ปกติหารด้วยให้การแจกแจงแบบที - พิสูจน์ได้

ให้และ(s) $Z \sim N(0,1)$ $W \sim \chi^2(s)$

หากและมีการกระจายอย่างอิสระแล้วตัวแปรดังต่อไปนี้การกระจายกับองศาอิสระs $Z$ $W$ $Y = \frac{Z}{\sqrt{W/s}}$ $t$ $s$

ฉันกำลังมองหาหลักฐานของความจริงนี้การอ้างอิงที่ดีพอถ้าคุณไม่ต้องการที่จะเขียนอาร์กิวเมนต์ที่สมบูรณ์

probability distributions references

สิ่งนี้แสดงให้เห็นอย่างเป็นทางการที่stats.stackexchange.com/questions/52906 : อัตราส่วนเมื่อเขียนเป็นส่วนประกอบจะถูกมองว่าเป็นส่วนผสมของ Gaussians และการสาธิตนั้นแสดงให้เห็นว่าส่วนผสมนั้นมีการกระจาย

— whuber

ในหนังสือบางเล่มนี่เป็นคำจำกัดความของการแจกแจงแบบ t คุณไม่จำเป็นต้องพิสูจน์มัน วิธีหาไฟล์ PDF ที่ให้คำจำกัดความนั้นเป็นคำถามที่ถูกต้อง

— mpiktas

คำตอบ:

Letเป็นตัวแปรสุ่มไคสแควร์กับองศาอิสระ แล้วรากของ ,มีการกระจายเป็นไคกระจายกับองศาอิสระซึ่งมีความหนาแน่น $Y$ $n$ $Y$ $\sqrt Y\equiv \hat Y$ $n$

\begin{matrix} (1) & f_{\hat{Y}} (\hat{y}) = \frac{2^{1 - \frac{n}{2}}}{Γ (\frac{n}{2})} {\hat{y}}^{n - 1} \exp {- \frac{{\hat{y}}^{2}}{2}} \end{matrix}

$f_{\hat Y}(\hat y) = \frac {2^{1-\frac n2}}{\Gamma\left(\frac {n}{2}\right)} \hat y^{n-1} \exp\Big \{{-\frac {\hat y^2}{2}} \Big\} \tag{1}$

กำหนดY จากนั้นและโดยสูตรการเปลี่ยนแปลงของตัวแปรเรามี $X \equiv \frac {1}{\sqrt n}\hat Y$ $\frac {\partial \hat Y}{\partial X} = \sqrt n$

f_{X} (x) = f_{\hat{Y}} (\sqrt{n} x) | \frac{\partial \hat{Y}}{\partial X} | = \frac{2^{1 - \frac{n}{2}}}{Γ (\frac{n}{2})} (\sqrt{n} x)^{n - 1} \exp {- \frac{(\sqrt{n} x)^{2}}{2}} \sqrt{n}

$f_{X}(x) = f_{\hat Y}(\sqrt nx)\Big |\frac {\partial \hat Y}{\partial X} \Big| = \frac {2^{1-\frac n2}}{\Gamma\left(\frac {n}{2}\right)} (\sqrt nx)^{n-1} \exp\Big \{{-\frac {(\sqrt nx)^2}{2}} \Big\}\sqrt n$

\begin{matrix} (2) & = \frac{2^{1 - \frac{n}{2}}}{Γ (\frac{n}{2})} n^{\frac{n}{2}} x^{n - 1} \exp {- \frac{n}{2} x^{2}} \end{matrix}

$=\frac {2^{1-\frac n2}}{\Gamma\left(\frac {n}{2}\right)} n^{\frac n2}x^{n-1} \exp\Big \{{-\frac {n}{2}x^2} \Big\} \tag{2}$

ให้เป็นตัวแปรสุ่มปกติมาตรฐานโดยอิสระจากตัวแปรก่อนหน้าและกำหนดตัวแปรสุ่ม $Z$

T = \frac{Z}{\sqrt{\frac{Y}{n}}} = \frac{Z}{X}

$T = \frac{Z}{\sqrt \frac Yn}= \frac ZX$ ZX

โดยสูตรมาตรฐานสำหรับฟังก์ชันความหนาแน่นของอัตราส่วนของตัวแปรสุ่มอิสระสองตัว

f_{T} (t) = \int_{- \infty}^{\infty} | x | f_{Z} (x t) f_{X} (x) d x

$f_T(t) = \int_{-\infty}^{\infty} |x|f_Z(xt)f_X(x)dx$

แต่สำหรับช่วงเวลาเพราะเป็น rv ที่ไม่เป็นลบดังนั้นเราสามารถกำจัดค่าสัมบูรณ์และลดอินทิกรัลเป็น $f_X(x) = 0$ $[-\infty, 0]$ $X$

ฉ_{T} (เสื้อ) = \int_{0}^{\infty} x ฉ_{Z} (x เสื้อ) ฉ_{X} (x) d x

$f_T(t) = \int_{0}^{\infty} xf_Z(xt)f_X(x)dx$

= \int_{0}^{\infty} x \frac{1}{\sqrt{2 π}} ประสบการณ์ {- \frac{(x เสื้อ)^{2}}{2}} \frac{2^{1 - \frac{n}{2}}}{Γ (\frac{n}{2})} n^{\frac{n}{2}} x^{n - 1} ประสบการณ์ {- \frac{n}{2} x^{2}} d x

$= \int_{0}^{\infty} x \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp \Big \{{-\frac{(xt)^2}{2}}\Big\}\frac {2^{1-\frac n2}}{\Gamma\left(\frac {n}{2}\right)} n^{\frac n2}x^{n-1} \exp\Big \{{-\frac {n}{2}x^2} \Big\}dx$

\begin{matrix} (3) & = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \frac{2^{1 - \frac{n}{2}}}{Γ (\frac{n}{2})} n^{\frac{n}{2}} \int_{0}^{\infty} x^{n} ประสบการณ์ {- \frac{1}{2} (n + {เสื้อ}^{2}) x^{2}} d x \end{matrix}

$= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac {2^{1-\frac n2}}{\Gamma\left(\frac {n}{2}\right)} n^{\frac n2}\int_{0}^{\infty} x^n \exp \Big \{-\frac 12 (n+t^2) x^2\Big\} dx \tag{3}$

อินทิเกรตในดูเหมือนว่าจะกลายเป็นฟังก์ชันความหนาแน่นของแกมม่าในที่สุด ข้อ จำกัด ของการรวมเข้าด้วยกันถูกต้องดังนั้นเราจำเป็นต้องปรับใช้การรวมเข้ากับการกลายเป็นฟังก์ชันความหนาแน่นแกมมา กำหนดตัวแปร $(3)$

m \equiv x^{2} \Rightarrow d ม. = 2 x d x \Rightarrow d x = \frac{d ม.}{2 x}, x = {ม.}^{\frac{1}{2}}

$m \equiv x^2 \Rightarrow dm = 2xdx \Rightarrow dx = \frac {dm}{2x}, \; x = m^{\frac 12}$ สร้างการทดแทนในการรวมและที่เรามี

\begin{matrix} (4) & {ผม}_{3} = \int_{0}^{\infty} x^{n} ประสบการณ์ {- \frac{1}{2} (n + {เสื้อ}^{2}) ม.} \frac{d ม.}{2 x} = \frac{1}{2} \int_{0}^{\infty} {ม.}^{\frac{n - 1}{2}} ประสบการณ์ {- \frac{1}{2} (n + {เสื้อ}^{2}) ม.} d ม. \end{matrix}

$I_3=\int_{0}^{\infty} x^n \exp \Big \{-\frac 12 (n+t^2) m\Big\} \frac {dm}{2x} \\ = \frac 12\int_{0}^{\infty} m^{\frac {n-1}{2}} \exp \Big \{-\frac 12 (n+t^2) m\Big \} dm \tag{4}$

ความหนาแน่นแกมมาสามารถเขียนได้

G a m m a (m; k, θ) = \frac{m^{k - 1} \exp {- \frac{m}{θ}}}{θ^{k} Γ (k)}

$Gamma(m;k,\theta) = \frac {m^{k-1} \exp\Big\{-\frac{m}{\theta}\Big \}}{\theta^k\Gamma(k)}$

ค่าสัมประสิทธิ์การจับคู่เราต้องมี

k - 1 = \frac{n - 1}{2} \Rightarrow k^{*} = \frac{n + 1}{2}, \frac{1}{θ} = \frac{1}{2} (n + t^{2}) \Rightarrow θ^{*} = \frac{2}{(n + t^{2})}

$k-1 = \frac {n-1}{2} \Rightarrow k^* = \frac {n+1}{2}, \qquad \frac 1\theta =\frac 12 (n+t^2) \Rightarrow \theta^* = \frac 2 {(n+t^2)}$

สำหรับค่าเหล่านี้ของและเงื่อนไขในการรวมและเกี่ยวข้องกับตัวแปรคือเคอร์เนลของความหนาแน่นแกมมา ดังนั้นถ้าเราหารอินทิกรัลโดยและคูณนอกอินทิกรัลด้วยขนาดเดียวกันอินทิกรัลจะเป็นแกมม่าดิฟ ฟังก์ชั่นและจะสามัคคีสามัคคี ดังนั้นเรามาถึงที่ $k^*$ $\theta^*$ $(\theta^*)^{k^*}\Gamma(k^*)$

I_{3} = \frac{1}{2} (θ^{*})^{k^{*}} Γ (k^{*}) = \frac{1}{2} (\frac{2}{n + t^{2}})^{\frac{n + 1}{2}} Γ (\frac{n + 1}{2}) = 2^{\frac{n - 1}{2}} n^{- \frac{n + 1}{2}} Γ (\frac{n + 1}{2}) {(1 + \frac{t^{2}}{n})}^{- \frac{1}{2} (n + 1)}

$I_3 = \frac12(\theta^*)^{k^*}\Gamma(k^*) = \frac12 \Big (\frac 2 {n+t^2}\Big ) ^{\frac {n+1}{2}}\Gamma\left(\frac {n+1}{2}\right) = 2^ {\frac {n-1}{2}}n^{-\frac {n+1}{2}}\Gamma\left(\frac {n+1}{2}\right)\left(1+\frac {t^2}{n}\right)^{-\frac 12 (n+1)}$

การแทรกข้างต้นลงในสมการ เราได้รับ $(3)$

f_{T} (t) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \frac{2^{1 - \frac{n}{2}}}{Γ (\frac{n}{2})} n^{\frac{n}{2}} 2^{\frac{n - 1}{2}} n^{- \frac{n + 1}{2}} Γ (\frac{n + 1}{2}) {(1 + \frac{t^{2}}{n})}^{- \frac{1}{2} (n + 1)}

$f_T(t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\frac {2^{1-\frac n2}}{\Gamma\left(\frac {n}{2}\right)} n^{\frac n2}2^ {\frac {n-1}{2}}n^{-\frac {n+1}{2}}\Gamma\left(\frac {n+1}{2}\right)\left(1+\frac {t^2}{n}\right)^{-\frac 12 (n+1)}$

= \frac{Γ [(n + 1) / 2]}{\sqrt{n π} Γ (n / 2)} {(1 + \frac{t^{2}}{n})}^{- \frac{1}{2} (n + 1)}

$=\frac{\Gamma[(n+1)/2]}{\sqrt{n\pi}\,\Gamma(n/2)}\left(1+\frac {t^2}{n}\right)^{-\frac 12 (n+1)}$

... ซึ่งเป็นสิ่งที่เรียกว่า (ฟังก์ชันความหนาแน่นของ) การแจกแจงแบบ t กับองศาอิสระ $n$

— Alecos Papadopoulos
แหล่งที่มา

แม้ว่า ES Pearson จะไม่ชอบก็ตามข้อโต้แย้งดั้งเดิมของฟิชเชอร์คือรูปทรงเรขาคณิตเรียบง่ายน่าเชื่อถือและเข้มงวด มันขึ้นอยู่กับข้อเท็จจริงจำนวนน้อยที่เข้าใจง่ายและเป็นที่ยอมรับได้ง่าย พวกมันจะมองเห็นได้ง่ายเมื่อหรือซึ่งสามารถมองเห็นรูปทรงเรขาคณิตในสองหรือสามมิติ ผลก็คือการใช้พิกัดทรงกระบอกในเพื่อวิเคราะห์ iid ตัวแปรปกติ $s=1$ $s=2$ $\mathbb{R}^s\times\mathbb{R}$ $s+1$

$s+1$ เป็นอิสระและกระจายเหมือนกันตัวแปรปกติมีความสมมาตรเป็นทรงกลม ซึ่งหมายความว่าการฉายในแนวรัศมีของจุดไปยังทรงกลมหน่วยมีการแจกแจงแบบสม่ำเสมอบน . $X_1, \ldots, X_{s+1}$ $(X_1, \ldots, X_{s+1})$ $S^s \subset \mathbb{R}^{s+1}$ $S^s$
Aการกระจายคือผลรวมของกำลังสองของอิสระมาตรฐานแปรปรวนปกติ $\chi^2(s)$ $s$
ดังนั้นการตั้งค่าและอัตราส่วนคือแทนเจนต์ของละติจูดของจุดใน1} $Z=X_{s+1}$ $W = X_1^2 + \cdots + X_s^2$ $Z/\sqrt{W}$ $\theta$ $(X_1, \ldots, X_s, X_{s+1})$ $\mathbb{R}^{s+1}$
$\tan\theta$ มีการเปลี่ยนแปลงโดยการฉายรัศมีบน s $S^s$
ชุดที่กำหนดโดยทุกจุดของเส้นรุ้งในเป็นทรงกลมมิติของรัศมี\ การวัดมิติจึงเป็นสัดส่วนกับ $\theta$ $S^s$ $s-1$ $\cos \theta$ $s-1$
$\cos^{s - 1} θ = (1 + \tan^{2} θ)^{- (s - 1) / 2} .$ $\cos^{s-1}\theta = (1 + \tan^2\theta)^{-(s-1)/2}.$
องค์ประกอบที่แตกต่างคือd} $\mathrm{d}(\tan\theta) = \cos^{-2}\theta \,\mathrm{d}\theta = (1 + \tan^2\theta) \,\mathrm{d}\theta$
การเขียนให้ดังนั้นและ ร่วมกันสมการเหล่านี้บ่งบอกถึงการรวมปัจจัยเข้ากับค่าคงที่ normalizingแสดงความหนาแน่นของเป็นสัดส่วนกับ $t = Z/\sqrt{W/s} = \sqrt{s}\tan\theta$ $\tan\theta = t/\sqrt{s}$
$1 + t^{2} / s = 1 + \tan^{2} θ$ $1+t^2/s = 1+\tan^2\theta$ $d t = \sqrt{s} d \tan θ = \sqrt{s} (1 + \tan^{2} θ) d θ .$ $\mathrm{d}t = \sqrt{s}\,\mathrm{d}\tan\theta = \sqrt{s}(1+\tan^2\theta)\,\mathrm{d}\theta.$ $d θ = \frac{1}{\sqrt{s}} {(1 + t^{2} / s)}^{- 1} d t .$ $\mathrm{d}\theta = \frac{1}{\sqrt{s}} \left(1+t^2/s\right)^{-1}\mathrm{d}t.$ $1/\sqrt{s}$ $C(s)$

$(1 + \tan^{2} θ)^{- (s - 1) / 2} d θ = (1 + t^{2} / s)^{- (s - 1) / 2} (1 + t^{2} / s)^{- 1} d t = (1 + t^{2} / s)^{- (s + 1) / 2} d t .$ $(1 + \tan^2\theta)^{-(s-1)/2}\,\mathrm{d}\theta = (1 + t^2/s)^{-(s-1)/2}\ (1 + t^2/s)^{-1}\,\mathrm{d}t = (1 + t^2/s)^{-(s+1)/2}\,\mathrm{d}t.$

นั่นคือความหนาแน่นของนักเรียน

รูป

รูปที่แสดงให้เห็นถึงซีกโลกตอนบน (กับ ) ของใน1} แกนไขว้ครอบคลุม -hyperplane จุดสีดำเป็นส่วนหนึ่งของตัวอย่างแบบสุ่มของ -variate standard การแจกแจงปกติ: พวกมันคือค่าที่คาดว่าจะมีค่าละติจูดซึ่งแสดงเป็นแถบสีเหลือง ความหนาแน่นของจุดเหล่านี้เป็นสัดส่วนกับปริมาณมิติของวงดนตรีที่ที่ตัวเองเป็นรัศมี\กรวยมากกว่าวงดนตรีที่ถูกดึงไปสิ้นสุดที่ความสูงของ\ มากถึง $Z \ge 0$ $S^s$ $\mathbb{R}^{s+1}$ $W$ $s+1$ $\theta$ $s-1$ $S^{s-1}$ $\theta$ $\tan \theta$ $\sqrt{s}$ การกระจายเสื้อนักศึกษาที่มีองศาอิสระคือการกระจายของความสูงนี้เป็นถ่วงน้ำหนักตามตัวชี้วัดของวงสีเหลืองเมื่อ normalizing พื้นที่ของหน่วยทรงกลมเพื่อความสามัคคี $s$ $S^s$

อนึ่งคง normalizing จะต้องเป็น (ตามที่กล่าวไว้ก่อนหน้านี้) ครั้งเทียบปริมาณของทรงกลม , $1/\sqrt{s}$

\begin{aligned} C (s) & = \frac{1}{\sqrt{s}} \frac{| S^{s - 1} |}{| S^{s} |} = \frac{1}{\sqrt{s}} \frac{s π^{s / 2} Γ (\frac{s + 1}{2} + 1)}{(s + 1) π^{(s + 1) / 2} Γ (\frac{s}{2} + 1)} \\ = \frac{1}{\sqrt{s}} \frac{s π^{s / 2} (s + 1) / 2 Γ (\frac{s + 1}{2})}{(s + 1) π^{(s + 1) / 2} (s / 2) Γ (\frac{s}{2})} \\ = \frac{Γ (\frac{s + 1}{2})}{\sqrt{s π} Γ (\frac{s}{2})} . \end{aligned}

$\eqalign{ C(s) &= \frac{1}{\sqrt{s}} \frac{|S^{s-1}|}{|S^s|} = \frac{1}{\sqrt{s}} \frac{s \pi^{s/2} \Gamma(\frac{s+1}{2} + 1)}{(s+1)\pi^{(s+1)/2} \Gamma(\frac{s}{2}+1)} \\ &=\frac{1}{\sqrt{s}} \frac{s \pi^{s/2} (s+1)/2\Gamma(\frac{s+1}{2})}{(s+1)\pi^{(s+1)/2} (s/2)\Gamma(\frac{s}{2})} \\ &= \frac{\Gamma(\frac{s+1}{2})}{\sqrt{s\pi}\Gamma(\frac{s}{2})}. }$

การแสดงออกสุดท้ายแม้ว่าธรรมดาเล็กน้อยปลอมแสดงออกเริ่มต้นที่เรียบง่ายสวยงามที่ชัดเจนแสดงให้เห็นถึงความหมายของ(s) $C(s)$

ฟิชเชอร์ได้อธิบายการสืบทอดมาถึง WS Gosset (ต้นฉบับ "นักเรียน") ในจดหมาย Gosset พยายามที่จะเผยแพร่ให้ฟิชเชอร์เครดิตเต็ม แต่เพียร์สันปฏิเสธกระดาษ วิธีการของฟิชเชอร์ซึ่งนำไปใช้กับปัญหาที่คล้ายกันอย่างมีนัยสำคัญ แต่ยากกว่าในการค้นหาการกระจายตัวของสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ตัวอย่างได้รับการตีพิมพ์ในที่สุด

อ้างอิง

ฟิชเชอร์ RA, การแจกแจงความถี่ของค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ในตัวอย่างจากประชากรจำนวนมากอย่างไม่มีกำหนด Biometrika ฉบับ 10, ฉบับที่ 4 (พฤษภาคม, 1915), หน้า 507-521 มีอยู่บนเว็บที่ https://stat.duke.edu/courses/Spring05/sta215/lec/Fish1915.pdf (และที่อื่น ๆ อีกมากมายผ่านการค้นหาเมื่อลิงค์นี้หายไป)

Joan Fisher Box, Gosset, Fisher และการแจกจ่าย สถิติอเมริกันฉบับ 35, ฉบับที่ 2 (พฤษภาคม, 1981), หน้า 61-66 ที่มีอยู่บนเว็บที่http://social.rollins.edu/wpsites/bio342spr13/files/2015/03/Studentttest.pdf

EL Lehmann, Fisher, Neyman และการสร้างสถิติแบบดั้งเดิม Springer (2011), บทที่ 2

— whuber
แหล่งที่มา

นี่เป็นข้อพิสูจน์ที่น่าอัศจรรย์! ฉันหวังเป็นอย่างยิ่งว่าคุณจะพบข้อความนี้แม้ว่าจะเป็นเวลาหลายปีแล้วก็ตาม ในขั้นตอนที่หกของการพิสูจน์นี้ฉันเชื่อว่ามีข้อผิดพลาด Cos ^ -2 (theta) = (1 + tan ^ 2 (theta)) ไม่ใช่สิ่งที่ตรงกันข้าม สวดมนต์มีวิธีแก้ง่าย ๆ ?

— คนที่กระตือรือร้นคณิตศาสตร์

@Math ขอบคุณสำหรับคำพูดของคุณ ฉันไม่พบข้อผิดพลาดในขั้นตอนที่ 6 บางทีคุณพยายามอ่าน " " (ซึ่งหมายถึงพลังของ ) ราวกับว่ามันหมายถึง " "?

\cos^{- 2} (θ)

$\cos^{-2}(\theta)$

- 2

$-2$

\cos (θ)

$\cos(\theta)$

{(ArcCos (θ))}^{2}

$\left(\operatorname{ArcCos}(\theta)\right)^{2}$

— whuber

ฉันใช้ข้อมูลประจำตัวอย่างง่าย ๆเพื่ออนุมานว่าในบรรทัดที่ 5 . แต่ด้วยเหตุผลเดียวกันนี้ในบรรทัดที่ 6, 1) สิ่งนี้ขัดแย้งกับการอ้างว่าองค์ประกอบที่แตกต่างเท่ากับ

s e c^{2} θ = t a n^{2} θ + 1

$sec^{2}\theta = tan^{2}\theta + 1$

c o s θ = (t a n^{2} θ + 1)^{- 1 / 2}

$cos\theta=(tan^{2}\theta+1)^{-1/2}$

c o s^{- 2} θ = s e c^{2} θ = (t a n^{2} θ + 1)

$cos^{-2}\theta = sec^{2}\theta = (tan^{2}\theta + 1)$

(t a n^{2} θ + 1)^{- 1}

$(tan^{2}\theta + 1)^{-1}$

— ผู้ที่ชื่นชอบทางคณิตศาสตร์

@ คณิตศาสตร์ขอบคุณ - คุณพูดถูก ฉันมีคะแนนที่แก้ไข (6) และ (7) เพื่อแก้ไขพีชคณิต

— whuber

เฮ้โล่งอกจริงๆ! สุขสันต์วันหยุดให้คุณ

— ผู้ที่ชื่นชอบคณิตศาสตร์

ฉันจะลองเปลี่ยนตัวแปร ชุดและตัวอย่างเช่น ดังนั้น ,2} จากนั้น. ที่ไหนเป็นเมทริกซ์จาโคเบียนสำหรับฟังก์ชันหลายตัวแปรของและของและYจากนั้นคุณสามารถรวมออกจากความหนาแน่นของรอยต่อ , ,และ $Y=\frac{Z}{\sqrt{\frac{W}{s}}}$ $X=Z$ $Z=X$ $W=\frac{sX^2}{Y^2}$ $f_{X,Y}(x,y)=f_{Z,W}(x,\frac{sx^2}{y^2})|\det(J)|$ $J$ $Z$ $W$ $X$ $Y$ $x$ $\frac{\partial Z}{\partial X}=1$ $\frac{\partial Z}{\partial Y}=0$ $\frac{\partial W}{\partial X}=\frac{2sX}{Y^2}$ $\frac{\partial W}{\partial Y}=\frac{-2sX^2}{Y^3}$ 3}

J = (\begin{matrix} 1 & 0 \\ * & \frac{- 2 s X^{2}}{Y^{3}} \end{matrix})

$J= \begin{pmatrix} 1&0\\ *&\frac{-2sX^2}{Y^3} \end{pmatrix}$

ดังนั้น3} ฉันเอาดูที่องค์ประกอบของการกระจายทฤษฎีโดยโทมัสเอ Severini และมีพวกเขาใช้เวลา W การรวมสิ่งต่าง ๆ เข้าด้วยกันง่ายขึ้นโดยใช้คุณสมบัติของการแจกแจงแบบ Gaama ถ้าฉันใช้ฉันอาจต้องเติมกำลังสองให้เสร็จ $|\det(J)|=\frac{2sx^2}{y^3}$ $X=W$ $X=Z$

แต่ฉันไม่ต้องการคำนวณ

— ztyh
แหล่งที่มา

ฉันไม่ได้ลงคะแนนคุณในความเป็นจริงฉันเพิ่งโหวตคุณ แต่ฉันคิดว่าบางที downvote มาถึงก่อนการแก้ไขของคุณ

— Monolite

ขออภัยที่ฉันจะต้องระวังจากนี้ไป

— ztyh