การรวมกันเชิงเส้นของสองแบบที่ไม่ใช่บรรทัดฐานแบบสุ่มที่ยังคงเป็นสมาชิกของตระกูลเดียวกัน

เป็นที่ทราบกันดีว่าการรวมกันเชิงเส้นของตัวแปรปกติแบบสุ่ม 2 ตัวนั้นก็เป็นตัวแปรแบบสุ่มด้วยเช่นกัน มีตระกูลการแจกจ่ายที่ไม่ธรรมดาทั่วไป (เช่น Weibull) ที่ใช้คุณสมบัตินี้ด้วยหรือไม่ ดูเหมือนจะมีตัวอย่างมากมาย ตัวอย่างเช่นการรวมกันเชิงเส้นของเครื่องแบบมักไม่เหมือนกัน โดยเฉพาะมีตระกูลการกระจายที่ไม่ปกติซึ่งทั้งสองอย่างต่อไปนี้เป็นจริง:

1. การรวมกันเชิงเส้นของตัวแปรสุ่มสองตัวจากตระกูลนั้นเทียบเท่ากับการกระจายตัวบางอย่างในตระกูลนั้น
2. พารามิเตอร์ผลลัพธ์สามารถระบุได้ว่าเป็นฟังก์ชันของพารามิเตอร์ดั้งเดิมและค่าคงที่ในชุดค่าผสมเชิงเส้น

ฉันสนใจชุดค่าผสมเชิงเส้นนี้เป็นพิเศษ:

$Y = X_1 \cdot w + X_2 \cdot \sqrt{(1-w^2)}$

ที่ไหน $X_1$ และ $X_2$ ถูกสุ่มตัวอย่างจากบางตระกูลที่ไม่ปกติโดยมีพารามิเตอร์ $\theta_1$ และ $\theta_2$และ $Y$ มาจากตระกูลเดียวกันที่ไม่ปกติพร้อมพารามิเตอร์ $\theta_Y = f(\theta_1, \theta_2, w)$.

ฉันกำลังอธิบายตระกูลการแจกจ่ายด้วยพารามิเตอร์ 1 ตัวเพื่อความง่าย แต่ฉันเปิดให้ตระกูลการแจกจ่ายที่มีพารามิเตอร์หลายตัว

นอกจากนี้ฉันกำลังมองหาตัวอย่างที่มีพื้นที่พารามิเตอร์มากมาย $\theta_1$ และ $\theta_2$ทำงานกับเพื่อวัตถุประสงค์ในการจำลอง หากคุณสามารถหาตัวอย่างที่ใช้ได้กับบางอย่างที่เฉพาะเจาะจง$\theta_1$ และ $\theta_2$นั่นจะเป็นประโยชน์น้อยกว่า

เป็นที่ทราบกันดีว่าการรวมกันเชิงเส้นของตัวแปรปกติแบบสุ่ม 2 ตัวนั้นก็เป็นตัวแปรแบบสุ่มด้วยเช่นกัน มีตระกูลการแจกจ่ายที่ไม่ธรรมดาทั่วไป (เช่น Weibull) ที่ใช้คุณสมบัตินี้ด้วยหรือไม่

การแจกแจงแบบปกติเป็นไปตามรูปแบบการแปลงที่ดี $X_1\sim N\left[\mu _1,\sigma _1^2\right],X_2\sim N\left[\mu _2,\sigma _2^2\right]\Longrightarrow X_1+X_2\sim N\left[\mu _1+\mu _2,\sigma _1^2+\sigma _2^2\right]$. หากคุณอ้างถึงทฤษฎีบทขีด จำกัด กลางตัวอย่างเช่นการแจกแจงแกมมาเหล่านั้นที่มีค่าสัมประสิทธิ์รูปร่างเดียวกันจะแบ่งปันคุณสมบัตินั้นและโน้มน้าวให้มีการแจกแจงแกมมา โปรดดูหมายเหตุเตือนเกี่ยวกับการอุทธรณ์ของทฤษฎีบทขีด จำกัด กลาง โดยทั่วไปอย่างไรก็ตามด้วยค่าสัมประสิทธิ์รูปร่างไม่เท่ากันการแจกแจงแกมม่าจะ "เพิ่ม" โดยการบิดที่จะไม่เป็นการกระจายแกมม่า แต่เป็นการฟังก์ชันแกมมาคูณฟังก์ชัน hypergeometric ของชนิดแรกที่พบใน Eq (2) การโน้มน้าวของการแจกแจงแกมม่าสองครั้ง คำจำกัดความอื่น ๆ ของการเพิ่มที่กำลังก่อตัวการกระจายตัวแบบผสมของกระบวนการที่ไม่เกี่ยวข้องจะไม่จำเป็นต้องแสดงถึงขีด จำกัด ส่วนกลางใด ๆ ตัวอย่างเช่นถ้าค่าเฉลี่ยนั้นแตกต่างกัน

อาจมีตัวอย่างอื่นฉันไม่ได้ทำการค้นหาอย่างละเอียด ดูเหมือนว่าการปิดเพื่อการโน้มน้าวใจจะไม่สามารถทำได้ สำหรับการรวมกันเป็นเส้นตรงสินค้าของเพียร์สันปกเกล้าเจ้าอยู่หัวกับเพียร์สันปกเกล้าเจ้าอยู่หัวเป็นอีกเพียร์สันปกเกล้าเจ้าอยู่หัว

เป็นที่ทราบกันดีว่าการรวมกันเชิงเส้นของตัวแปรปกติแบบสุ่ม 2 ตัวนั้นก็เป็นตัวแปรแบบสุ่มด้วยเช่นกัน มีตระกูลการแจกจ่ายที่ไม่ธรรมดาทั่วไป (เช่น Weibull) ที่ใช้คุณสมบัตินี้ด้วยหรือไม่

ผมเสียงเหมือนคุณกำลังมองหาระดับของการกระจายการจัดเก็บที่มีความเสถียร นี่คือคลาส$\mathscr{P}$ ของการแจกแจงทั้งหมด $\mathcal{P} \in \mathscr{P}$ ที่ตอบสนองคุณสมบัติความมั่นคง:

กล่าวอีกนัยหนึ่งสำหรับทุกการแจกแจงในคลาสนี้ถ้าคุณใช้ฟังก์ชันเชิงเส้นของตัวแปรสุ่มอิสระสองตัวที่มีการแจกแจงแบบนั้นนี่ก็มีการแจกแจงแบบเดียวกันกับฟังก์ชันเลียนแบบของตัวแปรสุ่มเดี่ยวที่มีการแจกแจงนั้น (โปรดทราบว่าข้อกำหนดความเสถียรนี้สามารถทำให้รัดกุมได้โดยการตั้งค่า$d=0$ซึ่งให้คลาสย่อยของการแจกแจงที่เสถียรอย่างเคร่งครัด )

Levy-stable distributions สามารถถูกพิจารณาว่าเป็นตระกูลของการกระจายในสิทธิของตนเองและในแง่นี้มันเป็นตระกูลเดียวของการแจกแจงที่มีคุณสมบัติความเสถียรนี้เนื่องจาก (โดยคำจำกัดความ) มันครอบคลุมการกระจายทั้งหมดที่มีคุณสมบัตินี้ การกระจายปกติอยู่ในระดับของการกระจายการจัดเก็บที่มีความเสถียรในขณะที่ไม่Cauchy กระจายการจัดจำหน่ายรถม้าและการกระจาย Holtsmark