การแจกจ่ายนี้มีชื่อหรือไม่? หรือกระบวนการสุ่มที่สามารถสร้างได้คืออะไร?

การกระจายแบบไม่ต่อเนื่องพร้อมฟังก์ชันมวล

p (x; k) = \frac{k}{(x + k) (x + k - 1)}, x = 1, 2, \dots

$p(x;k) = \frac{k}{(x+k)(x+k-1)},\quad x = 1,2,\ldots$

เกิดขึ้นในหน้า 9 ของเอกสารนี้

สำหรับเป็นการกระจายของ Yule-Simon ที่มีแต่ฉันไม่พบตัวอย่างอื่น $k=1$ $\rho=1$

มันมีชื่อหรือไม่? ปรากฏในบริบทอื่นหรือไม่ มีกระบวนการสุ่มอย่างง่ายที่อาจสร้างมันขึ้นมา?

distributions

— Simon Byrne
แหล่งที่มา

มันเป็นกฎหมายพลังงานที่ไม่ต่อเนื่อง

(นี่คือคำอธิบาย -ความหมายของใครจะถูกต้องด้านล่าง - มากกว่าคำศัพท์ทางเทคนิควลี "กฎหมายพลังงานที่ไม่ต่อเนื่อง" มีความหมายทางเทคนิคที่แตกต่างกันเล็กน้อยตามที่ @ Cardinal แสดงความคิดเห็นต่อคำตอบนี้)

หากต้องการดูสิ่งนี้สังเกตว่าสามารถแยกส่วนย่อยบางส่วนได้

p (x; k) = \frac{k}{(x + k) (x + k - 1)} = \frac{1}{1 + (x - 1) / k} - \frac{1}{1 + x / k} .

$p(x;k) = \frac{k}{(x+k)(x+k-1)} = \frac{1}{1 + (x-1)/k} - \frac{1}{1 + x/k}.$

กล้องโทรทรรศน์ CDF ในรูปแบบปิด:

\begin{aligned} CDF (i) = \sum_{x = 1}^{i} p (x; k) \\ = & [\frac{1}{1 + 0 / k} - \frac{1}{1 + 1 / k}] + [\frac{1}{1 + 1 / k} - \frac{1}{1 + 2 / k}] + \dots + [\frac{1}{1 + (i - 1) / k} - \frac{1}{1 + i / k}] \\ = & \frac{1}{1 + 0 / k} + [- \frac{1}{1 + 1 / k} + \frac{1}{1 + 1 / k}] + [- \frac{1}{1 + 2 / k} + \dots + \frac{1}{1 + (i - 1) / k}] - \frac{1}{1 + i / k} \\ = & 1 + 0 + \dots + 0 - \frac{1}{1 + i / k} \\ = & \frac{i}{i + k} . \end{aligned}

$\eqalign{ &\text{CDF}(i) = \sum_{x=1}^i p(x;k) \\ = &[\frac{1}{1 + 0/k} - \frac{1}{1 + 1/k}] + [\frac{1}{1 + 1/k} - \frac{1}{1 + 2/k}] + \cdots + [\frac{1}{1 + (i-1)/k} - \frac{1}{1 + i/k}] \\ = &\frac{1}{1 + 0/k} + [- \frac{1}{1 + 1/k} + \frac{1}{1 + 1/k}] + [ - \frac{1}{1 + 2/k} + \cdots + \frac{1}{1 + (i-1)/k}] - \frac{1}{1 + i/k} \\ = &1 + 0 + \cdots + 0 - \frac{1}{1 + i/k} \\ = &\frac{i}{i+k}. }$

(อนึ่งเพราะนี่คือฤeasilyษีง่ายมันเป็นวิธีที่มีประสิทธิภาพในการสร้างตัวแปรสุ่มจากการกระจาย: เพียงแค่คำนวณที่กระจายอย่างสม่ำเสมอใน .) $\lceil \frac{k u}{1 - u} \rceil$ $u$ $(0,1)$

ความแตกต่างของนิพจน์นี้เทียบกับแสดงให้เห็นว่าCDF สามารถเขียนเป็นส่วนประกอบได้อย่างไร $i$

CDF (i) = \frac{i}{i + k} = \int_{0}^{i} \frac{d t / k}{(1 + t / k)^{2}} = \sum_{x = 1}^{i} \int_{x - 1}^{x} \frac{d t / k}{(1 + t / k)^{2}},

$\text{CDF}(i) = \frac{i}{i+k} = \int_0^i \frac{dt/k}{(1 + t/k)^2} = \sum_{x=1}^i \int_{x-1}^x \frac{dt/k}{(1 + t/k)^2},$

จากไหน

p (x; k) = \int_{x - 1}^{x} \frac{d t / k}{(1 + t / k)^{2}} .

$p(x;k) = \int_{x-1}^x \frac{dt/k}{(1 + t/k)^2}.$

รูปแบบการเขียนนี้แสดงให้เห็นว่าเป็นพารามิเตอร์มาตราส่วนสำหรับตระกูลการแจกแจงแบบต่อเนื่องที่พิจารณาจากความหนาแน่น $k$

f (ξ) d ξ = (1 + ξ)^{- 2} d ξ

$f(\xi)d\xi = (1 + \xi)^{-2}\, d\xi$

และแสดงให้เห็นว่าเป็นรุ่นที่ discretized ของ (ปรับขนาดโดย ) ที่ได้รับจากการบูรณาการอย่างต่อเนื่องน่าจะมากกว่าช่วงเวลาจากเพื่อxที่เห็นได้ชัดอำนาจกฎหมายกับตัวแทน-2การสังเกตนี้ช่วยให้คุณเข้าถึงวรรณกรรมที่กว้างขวางเกี่ยวกับกฎหมายพลังงานและวิธีการที่พวกเขาเกิดขึ้นในวิทยาศาสตร์วิศวกรรมและสถิติซึ่งอาจแนะนำคำตอบมากมายสำหรับคำถามสองข้อสุดท้ายของคุณ $p(x;k)$ $f$ $k$ $x-1$ $x$ $-2$

— whuber
แหล่งที่มา

(+1) จากฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็นเป็นที่ชัดเจนว่าเป็นซึ่งดูเหมือนว่าเพียงพอที่จะสรุปได้ว่ามันคือการกระจายอำนาจ - กฎ ในความเป็นจริงเป็น\

p (x; k) \sim k x^{- 2}

$p(x; k) \sim k x^{-2}$

x \to \infty

$x \to \infty$

p (x; k) x^{2} / k ↑ 1

$p(x;k) x^2 / k \uparrow 1$

x \to \infty

$x \to \infty$

— พระคาร์ดินัล

@ cardinal คุณพูดถูก แต่มีข้อ จำกัด ในเรื่องนี้: มันแสดงให้เห็นว่าเป็นasymptoticallyกฎหมายพลังงาน การคำนวณแสดงให้เห็นว่ามันเป็นตรงรุ่น discretized ของกฎหมายพลังงาน

p

$p$

— whuber

ฉันไม่แน่ใจเกี่ยวกับความแตกต่างที่คุณพยายามวาด น่าเสียดายที่ฉันไม่ได้มีโอกาสคิดอย่างรอบคอบ แต่ดูเหมือนว่าคุณกำลังกำหนดการแจกแจงกฎหมายพลังงานแบบไม่ต่อเนื่องเป็นแบบที่เป็นเวอร์ชั่นที่ไม่ต่อเนื่องของการกระจายกฎหมายพลังงานแบบต่อเนื่อง ฉันตีความความคิดเห็นของคุณถูกต้องหรือไม่? เมื่อใดก็ตามที่ฉันเห็นการอ้างอิงถึงกฎหมายพลังงานแบบไม่ต่อเนื่องในวรรณคดีคำจำกัดความตามปกติดูเหมือนจะอ่อนแอกว่า (เช่น asymptotic) ที่ฉันเคยใช้ (ต่อ)

— พระคาร์ดินัล

(ต่อ) ในทางกลับกันการกระจาย Zipfดูเหมือนจะบริสุทธิ์ของกฎหมายพลังงานที่ไม่ต่อเนื่องเท่าที่จะทำได้ แต่ฉันไม่เชื่อว่ามันสามารถสร้างขึ้นเป็น discretization ของกฎหมายพลังงานอย่างต่อเนื่อง ฉันตีความความตั้งใจของคุณผิดหรือไม่? (โดยวิธีการพัฒนาของคุณข้างต้นค่อนข้างดีการรับรู้ของผลรวมเหลื่อมสำหรับ cdf นั้นยอดเยี่ยมเช่นเดียวกับการรับรู้ของรูปแบบการสุ่มตัวอย่างง่าย)

— cardinal

โอเคหลังจากการตรวจสอบอีกเล็กน้อยฉันพบรายละเอียดเพิ่มเติม

มันเป็นกรณีพิเศษของส่วนผสมอย่างต่อเนื่องของการกระจายทางเรขาคณิตที่มีเบต้าดังนั้นอาจจะเรียกว่าการกระจาย Beta-เรขาคณิต โดยเฉพาะถ้า: และ: ดังนั้นการกระจายตัวของมีการกระจายนี้ เช่นนี้มันเป็นกรณีพิเศษของการกระจายทวินามเบต้าเชิงลบ

P \sim B e t a (1, k)

$P \sim \mathrm{Beta}(1,k)$

X | P \sim G e o m e t r i c (P)

$X|P \sim \mathrm{Geometric}(P)$

Y = X + 1

$Y = X+1$

มันมีคุณสมบัติที่น่าสนใจอีกสองสามอย่าง:

มันมีค่าเฉลี่ยไม่สิ้นสุด
มันอธิบายการกระจายหางของตัวเอง: ถ้ามีการกระจายนี้กับพารามิเตอร์ดังนั้นมีพารามิเตอร์ k $X$ $k$ $X-t | X>t$ $t+k$

— Simon Byrne
แหล่งที่มา