ความแปรปรวนร่วมของตัวแปรมาตรฐานมีความสัมพันธ์กันหรือไม่?

ฉันมีคำถามพื้นฐาน ว่าฉันมีสองตัวแปรสุ่มและYฉันสามารถสร้างมาตรฐานให้พวกเขาโดยการหักค่าเฉลี่ยและหารด้วยค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานคือ(X))} $X$ $Y$ $X_{standardized} = \frac{(X - E(X))}{(SD(X))}$

ความสัมพันธ์ของและ ,เท่ากับความแปรปรวนร่วมของและเวอร์ชันมาตรฐานหรือไม่? นั่นคือหรือไม่ $X$ $Y$ $Cor(X, Y)$ $X$ $Y$ $Cor(X, Y) = Cov(X_{standardized}, Y_{standardized})$

correlation covariance standardization

— เจคฟิชเชอร์
แหล่งที่มา

ใช่.

${}{}{}{}{}$

— Dilip Sarwate

\begin{aligned} corr (X, Y) & = \frac{E ((X - E (X)) \times (Y - E (Y)))}{S D (X) \times S D (Y)} \\ Cov (X_{standardized}, Y_{standardized}) & = E [(\frac{(X - E (X))}{(S D (X))} - 0) \times (\frac{(Y - E (Y))}{(S D (Y))} - 0)] \\ = \frac{E ((X - E (X)) \times (Y - E (Y)))}{S D (X) \times S D (Y)} \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{corr}(X,Y)&=\frac{E\Big((X-E(X))\times(Y-E(Y))\Big)}{SD(X)\times SD(Y)}\\ \operatorname{Cov}(X_{\text{standardized}}, Y_{\text{standardized}}) &=E\Bigg[\Bigg(\frac{(X - E(X))}{(SD(X))}-0\Bigg)\times\Bigg(\frac{(Y - E(Y))}{(SD(Y))}-0\Bigg)\Bigg]\\ &= \frac{E\Big((X-E(X))\times(Y-E(Y))\Big)}{SD(X)\times SD(Y)} \end{align}$ ใช่แล้ว!

— Hemant Rupani
แหล่งที่มา

อะไร???? ทางด้านขวาของสมการแรกของคุณคือตัวแปรสุ่มในขณะที่ด้านซ้ายเป็นค่าคงที่

— Dilip Sarwate

ไม่ผิดพลาด คำถามเกี่ยวกับความสัมพันธ์และความแปรปรวนร่วมของตัวแปรสุ่มในขณะที่คำตอบของคุณเกี่ยวกับความสัมพันธ์ตัวอย่างและความแปรปรวนร่วม ตัวอย่างเช่นผลที่ถามเกี่ยวกับการถือสำหรับตัวแปรสุ่มต่อเนื่องในขณะที่ดีสิ่งที่คุณมีใช้เฉพาะกับตัวแปรสุ่มต่อเนื่องการที่ค่ามีโอกาสที่เท่าเทียมกัน1N

(X_{1}, Y_{1}), \dots, (X_{n}, Y_{n})

$(X_1,Y_1), \ldots, (X_n,Y_n)$

\frac{1}{n}

$\frac 1n$

— Dilip Sarwate

ไม่มาก คุณไม่จำเป็นต้องใช้ตัวห้อยเลยดังนั้นฉันได้ไปข้างหน้าและลบออกและปรับปรุงงานนำเสนอเล็กน้อย อย่าลังเลที่จะย้อนกลับหากคุณไม่ชอบการเปลี่ยนแปลง

i

$i$

— Dilip Sarwate

คุณกำลังนำ SD (X) และ SD (Y) ออกจากความคาดหวัง อธิบายเหตุผลของขั้นตอนนี้หน่อยได้ไหม

— Erdogan CEVHER

@Erdogan ค่าคงที่สามารถนำออกไปนอกฟังก์ชั่นที่คาดหวัง () โดยไม่เปลี่ยนแปลง

— Hemant Rupani