1 - p_1 - (x_2 - p_2) < 1$$X \in W_Q$$x_2 - q_2 - (x_1 - q_1) < 1$$q_1 - p_1 + p_2 - q_2 < 2$

ขั้นตอนที่ 3

เราได้แสดงให้เห็นแล้วว่าและนั้นไม่ปะติดปะต่อ ปกถึงชุดของวัดเป็นศูนย์และมันตามที่ (ถึงชุดของวัดเป็นศูนย์) [เนื่องจากและเปิดอยู่เราจึงมีเหมือนกันทุกแต่นี่ไม่จำเป็นเลย]$V_P \subseteq W_P$$W_P$$V_P$$S$$W_P = V_P$$W_P$$V_P$$W_P = V_P$

ตอนนี้เราเกือบจะเสร็จแล้ว พิจารณาจุดและ0) มันง่ายที่จะเห็นว่าและมีความสอดคล้องกันและการแปลซึ่งกันและกัน: วิธีเดียวที่พวกเขาอาจแตกต่างกันคือถ้าขอบเขตของ (นอกเหนือจากใบหน้าที่และโกหกทั้งสอง) จะ `` ตัด '' อาจเป็นหรือแต่ไม่ใช่อื่น ๆ แต่การที่จะไปถึงส่วนหนึ่งของขอบเขตของเราจะต้องเปลี่ยนหนึ่งพิกัดของหรืออย่างน้อย 1 ซึ่งเพียงพอที่จะรับประกันว่าจะพาเราออกจาก$A = (2,2,n-4,0,\ldots,0)$$B = (3,1,n-4,0,\ldots,0)$$W_A$$W_B$$S$$A$$B$$W_A$$W_B$$S$$A$$B$$W_A$และต่อไป ดังนั้นแม้ว่าจะดูแตกต่างจากจุดได้เปรียบและความแตกต่างอยู่ไกลเกินกว่าจะรับได้โดยคำจำกัดความของและและทำให้และสอดคล้องกัน$W_B$$S$$A$$B$$W_A$$W_B$$W_A$$W_B$

หลังจากนั้นและมีปริมาตรเท่ากันดังนั้นโมเดล Dirichlet จึงกำหนดความน่าจะเป็นแบบเดียวกันแม้ว่าจะมีความน่าจะเป็นที่แตกต่างกันในรูปแบบพหุนาม$V_A$$V_B$