การวัดความเหมือนหรือระยะห่างระหว่างเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมสองตัว

28

มีการวัดความคล้ายคลึงกันหรือระยะห่างระหว่างเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมแบบสมมาตรสองแบบหรือไม่ (ทั้งสองมีขนาดเท่ากัน)?

ฉันกำลังคิดว่านี่ของ analogues กับ KL divergence ของการแจกแจงความน่าจะเป็นสองอันหรือระยะทางแบบยุคลิดระหว่างเวกเตอร์ยกเว้นการใช้กับเมทริกซ์ ฉันคิดว่าจะมีการวัดความคล้ายคลึงกันค่อนข้างน้อย

เป็นการดีที่ฉันต้องการทดสอบสมมติฐานว่างว่าเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมสองตัวนั้นเหมือนกัน

— Ram Ahluwalia
แหล่งที่มา

3

คำตอบสำหรับคำถามนี้: quant.stackexchange.com/q/121/108อาจมีประโยชน์บ้าง

— shabbychef

2

คำถามและคำตอบที่ดีเยี่ยมในการเชื่อมโยง - ขอบคุณ - ใช่นี้เป็นที่ที่ผมจะ :)

— รามชิง

2

คำถามที่เกี่ยวข้อง: พล็อตการวิเคราะห์สำหรับการประเมินความสม่ำเสมอของการฝึกอบรมความแปรปรวนความแปรปรวน กระดาษที่เกี่ยวข้อง: ขั้นตอนง่ายๆสำหรับการเปรียบเทียบเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม

— อะมีบากล่าวว่า Reinstate Monica

21

$\| A-B \|_p$ $\sqrt{\sum_{i,j} (a_{ij}-b_{ij})^2}$ $L_2$ $(A-B)^2$ $\frac12 [ \mbox{tr} (A^{-1}B) - \mbox{ln}( |B|/|A| ) ]$

แก้ไข:หากเมทริกซ์ตัวใดตัวหนึ่งเป็นเมทริกซ์โดยนัยแบบจำลองและอีกตัวอย่างหนึ่งคือเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมตัวอย่างดังนั้นแน่นอนว่าคุณสามารถสร้างแบบทดสอบความน่าจะเป็นอัตราส่วนระหว่างทั้งสอง คอลเลกชันที่ชื่นชอบส่วนบุคคลของการทดสอบดังกล่าวสำหรับโครงสร้างที่เรียบง่ายจะได้รับในRencher (2002)วิธีการวิเคราะห์หลายตัวแปร กรณีที่สูงขึ้นจะครอบคลุมในการสร้างแบบจำลองโครงสร้างแปรปรวนซึ่งเป็นจุดเริ่มต้นที่เหมาะสมคือBollen (1989)โครงสร้างสมกับตัวแปรแฝง

— StasK
แหล่งที่มา

ฉันมีปัญหากับ : มันไม่ให้ค่าเดียวกันถ้าคุณอนุญาตและ (ระยะทางที่แท้จริงควรเป็นแบบสมมาตร)

1 / 2 (tr (A^{- 1} B) - \log (| B | / | A |))

$1/2(\verb+tr+(A^{-1}B)-\log(|B|/|A|))$

A

$A$

B

$B$

— user603

ฉันมีปัญหากับ : มันไม่ได้เลียนแบบ equivariant (ถ้าคุณหมุนเมทริกซ์, มีการเปลี่ยนแปลงระยะทาง!) นอกจากนี้คุณอย่างใดควรปรับขนาดการฝึกอบรมของคุณ (พวกเขาอาจจะมีการวัดในหน่วยที่แตกต่างกันมาก) นอกจากนี้ยังเป็นธรรมชาติเท่านั้นที่จะต้องให้ระยะห่างระหว่างสองเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมเป็นเช่นเดียวกับระยะห่างระหว่างการฝึกอบรมมีความสัมพันธ์สอดคล้องกันดังนั้นผมขอแนะนำ 2

(A - B)^{2}

$(A-B)^2$

(A det (A)^{- 1 / p} - B det (B)^{- 1 / p})^{2}

$(A\det(A)^{-1/p}-B\det(B)^{-1/p})^2$

— user603

2

อันดับแรก KL ไม่ใช่ระยะทางจริงและเป็นข้อเท็จจริงที่รู้จักกันดี ประการที่สองหากการฝึกอบรมถูกวัดในหน่วยต่าง ๆ พวกเขาจะไม่เท่ากัน

— StasK

ระยะทาง KL ใกล้เคียงกับอัตราส่วนความน่าจะเป็นหรือเกี่ยวข้องหรือไม่

— hashmuke

7

แสดงว่าและ เมทริกซ์ของคุณทั้งสองมิติพี $\varSigma_1$ $\varSigma_2$ $p$

จำนวน Cond: ที่ ( ) เป็นที่ใหญ่ที่สุด (เล็กที่สุด) ค่าเฉพาะของที่หมายถึง: $\log(\lambda_1)-\log(\lambda_p)$ $\lambda_1$ $\lambda_p$ $\varSigma^*$ $\varSigma^*$ $\varSigma^*:=\varSigma_1^{-1/2}\varSigma_2\varSigma_1^{-1/2}$

แก้ไข: ฉันแก้ไขข้อเสนอที่สองจากสองข้อเสนอ ฉันคิดว่าฉันเข้าใจผิดคำถาม ข้อเสนอตามหมายเลขเงื่อนไขถูกนำมาใช้ในสถิติที่มีประสิทธิภาพเพื่อประเมินคุณภาพความพอดี แหล่งเก่าที่ฉันสามารถหาได้คือ:

Yohai, VJ และ Maronna, RA (1990) อคติสูงสุดของพันธมิตรที่แข็งแกร่ง การสื่อสารในสถิติ - ทฤษฎีและวิธีการ, 19, 3925-2933

ฉันได้รวมการวัดอัตราส่วน Det:

อัตราส่วน Det: โดยที่ 2 $\log(\det(\varSigma^{**})/\sqrt{\det(\varSigma_2)*\det(\varSigma_1)})$ $\varSigma^{**}=(\varSigma_1+\varSigma_2)/2$

ซึ่งจะเป็นระยะทาง Bhattacharyyaระหว่างการแจกแจงแบบเกาส์สองอันที่มีเวกเตอร์ตำแหน่งเดียวกัน ตอนแรกฉันต้องอ่านคำถามเกี่ยวกับการตั้งค่าที่ความแปรปรวนร่วมสองมาจากตัวอย่างจากประชากรที่สันนิษฐานว่ามีวิธีการที่เท่าเทียมกัน

— user603
แหล่งที่มา

7

มาตรการที่ได้รับการแนะนำโดยHerdin (2005) Correlation Matrix Distance ระยะทางที่มีความหมายสำหรับการประเมินช่องสัญญาณ MIMO ที่ไม่หยุดนิ่งคือ ที่บรรทัดฐานคือบรรทัดฐาน Frobenius

d = 1 - \frac{TR (R_{1} \cdot R_{2})}{‖ R_{1} ‖ \cdot ‖ R_{2} ‖},

$d = 1 - \frac{\text{tr}(R_1 \cdot R_2)}{\|R_1\| \cdot \|R_2\|},$

— davidc
แหล่งที่มา

+1 ขอบคุณมากสำหรับคำตอบนี้มันเป็นประโยชน์กับฉันมาก

— อะมีบาพูดว่า Reinstate Monica

1

นี่คือความเหมือนหนึ่งลบโคไซน์ใช่ไหม?

— Firebug

4

ระยะเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วมใช้สำหรับการติดตามวัตถุใน Computer Vision

ตัวชี้วัดที่ใช้ในปัจจุบันมีการอธิบายไว้ในบทความ: "ตัวชี้วัดสำหรับเมทริกซ์ความแปรปรวนร่วม"โดยFörstnerและ Moonen

— Andres Romero
แหล่งที่มา