สมมติว่าเป็นตัวแปรสุ่มของ iid ลำดับใดที่คาดว่าจะลดลงเป็นครั้งแรก

10

ตามที่แนะนำในชื่อ สมมติว่าอย่างต่อเนื่องตัวแปรสุ่ม IID กับไฟล์ PDF ฉพิจารณาเหตุการณ์ที่ ,ดังนั้นคือเมื่อลำดับลดลงเป็นครั้งแรก แล้วค่าของคืออะไร? $X_1, X_2, \dotsc, X_n$ $f$ $X_1 \leq X_2 \dotsc \leq X_{N-1} > X_N$ $N \geq 2$ $N$ $E[N]$

ฉันพยายามประเมินก่อน ฉันมี ในทำนองเดียวกันผมได้{8} เมื่อมีขนาดใหญ่การคำนวณจะซับซ้อนมากขึ้นและฉันไม่สามารถหารูปแบบได้ ใครช่วยแนะนำฉันควรดำเนินการต่อ $P[N = i]$

\begin{aligned} P [N = 2] & = \int_{- \infty}^{\infty} f (x) F (x) d x \\ = \frac{F (x)^{2}}{2} |_{- \infty}^{\infty} \\ = \frac{1}{2} \\ P [N = 3] & = \int_{- \infty}^{\infty} f (x) \int_{x}^{\infty} f (y) F (y) d y d x \\ = \int_{- \infty}^{\infty} f (x) \frac{1 - F (x)^{2}}{2} d x \\ = \frac{F (x) - F (x)^{3} / 3}{2} |_{- \infty}^{\infty} \\ = \frac{1}{3} \end{aligned}

$\begin{align*} P[N = 2] & = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)F(x)dx \\ & = \frac{F(x)^2}{2}\Large|_{-\infty}^{\infty} \\ & = \frac{1}{2} \\ P[N = 3] & = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\int_x^{\infty}f(y)F(y)dydx \\ & = \int_{-\infty}^{\infty}f(x)\frac{1-F(x)^2}{2}dx \\ & = \frac{F(x)-F(x)^3/3}{2}\Large|_{-\infty}^{\infty} \\ & = \frac{1}{3} \end{align*}$

P [N = 4] = \frac{1}{8}

$P[N = 4] = \frac{1}{8}$

i

$i$

probability self-study iid

— Hao The กะหล่ำปลี
แหล่งที่มา

นี่เป็นคำถามจากหลักสูตรหรือตำราหรือไม่? ถ้าเป็นเช่นนั้นโปรดเพิ่ม[self-study]แท็กและอ่านของวิกิพีเดีย

— Silverfish

1

คำใบ้. พิจารณาอันดับซึ่งควรมีการสับเปลี่ยนแบบสุ่ม มีการจัดอันดับn มีการเปลี่ยนแปลงเพียงครั้งเดียวที่เพิ่มขึ้นทั้งหมด สำหรับมีการสังเกตซึ่งไม่ใช่ค่าสูงสุดซึ่งเราสามารถนำออกมาและวางในตอนท้ายเพื่อสร้างลำดับที่เพิ่มขึ้นจนกระทั่งตำแหน่งสุดท้ายแล้วลดลง ดังนั้นความน่าจะเป็นของนี่คือจาก ... นั่นควรจัดเรียงคุณด้วย ,และที่คุณพบและให้สูตรง่ายๆในการสรุป ผลรวมค่อนข้างง่าย

n!

$n!$

1, 2, \dots, n

$1, 2, \dots, n$

X_{i}

$X_i$

n \geq 2

$n \geq 2$

n - 1

$n-1$

n - 1

$n-1$

1 / 2

$1/2$

1 / 3

$1/3$

1 / 8

$1/8$

— Silverfish

(และหากคุณไม่สามารถคาดเดาผลลัพธ์ของซีรีส์คุณจะต้องรวมกันเพื่อหาค่าเฉลี่ยบางทีคุณควรใช้แบบจำลองของมันคุณจะรู้จักทศนิยมสองคู่แรก)

— Silverfish

มันเป็นปัญหาจากการสอบที่ฉันทำในวันนี้ ขอบคุณสำหรับคำใบ้ตอนนี้ฉันหาวิธีแก้ปัญหาแล้ว

— Hao The Cabbage

2

stats.stackexchange.com/questions/51429/…นั้นซ้ำซ้อน แม้ว่ามันจะเกี่ยวข้องกับการแจกแจงแบบสม่ำเสมอ แต่ก็แทบจะเป็นเรื่องเล็กน้อยที่จะแสดงให้เห็นว่าคำถามสองข้อนั้นมีความเท่าเทียมกัน (วิธีหนึ่ง: ใช้การแปลงความน่าจะเป็นแบบอินทิกรัลให้เป็น )

X_{i}

$X_i$

— whuber

9

ถ้าเป็นลำดับที่สามารถแลกเปลี่ยนได้ของตัวแปรสุ่มและแล้วหากและเป็นไปได้ ถ้า{n-1} ดังนั้น โดยสมมาตร ดังนั้น2.71828 $\{X_i\}_{i\geq 1}$

N = min {n : X_{n - 1} > X_{n}},

$N=\min\,\{n:X_{n-1}>X_n\},$

N \geq n

$N\geq n$

X_{1} \leq X_{2} \leq \dots \leq X_{n - 1}

$X_1\leq X_2\leq\dots\leq X_{n-1}$

Pr (N \geq n) = Pr (X_{1} \leq X_{2} \leq \dots \leq X_{n - 1}) = \frac{1}{(n - 1)!}, (*)

$\Pr(N\geq n) = \Pr(X_1\leq X_2\leq\dots\leq X_{n-1})=\frac{1}{(n-1)!}, \qquad (*)$

E [N] = \sum_{n = 1}^{\infty} Pr (N \geq n) = e \approx 2.71828 \dots

$\mathrm{E}[N]=\sum_{n=1}^\infty \Pr(N\geq n)=e\approx 2.71828\dots$

PS คนถามเกี่ยวกับหลักฐานการ(*)เนื่องจากลำดับนั้นสามารถแลกเปลี่ยนได้จึงต้องเป็นอย่างนั้นสำหรับการเปลี่ยนแปลงใด ๆเรามี เนื่องจากเรามีการเรียงสับเปลี่ยนที่เป็นไปได้ผลที่ตามมา $(*)$ $\pi:\{1,\dots,n-1\}\to\{1,\dots,n-1\}$

Pr (X_{1} \leq X_{2} \leq \dots \leq X_{n - 1}) = Pr (X_{π (1)} \leq X_{π (2)} \leq \dots \leq X_{π (n - 1)}) .

$\Pr(X_1\leq X_2\leq\dots\leq X_{n-1}) = \Pr(X_{\pi(1)}\leq X_{\pi(2)}\leq\dots\leq X_{\pi(n-1)}).$

(n - 1)!

$(n-1)!$

— เซน
แหล่งที่มา

2

ฉันชอบสิ่งนี้ - มันเป็นเครื่องเตือนใจว่าเราไม่จำเป็นต้องค้นหาบุคคลเพื่อหาค่าเฉลี่ยของ Y และมันจะมีประโยชน์มากขึ้นถ้าไปที่แทน

Pr (Y = y)

$\Pr(Y=y)$

Pr (Y \geq y)

$\Pr(Y \geq y)$

— Silverfish

1 - แต่นี้ไม่จริงตอบคำถามซึ่งซึมให้จำกัดจำนวนx_iอย่างไรก็ตามเทคนิคนี้ใช้กับกรณี จำกัด อย่างชัดเจน

X_{i}

$X_i$

— whuber

1

สับสนเล็กน้อยใช่มั้ย OP ระบุว่า "ลำดับ" แต่คุณพูดถูก โดยวิธีการที่มันง่ายที่จะให้คุณทราบว่าผลที่ควรจะเป็น "สากล" (มันเป็น) ในแง่ที่ว่ามันไม่ได้ขึ้นอยู่กับการกระจายของ (จัดจำหน่าย identicaly) เดอะ 's?

X_{i}

$X_i$

— เซน

1

ที่จริงแล้วไม่จำเป็นต้องมีอิสรภาพ การแลกเปลี่ยนนั้นเพียงพอ ผลลัพธ์ที่ได้จะแข็งแกร่งขึ้น ฉันจะเพิ่มลงในคำตอบของฉัน

— เซน

3

มันใช้งานง่ายที่มันเป็นสากลสำหรับตัวแปรต่อเนื่อง วิธีหนึ่งที่จะทำให้เรื่องนี้ชัดเจนคือการรับรู้ว่าเหตุการณ์ยังคงไม่เปลี่ยนแปลงเมื่อใช้การแปลงความน่าจะเป็นแบบอินทิกรัลซึ่งจะลดลงไปในกรณีที่ตัวแปรมีการแจกแจงแบบทั่วไป

— whuber

8

ตามที่ Silverfish แนะนำฉันกำลังโพสต์โซลูชันด้านล่าง และ

\begin{aligned} P [N = i] & = P [X_{1} \leq X_{2} \dots \leq X_{i - 1} > X_{i}] \\ = P [X_{1} \leq X_{2} \dots \leq X_{i - 1}] - P [X_{1} \leq X_{2} \dots \leq X_{i - 1} \leq X_{i}] \\ = \frac{1}{(i - 1)!} - \frac{1}{i!} \end{aligned}

$\begin{align*} P[N = i] & = P[X_1 \leq X_2 \dotsc \leq X_{i-1} > X_i] \\ & = P[X_1 \leq X_2 \dotsc \leq X_{i-1}] - P[X_1 \leq X_2 \dotsc \leq X_{i-1} \leq X_i] \\ & = \frac{1}{(i-1)!} - \frac{1}{i!} \end{align*}$

\begin{aligned} P [N \geq i] & = 1 - P [N < i] \\ = 1 - (1 - \frac{1}{2!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \dots + \frac{1}{(i - 2)!} - \frac{1}{(i - 1)!}) \\ = \frac{1}{(i - 1)!} \end{aligned}

$\begin{align*} P[N \geq i] & = 1 - P[N < i] \\ & = 1 - \left(1 -\frac{1}{2!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \cdots +\frac{1}{(i-2)!} - \frac{1}{(i-1)!}\right)\\ & = \frac{1}{(i-1)!} \\ \end{align*}$

ดังนั้น . $E[N] = \sum_{i = 1}^{\infty}P[N \geq i] = \sum_{i = 1}^{\infty}\frac{1}{(i-1)!} = e$

— Hao The กะหล่ำปลี
แหล่งที่มา

7

อาร์กิวเมนต์ทางเลือก: มีเพียงหนึ่งการสั่งซื้อของที่เพิ่มขึ้นจากพีชคณิตเป็นไปได้ของX_n เราสนใจในการเรียงลำดับที่เพิ่มขึ้นจนกระทั่งตำแหน่งสุดท้ายและลดลง: สิ่งนี้ต้องการค่าสูงสุดที่จะอยู่ในตำแหน่งและหนึ่งในอื่น ๆของจะอยู่ในตำแหน่งสุดท้าย เนื่องจากมีวิธีในการเลือกหนึ่งในคำแรกในลำดับที่เราสั่งและย้ายไปยังตำแหน่งสุดท้ายดังนั้นความน่าจะเป็นคือ: $X_i$ $n!$ $X_1, \dots, X_n$ $n-1$ $n-1$ $X_i$ $n-1$ $n-1$

Pr (N = n) = \frac{n - 1}{n!}

$\Pr(N=n) = \frac{n-1}{n!}$

หมายเหตุ ,และดังนั้นสิ่งนี้สอดคล้องกับผลลัพธ์ที่พบโดยการรวม $\Pr(N=2) = \frac{2-1}{2!} = \frac{1}{2}$ $\Pr(N=3) = \frac{3-1}{3!} = \frac{1}{3}$ $\Pr(N=4) = \frac{4-1}{4!} = \frac{1}{8}$

เพื่อหาค่าที่คาดหวังของเราสามารถใช้: $N$

E (N) = \sum_{n = 2}^{\infty} n Pr (N = n) = \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{n (n - 1)}{n!} = \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{1}{(n - 2)!} = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{1}{k!} = e

$\mathbb{E}(N) = \sum_{n=2}^{\infty} n \Pr(N=n) = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{n(n-1)}{n!} = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{1}{(n-2)!}= \sum_{k=0}^{\infty} \frac{1}{k!} = e$

(เพื่อให้การสรุปชัดเจนยิ่งขึ้นฉันได้ใช้ ; สำหรับผู้อ่านที่ไม่คุ้นเคยกับผลรวมนี้ให้นำซีรี่ส์ Taylorและแทนที่ ) $k=n-2$ $e^x = \sum_{k=0}^{\infty} \frac{x^k}{k!}$ $x=1$

เราสามารถตรวจสอบผลลัพธ์โดยการจำลองนี่คือรหัสใน R:

firstDecrease <- function(x) {
    counter <- 2
    a <- runif(1)
    b <- runif(1)
    while(a < b){
        counter <- counter + 1
        a <- b
        b <- runif(1)
    }
    return(counter)
}

mean(mapply(firstDecrease, 1:1e7))

สิ่งนี้กลับมา2.718347อยู่ใกล้พอที่2.71828จะทำให้ฉันพึงพอใจ

— สีเงิน
แหล่งที่มา

-1

แก้ไข: คำตอบของฉันไม่ถูกต้อง ฉันปล่อยให้มันเป็นตัวอย่างของคำถามง่ายๆที่ดูเหมือนง่าย ๆ แบบนี้คือการตีความผิด

ฉันไม่คิดว่าคณิตศาสตร์ของคุณเป็นที่ถูกต้องสำหรับกรณีที่4] เราสามารถตรวจสอบสิ่งนี้ผ่านการจำลองง่ายๆ: $P[N=4]$

n=50000
flag <- rep(NA, n)
order <- 3
for (i in 1:n) {
  x<-rnorm(100)
  flag[i] <- all(x[order] < x[1:(order-1)])==T
}
sum(flag)/n

ให้เรา:

> sum(flag)/n
[1] 0.33326

เปลี่ยนorderคำเป็น 4 ให้เรา:

> sum(flag)/n
[1] 0.25208

และ 5:

> sum(flag)/n
[1] 0.2023

ดังนั้นถ้าเราเชื่อผลการจำลองของเราดูเหมือนว่ารูปแบบที่เป็นที่{x} แต่มันก็สมเหตุสมผลเช่นกันเนื่องจากสิ่งที่คุณถามจริง ๆ คือความน่าจะเป็นที่การสังเกตใด ๆ ที่ได้รับในชุดย่อยของการสังเกตทั้งหมดของคุณคือการสังเกตขั้นต่ำ (ถ้าเราสมมติว่า iid แล้วเราถือว่าการแลกเปลี่ยนกัน ) หนึ่งในนั้นจะต้องมีค่าต่ำสุดและจริงๆแล้วคำถามคือความน่าจะเป็นที่การสังเกตใด ๆ ที่เลือกโดยการสุ่มนั้นน้อยที่สุด นี่เป็นเพียงกระบวนการทวินาม $P[N = X] = \frac{1}{x}$

— ดัลตัน Hance
แหล่งที่มา

1

คุณตีความคำถามผิดเล็กน้อยหากการอ่านของฉันถูกต้อง - เราต้องการสุดท้ายที่จะเป็นอะไรก็ได้ แต่สูงสุด (ไม่จำเป็นต้องเป็นค่าต่ำสุด) ในขณะที่แรกของต้องอยู่ในลำดับที่เพิ่มขึ้นดังนั้น หนึ่งในตำแหน่งคือค่าสูงสุด

X_{n}

$X_n$

n - 1

$n-1$

X_{i}

$X_i$

n - 1

$n-1$

— Silverfish

ฉันคิดว่ามันเป็นมากกว่าการตีความผิดเล็กน้อย คุณถูกต้องว่าฉันไม่ถูกต้อง

— Dalton Hance