อะไรคือความหมายตามสัญชาตญาณของตัวแปรสุ่มที่ถูกนิยามว่าเป็น“ ขัดแตะ”?

ในทฤษฎีความน่าจะเป็นค่าลบตัวแปรสุ่มเรียกว่าตาข่ายถ้ามีดังกล่าวว่า1$X$$d \geq 0$$\sum_{n=0}^{\infty}P(X=nd) = 1$

มีการตีความทางเรขาคณิตสำหรับสาเหตุที่คำนิยามนี้เรียกว่าขัดแตะ?

หมายความว่า$X$ไม่ต่อเนื่องและมีระยะห่างปกติกระจายอยู่บางส่วน นั่นคือมวลความน่าจะเป็นจะรวมอยู่ในชุด จำกัด / นับคะแนน${d, 2d, 3d, \dots}$...

โปรดทราบว่าการแจกแจงแบบแยกทั้งหมดไม่ใช่แบบโปรย เช่นถ้า$X$สามารถใช้ในค่า$\{1, e, \pi, 5\}$นี้ไม่ได้เป็นตาข่ายเนื่องจากไม่มี$d$ดังกล่าวว่าค่าทั้งหมดสามารถแสดงเป็นทวีคูณของd$d$

คำศัพท์นี้เชื่อมโยงตัวแปรสุ่มกับแนวคิดของ ทฤษฎีกลุ่มที่ใช้ในการศึกษาความสมมาตรทางเรขาคณิต คุณอาจสนุกกับการเห็นการเชื่อมต่อทั่วไปซึ่งจะส่องสว่างความหมายและการใช้งานที่อาจเกิดขึ้นของตัวแปรสุ่มตาข่าย

พื้นหลัง

ในวิชาคณิตศาสตร์เป็น "ตาข่าย" เป็นกลุ่มย่อยที่ไม่ต่อเนื่องของกลุ่มทอพอโลยีG ( มักจะสันนิษฐานว่าจะมีการ จำกัด covolume )$\mathcal{L}$$G$

• "ไม่ต่อเนื่อง" หมายถึงว่าประมาณแต่ละองค์ประกอบเป็นชุดเปิดOกรัม ⊂ Lที่มีเพียงกรัมตัวเอง: Oกรัม ∪ L = { G } มันจะยุติธรรมที่จะคิดว่าLเป็นการจัดเรียง "แบบ" หรือ "ปกติ" ของจุดใน$g\in\mathcal{L}$$\mathcal{O}_g\subset\mathcal{L}$$g$$\mathcal{O}_g\cup\mathcal{L}=\{g\}$$\mathcal{L}$$G$ G

• กลุ่มทำหน้าที่เกี่ยวกับLโดย "จุดเคลื่อนที่ในLรอบ ๆ ในG " ก่อตัววงโคจรออกจากกัน โดเมนพื้นฐานของการกระทำนี้ประกอบด้วยจุดเดียวในแต่ละวงโคจร Gสามารถติดตั้งกับตัวชี้วัด - วัด Haar - ใช้ในการวัดขนาดหรือปริมาณของ Borel ย่อยที่วัดได้ของG สามารถพบโดเมนพื้นฐานที่สามารถวัดได้ ปริมาณของมันคือcovolumeของL เมื่อมัน จำกัด เราสามารถคิดว่าGถูกปูด้วยโดเมนพื้นฐานนี้และองค์ประกอบของLในขณะที่ย้ายแผ่นกระเบื้องไปรอบ ๆ$G$$\mathcal{L}$$\mathcal{L}$$G$$G$$G$$\mathcal{L}$$G$$\mathcal{L}$

คู่ของตัวเลขของม้าน้ำเหล่านี้ - ที่หนึ่งอยู่ด้านขวาและอีกด้านคว่ำ - อาจเป็นโดเมนพื้นฐานสำหรับโครงตาข่ายที่เห็นได้ชัดเจนในระนาบแบบยุคลิด MC Escher, Sea Horse (ฉบับที่ 11)

A "ตาข่าย" ตัวแปรสุ่มได้รับการสนับสนุนบนตาข่ายใน( R n , + )$X$$(\mathbb{R}^n, {+})$ ซึ่งหมายความว่าน่าจะเป็นทั้งหมดที่มีอยู่ในการปิดตาข่าย เพราะตาข่ายเป็นต่อเนื่องก็จะปิดดังนั้นค่าของอยู่บนตาข่ายเกือบแน่นอน: พีอาร์( X ∈ L ) = 1$X$$\Pr(X\in\mathcal{L})=1$

ใบสมัคร

กลุ่มที่บ่งบอกถึงคำถามคือกลุ่มสารเติมแต่งของจำนวนจริงพร้อมโทโพโลยี (Euclidean) ตามปกติ ในฐานะที่เป็นกลุ่มย่อยตาข่ายLต้องมี0 เพียงอย่างเดียวนั้นจะไม่พอเพียงเนื่องจากความฉลาดR / { 0 }มีปริมาณไม่ จำกัด ("ปริมาณ" = "ความยาว" ในกรณี 1D นี้) ดังนั้นจึงมีอย่างน้อยหนึ่งภัณฑ์องค์ประกอบกรัม∈ L อำนาจทั้งหมดขององค์ประกอบนี้จะต้องอยู่ในกลุ่มย่อย เนื่องจากการดำเนินการนอกจากนี้ที่n THพลังของกรัมเป็นn $(\mathbb{R}, {+})$$\mathcal{L}$$0$$\mathbb{R}/\{0\}$$g\in\mathcal{L}$$n^\text{th}$$g$$ng$. ดังนั้นจึงมีการคูณทวีคูณทั้งหมดของg (รวมถึงการลบ)$\mathcal{L}$$g$

หากมีสององค์ประกอบซึ่งไม่ใช่พลังของกันและกันมันเป็นเรื่องง่ายที่จะแสดง (ใช้ทฤษฎีจำนวนเล็กน้อย) ที่ (1) ชุดค่าผสมทั้งหมดn g + m hสำหรับn , m ∈ Zอยู่ในการติดต่อแบบหนึ่งต่อหนึ่งกับคู่ที่ได้รับคำสั่ง( m , n )และ (2) ชุดค่าผสมเหล่านี้มีความหนาแน่นในRซึ่งหมายความว่าLไม่ต่อเนื่อง จากนี้จึงเป็นเรื่องง่ายที่จะสรุปว่าองค์ประกอบทั้งหมดในLเป็นพลังของตัวเลขเดียว$h,g\in\mathcal{L}$$ng+mh$$n,m\in\mathbb{Z}$$(m,n)$$\mathbb{R}$$\mathcal{L}$$\mathcal{L}$กรัม$g$ นี่คือกำเนิดของ$\mathcal{L}$ L

(อาร์กิวเมนต์อะนาล็อกแสดงว่า lattices ในต้องมี$(\mathbb{R}^n, {+})$$n$เครื่องกำเนิดไฟฟ้าเครื่องกำเนิดสำหรับสีน้ำ Escher อาจจะพูดการแปลของสองหน่วยลงและการแปลหนึ่งหน่วยลงและหนึ่งหน่วยทางด้านขวาประมาณ )

ดังนั้นสอดคล้องกับตัวแปรสุ่ม lattice ใด ๆ ที่มีมูลค่าบน( R , + )จะต้องเป็นตัวกำเนิดg ≠ 0ดังนั้น$X$$(\mathbb{R}, {+})$$g\ne 0$

$$\sum_{n=0}^\infty \Pr(X=ng) \le \sum_{n=-\infty}^\infty \Pr(X=ng) = \Pr(X\in\mathcal{L}) = 1.$$

คำจำกัดความในคำถามจึงสามารถเข้าใจได้ว่าเป็นของตัวแปรขัดแตะที่ไม่เป็นลบ เราอาจต้องการระบุว่ามิฉะนั้นXจะได้รับการสนับสนุนในกลุ่มย่อย{ 0 $\Pr(X=0) \lt 1$$X$$\{0\}$ซึ่งมีโควาลูมไม่สิ้นสุดไม่ได้เป็นตาข่าย

ลักษณะทั่วไป

จำนวนจริงบวกก่อตัวเป็นกลุ่มแบบทวีคูณ ตาข่ายในกลุ่มนี้จะอยู่ในรูปแบบL = { g $(\mathbb{R}^{+}, {\times})$สำหรับบางกรัม> 0 (ใน covolume ขัดแตะนี้อยู่ |เข้าสู่ระบบ( กรัม) | .) ดังนั้นการใด ๆ ตัวแปรสุ่ม Yที่$\mathcal{L} = \{g^n\,|\,n\in\mathbb{Z}\}$$g \gt 0$$|\log(g)|$$Y$

$$\sum_{n=-\infty}^\infty \Pr(Y=g^n) = 1$$

อาจถือเป็นตัวแปรขัดแตะในกลุ่มนี้ เห็นได้ชัดว่าจะเป็นตัวแปรในตาข่าย( R , + )$\log(Y)$$(\mathbb{R}, {+})$