การกระจายคืออะไร

ฉันรู้ความน่าจะเป็นและสถิติน้อยมากและฉันต้องการเรียนรู้ ฉันเห็นคำว่า "การกระจาย" ที่ใช้ทั่วสถานที่ในบริบทที่แตกต่างกัน

ตัวอย่างเช่นตัวแปรสุ่มไม่ต่อเนื่องมี "การแจกแจงความน่าจะเป็น" ฉันรู้ว่านี่คืออะไร ตัวแปรสุ่มต่อเนื่องมีฟังก์ชั่นความหนาแน่นของความน่าจะเป็นแล้วสำหรับ$x\in\mathbb{R}$ที่หนึ่งจากเพื่อของฟังก์ชั่นความหนาแน่นของความน่าจะเป็นฟังก์ชั่นการแจกแจงสะสมประเมินx$-\infty$$x$$x$

และชัดเจนเพียง "ฟังก์ชันการแจกแจง" นั้นมีความหมายเหมือนกันกับ "ฟังก์ชันการแจกแจงสะสม" อย่างน้อยเมื่อพูดถึงตัวแปรสุ่มแบบต่อเนื่อง (คำถาม: พวกมันมีความหมายเหมือนกันเสมอหรือไม่)

แล้วมีการแจกแจงที่โด่งดังมากมาย กระจายการกระจาย ฯลฯ แต่อะไรคือการกระจาย ? มันเป็นฟังก์ชั่นการแจกแจงสะสมของตัวแปรสุ่มหรือไม่? หรือฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของตัวแปรสุ่ม$\Gamma$$\chi^2$$\Gamma$$\Gamma$$\Gamma$

แต่จากนั้นการแจกแจงความถี่ของชุดข้อมูล จำกัด จะปรากฏเป็นฮิสโตแกรม

เรื่องสั้นสั้น: ในความน่าจะเป็นและสถิติความหมายของคำว่า "การกระจาย" คืออะไร?

ฉันรู้คำจำกัดความของการแจกแจงในวิชาคณิตศาสตร์ (องค์ประกอบของการเว้นวรรคคู่ของการรวบรวมฟังก์ชั่นการทดสอบที่มีโทโพโลยีขีด จำกัด แบบอุปนัย) แต่ไม่ใช่ความน่าจะเป็นและสถิติ

ต่อไปนี้จะเป็นมูลค่าสุ่มตัวแปร ส่วนขยายไปยังช่องว่างอื่น ๆ จะส่งตรงไปข้างหน้าหากคุณสนใจ ฉันจะยืนยันว่าคำจำกัดความทั่วไปต่อไปนี้เล็กน้อยนั้นง่ายกว่าการพิจารณาแยกฟังก์ชั่นความหนาแน่นมวลและฟังก์ชันการกระจายแบบสะสม$\mathbb R-$

ฉันรวมคำศัพท์ทางคณิตศาสตร์ / ความน่าจะเป็นไว้ในข้อความเพื่อให้ถูกต้อง ถ้าใครไม่คุ้นเคยกับคำเหล่านี้สัญชาตญาณก็ถูกเข้าใจอย่างดีโดยเพียงแค่คิดว่า "Borel เซต" เป็น "เซตย่อยของใด ๆที่ฉันสามารถคิดได้" และตัวแปรสุ่มเป็นผลลัพธ์เชิงตัวเลขของการทดลองบางอย่างกับ ความน่าจะเป็นที่เกี่ยวข้อง$\mathbb R$

Let จะเป็นพื้นที่ที่น่าจะเป็นและX ( ω ) R -มูลค่าตัวแปรสุ่มในพื้นที่นี้$\left( \Omega, \mathcal F, P \right)$$X(\omega)$$\mathbb R-$

ฟังก์ชั่นชุดที่เป็นชุดโบเรลจะเรียกว่าการกระจายของX$Q(A):=P\left(\omega \in \Omega : X(\omega) \in A\right)$$A$$X$

ในคำพูดการแจกแจงบอกคุณ (พูดอย่างหลวม ๆ ) สำหรับเซตย่อยของความน่าจะเป็นที่Xรับค่าในชุดนั้น เราสามารถพิสูจน์ได้ว่าQนั้นถูกกำหนดโดยฟังก์ชันF ( x ) : = P ( X ≤ x )และในทางกลับกัน ในการทำเช่นนั้น - และฉันข้ามรายละเอียดที่นี่ - สร้างการวัดบนชุด Borel ที่กำหนดความน่าจะเป็นF ( x )ให้กับทุกชุด( - ∞ , x )และยืนยันว่าการวัดที่แน่นอนนี้เห็นด้วยกับQใน$\mathbb R$$X$$Q$$F(x):=P(X\leq x)$$F(x)$$(-\infty, x)$$Q$ระบบสร้าง Borel σ -พีชคณิต$\pi-$$\sigma-$

หากเกิดขึ้นเพื่อให้สามารถเขียนเป็นQ ( A ) = ∫ A f ( x ) d xจากนั้นfเป็นฟังก์ชันความหนาแน่นสำหรับQและคุณสามารถดูได้แม้ว่าความหนาแน่นนี้จะไม่ได้ถูกกำหนดโดยเฉพาะ ชุดเกอวัดศูนย์) ก็จะทำให้ความรู้สึกที่จะยังพูดฉการกระจายของX โดยปกติแล้ว แต่เราเรียกมันว่าฟังก์ชั่นความหนาแน่นของความน่าจะเป็นของX$Q(A)$$Q(A) =\int_Af(x)dx$$f$$Q$$f$$X$$X$

ในทำนองเดียวกันถ้ามันเกิดขึ้นที่สามารถเขียนเป็นQ ( A ) = ∑ ฉัน∈ A ∩ { … , - 1 , 0 , 1 , … , f } ( i )จากนั้นก็สมเหตุสมผลที่จะพูดถึงfเป็นการกระจายตัวของXแม้ว่าเรามักจะเรียกมันว่าฟังก์ชันความน่าจะเป็นแบบมวล$Q(A)$$Q(A)=\sum_{i\in A\cap\{\dots,-1,0,1,\dots\}}f(i)$$f$$X$

ดังนั้นเมื่อใดก็ตามที่คุณอ่านบางสิ่งเช่น " ตามการแจกแจงแบบเดียวกันบน[ 0 , 1 ] " มันก็หมายความว่าฟังก์ชันQ ( A )ซึ่งบอกคุณถึงความน่าจะเป็นที่Xใช้ค่าในชุดบางชุด ฟังก์ชันความหนาแน่นของความน่าจะเป็นf ( x ) = I [ 0 , 1 ]หรือฟังก์ชันการแจกแจงสะสมF ( x ) = ∫ x - ∞ f ( t $X$$[0,1]$$Q(A)$$X$$f(x)=I_{[0,1]}$ T$F(x)=\int_{-\infty}^x f(t)dt$

หมายเหตุสุดท้ายในกรณีที่ไม่มีการเอ่ยถึงตัวแปรสุ่ม แต่เป็นการแจกแจง หนึ่งอาจพิสูจน์ว่าได้รับฟังก์ชั่นการกระจาย (หรือมวลความหนาแน่นหรือฟังก์ชั่นการกระจายสะสม) มีพื้นที่น่าจะเป็นที่มีตัวแปรสุ่มที่มีการกระจายนี้ ดังนั้นจึงไม่มีความแตกต่างในการพูดเกี่ยวกับการแจกแจงหรือตัวแปรสุ่มที่มีการแจกแจงนั้น มันเป็นเพียงเรื่องของการมุ่งเน้นของคน

ปล่อยให้เป็นพื้นที่ความน่าจะเป็นให้( X , B )เป็นพื้นที่ที่วัดได้และปล่อยให้X : Ω → Xเป็นฟังก์ชันที่วัดได้ซึ่งหมายความว่าX - 1 ( B ) = { ω : X ( ω ) ∈ B } ∈ FสำหรับทุกB ∈ B การแจกแจงของXคือการวัดความน่าจะเป็น$(\Omega,\mathscr{F},P)$$(\mathscr{X},\mathscr{B})$$X:\Omega\to\mathscr{X}$$X^{-1}(B)=\{\omega:X(\omega)\in B\}\in\mathscr{F}$$B\in\mathscr{B}$ $X$มากกว่า ( X , B )ที่กำหนดโดย μ X ( B ) = P ( X ∈ B ) เมื่อ X = Rและ Bคือ Borel sigma-field เราอ้างถึงฟังก์ชัน Xว่าเป็น "ตัวแปร" แบบสุ่ม$\mu_X$$(\mathscr{X},\mathscr{B})$$\mu_X(B)=P(X\in B)$$\mathscr{X}=\mathbb{R}$$\mathscr{B}$$X$

คำถามและคำตอบที่ผ่านมาดูเหมือนจะมุ่งเน้นไปที่การแจกแจงเชิงทฤษฎี การแจกแจงเชิงประจักษ์ช่วยให้เข้าใจการกระจายได้ง่ายขึ้น

ตัวอย่าง

ในระหว่างการแข่งขันในชั้นเรียนโดยการกระโดดเชือกเราจะสังเกตเด็ก ๆ ทุกคนในการกระโดดข้ามเชือก เด็กคนแรกสามารถกระโดดได้สองครั้งสี่ครั้งสองครั้งถัดไปสิบห้าครั้ง ฯลฯ เราบันทึกจำนวนการกระโดด เด็กห้าคนเพิ่มขึ้นแปดเท่าในแต่ละครั้ง แต่มีเพียงเด็กคนเดียวที่เพิ่มขึ้นสองเท่า เราบอกว่าการกระโดดแปดครั้งนั้นแตกต่างจากการกระโดดสองครั้ง

คำจำกัดความที่ชัดเจนสำหรับการแจกแจงที่สังเกตได้คือความถี่ของการเกิดขึ้นสำหรับแต่ละค่าที่สังเกตได้ของตัวแปร

ในสถิติเชิงอนุมานจากนั้นเราพยายามให้เหมาะสมกับการแจกแจงเชิงทฤษฎีกับการแจกแจงที่สังเกตเพราะเราต้องการทำงานร่วมกับสมมติฐานของการแจกแจงเชิงทฤษฎี คุณสามารถเข้าถึงคำจำกัดความที่คล้ายกันสำหรับการแจกแจงเชิงทฤษฎีโดยแทนที่ "การสังเกต" ด้วย "สังเกต" หรือให้แม่นยำยิ่งขึ้น: "คาดหวัง"