การวาด n ช่วงเวลาอย่างสม่ำเสมอโดยบังเอิญความน่าจะเป็นที่อย่างน้อยหนึ่งช่วงเวลาทับซ้อนกับส่วนอื่น ๆ ทั้งหมด

สุ่มวาด $n$ ช่วงเวลาจาก $[0,1]$ ซึ่งแต่ละจุดสิ้นสุด A, B ได้รับการคัดเลือกจากการจำหน่ายเครื่องแบบระหว่าง $[0,1]$ ]

ความน่าจะเป็นที่อย่างน้อยหนึ่งช่วงเวลาซ้อนทับกับช่วงเวลาอื่น ๆ ทั้งหมดคืออะไร

probability

คุณสามารถดูน่าจะเป็นที่สุดท้ายที่วาด

มีขนาดเล็กกว่าขั้นต่ำของการวาดทั้งหมดก่อนหน้านี้และน่าจะเป็นที่สุดท้าย

มีค่ามากกว่าสูงสุดของการวาดทั้งหมดก่อนหน้านี้B

สิ่งนี้จะเป็นประโยชน์ จากนั้นขยายความน่าจะเป็นที่จะอธิบายความจริงที่ว่าเราไม่จำเป็นต้องใช้อันล่าสุดแต่อย่างใดอย่างหนึ่ง (ฉันไม่มีเวลาที่จะทำงานผ่านมัน แต่ดูเหมือนปัญหาเล็กน้อยสนุกโชคดี!)

An $A_n$

A $A$

Bn $B_n$

B $B$

— S. Kolassa - Reinstate Monica

มันอาจจะค่อนข้างแปลกใจที่ (1) คำตอบไม่ได้ขึ้นอยู่กับการกระจาย (เฉพาะที่จะต่อเนื่อง) และ (2) สำหรับ

n>1 $n\gt 1$ มันคงที่!

— whuber

นี่คือวิธีที่ช่วงเวลาที่nถูกตีความ: i) ดึงตัวเลขสองตัวอย่างสม่ำเสมอโดยการสุ่มจาก [0,1], ii) ปล่อยให้เลขที่เล็กกว่าเป็น

An $A_n$ และใหญ่กว่าหนึ่ง

Bn $B_n$ หรือไม่

— ekvall

โพสต์นี้จะตอบคำถามและสรุปความคืบหน้าบางส่วนในการพิสูจน์ว่าถูกต้อง

สำหรับคำตอบนิด ๆ คือ1สำหรับทั้งหมดที่มีขนาดใหญ่มันเป็น (น่าแปลกใจ) เสมอ 3 $n=1$ $1$ $n$ $2/3$

เพื่อดูว่าทำไมก่อนอื่นให้สังเกตว่าคำถามนั้นสามารถนำไปวางในการแจกแจงแบบต่อเนื่องใด ๆ กระบวนการโดยที่ช่วงเวลาที่จะมีการสร้างปริมาณการวาดภาพ IID variates จากและสร้างช่วงเวลา $F$ $n$ $2n$ $X_1, X_2, \ldots, X_{2n}$ $F$

[min (X 1, X 2), max (X 1, X 2)], \dots, [min (X 2 n - 1, X 2 n), max (X 2 n - 1, X 2 n)] .

$[\min(X_1,X_2), \max(X_1,X_2)], \ldots, [\min(X_{2n-1}, X_{2n}), \max(X_{2n-1}, X_{2n})].$

เนื่องจากทั้งของเป็นอิสระจึงสามารถแลกเปลี่ยนกันได้ นี่หมายความว่าวิธีการแก้ปัญหาจะเหมือนกันหากเราสุ่มเปลี่ยนรูปพวกมันทั้งหมด ให้เรากำหนดเงื่อนไขของสถิติการสั่งซื้อที่ได้รับจากการเรียงลำดับ : $2n$ $X_i$ $X_i$

X (1) < X (2) < \dots < X (2 n)

$X_{(1)} \lt X_{(2)} \lt \cdots \lt X_{(2n)}$

(โดยที่เนื่องจากต่อเนื่องจึงไม่มีโอกาสที่ทั้งสองจะเท่ากัน) ช่วงเวลาที่จะเกิดขึ้นโดยการเลือกการเปลี่ยนแปลงสุ่มและเชื่อมต่อพวกเขาเป็นคู่ $F$ $n$ $\sigma\in\mathfrak{S}_{2n}$

[min (X σ (1), X σ (2)), max (X σ (1), X σ (2))], \dots, [min (X σ (2 n - 1), X σ (2 n)), max (X σ (2 n - 1), X σ (2 n))] .

$[\min(X_{\sigma(1)},X_{\sigma(2)}), \max(X_{\sigma(1)},X_{\sigma(2)})], \ldots, [\min(X_{\sigma(2n-1)}, X_{\sigma(2n)}), \max(X_{\sigma(2n-1)}, X_{\sigma(2n)})].$

ไม่ว่าจะเป็นที่สองของการทับซ้อนเหล่านี้หรือไม่ไม่ได้ขึ้นอยู่กับค่าของ , $X_{(i)}$ เพราะที่ทับซ้อนกันจะถูกรักษาไว้โดยใดเปลี่ยนแปลงเนื่องและมีเช่น การเปลี่ยนแปลงที่ส่งเพื่อฉันดังนั้นโดยไม่สูญเสียความคิดเราอาจใช้และคำถามจะกลายเป็น: $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ $X_{(i)}$ $i$ $X_{(i)}=i$

ปล่อยให้เซตถูกแบ่งเป็น disjoint doubletons ใด ๆ ที่สองของพวกเขาและ (กับ ) ทับซ้อนเมื่อและl_1 สมมติว่าพาร์ติชัน "ดี" เมื่อองค์ประกอบอย่างน้อยหนึ่งองค์ประกอบซ้อนทับองค์ประกอบอื่นทั้งหมด (และมิฉะนั้นจะเป็น "ไม่ดี") ในฐานะของฟังก์ชันสัดส่วนของพาร์ติชันที่ดีคืออะไร $\{1,2,\ldots, 2n-1, 2n\}$ $n$ $\{l_1,r_1\}$ $\{l_2,r_2\}$ $l_i \lt r_i$ $r_1 \gt l_2$ $r_2 \gt l_1$ $n$

เพื่อแสดงให้เห็นพิจารณากรณี 2 มีสามพาร์ติชัน $n=2$

{{1, 2}, {3, 4}}, {{1, 4}, {2, 3}}, {{1, 3}, {2, 4}},

$\color{gray}{\{\{1,2\},\{3,4\}\}},\ \color{red}{\{\{1,4\},\{2,3\}\}},\ \color{red}{\{\{1,3\},\{2,4\}\}},$

ซึ่งทั้งสองสิ่งที่ดี (ที่สองและสาม) มีสีแดง ดังนั้นคำตอบในกรณีที่คือ2/3 $n=2$ $2/3$

เราอาจทำกราฟพาร์ติชันดังกล่าวโดยการพล็อตจุดในบรรทัดตัวเลขและ การวาดเส้นแบ่งระหว่างแต่ละและชดเชยพวกมันเล็กน้อยเพื่อแก้ไขการเหลื่อมกันของภาพ นี่คือพล็อตของสามพาร์ติชั่นก่อนหน้านี้ในลำดับเดียวกันด้วยสีเดียวกัน: $\{\{l_i,r_i\},\,i=1,2,\ldots,n\}$ $\{1,2,\ldots,2n\}$ $l_i$ $r_i$

รูปที่ 1

จากนี้ไปเพื่อให้พอดีกับแปลงดังกล่าวได้อย่างง่ายดายในรูปแบบนี้ฉันจะเปลี่ยนพวกเขาไปด้านข้าง ตัวอย่างเช่นต่อไปนี้เป็นพาร์ติชันสำหรับอีกครั้งด้วยพาร์ทิชันที่มีสีแดง: $15$ $n=3$

รูปที่ 2

สิบเป็นสิ่งที่ดีดังนั้นคำตอบสำหรับคือ2/3 $n=3$ $10/15=2/3$

สถานการณ์ที่น่าสนใจครั้งแรกเกิดขึ้นเมื่อ 4 ตอนนี้เป็นครั้งแรกที่มีความเป็นไปได้ที่การรวมกันของช่วงเวลาจะครอบคลุมถึงโดยไม่มีตัวใดตัวหนึ่งตัดผ่านตัวอื่น ตัวอย่างคือ\} ยูเนี่ยนของส่วนของเส้นจะไม่แตกจากถึงแต่นี่ไม่ใช่พาร์ติชั่นที่ดี อย่างไรก็ตามของพาร์ทิชันที่เป็นสิ่งที่ดีและสัดส่วนที่ยังคง2/3 $n=4$ $1$ $2n$ $\{\{1,3\},\{2,5\},\{4,7\},\{6,8\}\}$ $1$ $8$ $70$ $105$ $2/3$

จำนวนของพาร์ทิชันที่เพิ่มขึ้นอย่างรวดเร็วด้วย : มันเท่ากับNN!)! การแจกแจงครบถ้วนของความเป็นไปได้ทั้งหมดผ่านยังคงให้ผลเป็นคำตอบ การจำลอง Monte Carlo ผ่าน- (ใช้ซ้ำในแต่ละครั้ง) การแสดงไม่มีการเบี่ยงเบนอย่างมีนัยสำคัญจาก2/3 $n$ $1\cdot 3\cdot 5 \cdots \cdot 2n-1 = (2n)!/(2^nn!)$ $n=7$ $2/3$ $n=100$ $10000$ $2/3$

ฉันเชื่อว่ามีวิธีที่ฉลาดและเรียบง่ายที่จะแสดงให้เห็นว่ามีอัตราส่วนของพาร์ติชั่นที่ดีและไม่ดีเสมอ แต่ฉันไม่พบ หลักฐานมีให้ผ่านการบูรณาการอย่างระมัดระวัง (ใช้การกระจายแบบดั้งเดิมของ ) แต่มันมีส่วนเกี่ยวข้องและไม่มีแสง $2:1$ $X_i$

— whuber
แหล่งที่มา

เด็ดมาก ฉันมีเวลาที่ยากลำบากในการติดตาม "เงื่อนไขในสถิติการสั่งซื้อ" หมายความว่าเป็นไปได้ไหมที่จะเพิ่มบรรทัดของสัญชาตญาณ ดูเหมือนว่าเทคนิคที่มีประโยชน์ ฉันเข้าใจว่าสามารถแลกเปลี่ยนได้จริง ๆ แม้กระทั่งว่าสิ่งนี้ช่วยให้เราพิจารณาการเปลี่ยนแปลงใด ๆ

$X_i$

$iid$

— ekvall

@Student To "condition on" หมายถึงพูดว่าให้เก็บค่าเหล่านี้ไว้ชั่วคราวและพิจารณาสิ่งที่เราสามารถเรียนรู้ได้จากสิ่งนั้น หลังจากนั้นเราจะให้ค่าเหล่านั้นเปลี่ยนแปลง (ตามการแจกแจงความน่าจะเป็น) ในกรณีนี้เมื่อเราพบว่าคำตอบคือโดยไม่คำนึงถึงค่าคงที่ของสถิติการสั่งซื้อเราจะไม่ต้องดำเนินการขั้นตอนที่สองของการเปลี่ยนแปลงสถิติการสั่งซื้ออีกต่อไป ศาสตร์สถิติลำดับคือตัวแปรเวกเตอร์ - ค่าและตัวบ่งชี้ความเป็นดีคือดังนั้น

$2/3$

$\mathbf{X}$

$Y$

$\mathbb{E}(Y)=\mathbb{E}(\mathbb{E}(Y|\mathbf{X}))=\mathbb{E}(2/3)=2/3.$

— whuber