ค่ามัธยฐานเป็นคุณสมบัติ "ตัวชี้วัด" หรือ "โทโพโลยี" หรือไม่?

ฉันขอโทษสำหรับการละเมิดคำศัพท์เล็กน้อย ฉันหวังว่ามันจะชัดเจนว่าฉันหมายถึงด้านล่าง

พิจารณาตัวแปรสุ่มXทั้งค่าเฉลี่ยและค่ามัธยฐานสามารถลักษณะเกณฑ์ optimality: ค่าเฉลี่ยเป็นตัวเลขที่μที่ช่วยลดE ( ( X - μ ) 2 )และค่ามัธยฐานว่าจำนวนซึ่งช่วยลดE ( | X - μ | ) ในมุมมองนี้ความแตกต่างระหว่างค่าเฉลี่ยและค่ามัธยฐานคือทางเลือกของ "ตัวชี้วัด" สำหรับการประเมินการเบี่ยงเบนสี่เหลี่ยมหรือค่าสัมบูรณ์$X$$\mu$$\mathrm E((X - \mu)^2)$$\mathrm E(|X - \mu|)$

บนมืออื่น ๆ , ค่าเฉลี่ยเป็นตัวเลขที่ที่ (สมมติต่อเนื่องแน่นอน) คือคำนิยามนี้ขึ้นอยู่กับความสามารถในการสั่งซื้อค่าของXและเป็นอิสระจากเท่าใดพวกเขาแตกต่าง เป็นผลมาจากสิ่งนี้คือว่าสำหรับทุกฟังก์ชั่นที่เพิ่มขึ้นอย่างเข้มงวดf(x),medฉันan(f(X))=f(medฉันan(X)), หมายถึงมันเป็น "ทอพอโลยี" ใน ความรู้สึกของความไม่แปรเปลี่ยนภายใต้การเปลี่ยนแปลง$\mathrm{Pr}(X \leq \mu) = \frac12$$X$$f(x)$$\mathrm{median}(f(X)) = f(\mathrm{median}(X))$

ตอนนี้ฉันทำคณิตศาสตร์เสร็จแล้วและฉันรู้ว่าการเริ่มต้นจากเกณฑ์การมองโลกในแง่ดีที่สุดที่ฉันสามารถทำได้คือ -quantile ดังนั้นทั้งคู่จึงอธิบายสิ่งเดียวกัน แต่ถึงกระนั้นฉันก็ยังสับสนเพราะปรีชาของฉันบอกฉันว่าสิ่งที่ขึ้นอยู่กับ "ตัวชี้วัด" ไม่สามารถนำไปสู่คุณสมบัติ "ทอพอโลยี"$\frac12$

บางคนสามารถไขปริศนานี้ให้ฉันได้ไหม

ข้อบกพร่องในการให้เหตุผลของคุณคือสิ่งที่ขึ้นอยู่กับตัวชี้วัดไม่สามารถเป็นคุณสมบัติทอพอโลยี

ใช้ความกะทัดรัดของช่องว่างการวัด สิ่งนี้สามารถกำหนดได้ในแง่ของเมตริก: ความกะทัดรัดหมายความว่าพื้นที่นั้นเสร็จสมบูรณ์ (ขึ้นอยู่กับเมตริก) และขอบเขตทั้งหมด (ขึ้นอยู่กับเมตริก) มันกลับกลายเป็นว่าคุณสมบัตินี้เป็นค่าคงที่ภายใต้ homeomorphism และแน่นอนสามารถกำหนดได้ในแง่ของทอพอโลยีเท่านั้น

อีกตัวอย่างหนึ่งคือทฤษฎีที่คล้ายคลึงกันหลายประการ เอกพจน์เอกพจน์อย่างเดียวเท่านั้นคือทอพอโลยีในความหมายของมัน อื่น ๆ ทั้งหมดอย่างง่าย ๆ , เซลลูล่าร์, เดอแรม (โฮโมโลจี้, แต่ให้ฉันคลายตัวเล็กน้อย), ฯลฯ ขึ้นอยู่กับโครงสร้างพิเศษ แต่กลับกลายเป็นว่าเทียบเท่า (และค่อนข้างง่ายกว่าที่จะทำงานด้วย)

สิ่งนี้เกิดขึ้นได้มากในทางคณิตศาสตร์บางครั้งวิธีที่ง่ายที่สุดในการกำหนดบางสิ่งบางอย่างคือในแง่ของโครงสร้างเสริมและจากนั้นก็แสดงให้เห็นว่าสิ่งที่เกิดขึ้นนั้นไม่ได้ขึ้นอยู่กับการเลือกโครงสร้างเสริมทั้งหมด