ความแปรปรวนในระยะยาวคืออะไร?

ความแปรปรวนในระยะยาวในขอบเขตของการวิเคราะห์อนุกรมเวลาได้กำหนดไว้อย่างไร

ฉันเข้าใจว่ามันถูกใช้ในกรณีที่มีโครงสร้างความสัมพันธ์ในข้อมูล ดังนั้นกระบวนการสโตแคสติกของเราจะไม่เป็นตระกูล $X_1, X_2 \dots$ iid ตัวแปรสุ่ม แต่เป็นการกระจายตัวเท่านั้น

ฉันขออ้างอิงมาตรฐานเพื่อแนะนำแนวคิดและปัญหาที่เกี่ยวข้องกับการประมาณค่าได้ไหม

— Monolite
แหล่งที่มา

ที่เกี่ยวข้อง: stats.stackexchange.com/questions/154070/…

— เทย์เลอร์

มันเป็นตัวชี้วัดของข้อผิดพลาดมาตรฐานของค่าเฉลี่ยตัวอย่างเมื่อมีการพึ่งพาอนุกรม

$Y_t$ $E(Y_t)=\mu$ $Cov(Y_t,Y_{t-j})=\gamma_j$ $\sum_{j=0}^\infty|\gamma_j|<\infty$

lim_{T \to \infty} {V a r [\sqrt{T} ({\bar{Y}}_{T} - μ)]} = lim_{T \to \infty} {T E ({\bar{Y}}_{T} - μ)^{2}} = \sum_{j = - \infty}^{\infty} γ_{j} = γ_{0} + 2 \sum_{j = 1}^{\infty} γ_{j},

$\lim_{T\to\infty}\{Var[\sqrt{T}(\bar{Y}_T- \mu)]\}=\lim_{T\to\infty}\{TE(\bar{Y}_T- \mu)^2\}=\sum_{j=-\infty}^\infty\gamma_j=\gamma_0+2\sum_{j=1}^\infty\gamma_j,$

และผลที่สามของ stationarity ซึ่งหมายความว่าJ}

γ_{j} = γ_{- j}

$\gamma_j=\gamma_{-j}$

ดังนั้นปัญหาก็คือการขาดความเป็นอิสระแน่นอน หากต้องการดูสิ่งนี้ให้ชัดเจนยิ่งขึ้นให้เขียนความแปรปรวนของค่าเฉลี่ยตัวอย่างเป็น

\begin{aligned} E ({\bar{Y}}_{T} - μ)^{2} & = E {[(1 / T) \sum_{t = 1}^{T} (Y_{t} - μ)]}^{2} \\ = 1 / T^{2} E [{(Y_{1} - μ) + (Y_{2} - μ) + \dots + (Y_{T} - μ)} \\ {(Y_{1} - μ) + (Y_{2} - μ) + \dots + (Y_{T} - μ)}] \\ = 1 / T^{2} {[γ_{0} + γ_{1} + \dots + γ_{T - 1}] + [γ_{1} + γ_{0} + γ_{1} + \dots + γ_{T - 2}] \\ + \dots + [γ_{T - 1} + γ_{T - 2} + \dots + γ_{1} + γ_{0}]} \end{aligned}

$\begin{align*} E(\bar{Y}_T- \mu)^2&=E\left[(1/T)\sum_{t=1}^T(Y_t- \mu)\right]^2\\ &=1/T^2E[\{(Y_1- \mu)+(Y_2- \mu)+\ldots+(Y_T- \mu)\}\\ &\quad\{(Y_1- \mu)+(Y_2- \mu)+\ldots+(Y_T- \mu)\}]\\ &=1/T^2\{[\gamma_0+\gamma_1+\ldots+\gamma_{T-1}]+[\gamma_1+\gamma_0+\gamma_1+\ldots+\gamma_{T-2}]\\ &\quad+\ldots+[\gamma_{T-1}+\gamma_{T-2}+\ldots+\gamma_1+\gamma_0]\} \end{align*}$

ปัญหาเกี่ยวกับการประเมินความแปรปรวนในระยะยาวคือแน่นอนว่าเราไม่ได้ตรวจสอบ autocovariances ทั้งหมดที่มีข้อมูล จำกัด เคอร์เนล (ในเศรษฐมิติ "Newey-West" หรือตัวประมาณ HAC) ถูกนำมาใช้เพื่อการนี้

\hat{J_{T}} \equiv {\hat{γ}}_{0} + 2 \sum_{j = 1}^{T - 1} k (\frac{j}{ℓ_{T}}) {\hat{γ}}_{j}

$\hat{J_T}\equiv\hat{\gamma}_0+2\sum_{j=1}^{T-1}k\left(\frac{j}{\ell_T}\right)\hat{\gamma}_j$

k

$k$ เป็นเคอร์เนลหรือฟังก์ชั่นการถ่วงน้ำหนักเป็นตัวอย่าง autocovariances เหนือสิ่งอื่นใดต้องสมมาตรและมี 1 เป็นพารามิเตอร์แบนด์วิดท์

{\hat{γ}}_{j}

$\hat\gamma_j$

k

$k$

k (0) = 1

$k(0)=1$

ℓ_{T}

$\ell_T$

เคอร์เนลที่ได้รับความนิยมคือ Bartlett kernel อ้างอิงตำราที่ดีคือแฮมิลตัน, การวิเคราะห์อนุกรมเวลาหรือฟูลเลอร์ น้ำเชื้อ ( แต่ทางด้านเทคนิค) บทความวารสารNewey และเวสต์, โคโน 1987

k (\frac{j}{ℓ_{T}}) = {\begin{cases} (1 - \frac{j}{ℓ_{T}}) & for 0 ⩽ j ⩽ ℓ_{T} - 1 \\ 0 & for j > ℓ_{T} - 1 \end{cases}

$k\left(\frac{j}{\ell_T}\right) = \begin{cases} \bigl(1 - \frac{j}{\ell_T}\bigr) \qquad &\mbox{for} \qquad 0 \leqslant j \leqslant \ell_T-1 \\ 0 &\mbox{for} \qquad j > \ell_T-1 \end{cases}$

— Christoph Hanck
แหล่งที่มา

ขอขอบคุณ! ฉันตรวจสอบการวิเคราะห์อนุกรมเวลาโดยแฮมิลตัน ในความเป็นจริงมันบอกว่าวิธีที่ไม่ใช่พารามิเตอร์ในการประมาณค่าสเปคตรัมคือการหาค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนักของค่าเฉลี่ยตัวอย่าง แต่มันไม่ได้เจาะลึกลงไปในคณิตศาสตร์หลังการตัดสินใจของคำสั่งนี้ คุณสามารถแนะนำหนังสืออ้างอิงหรือกระดาษที่อธิบายได้ว่าเหตุใดจึงเป็นเครื่องมือประมาณการที่ดีเมื่อขนาดตัวอย่างเพิ่มขึ้น

— Monolite

จุดดี. ทำการแก้ไขบางอย่าง

— Christoph Hanck

มันอาจคุ้มค่าที่จะกล่าวถึงว่าขั้นตอนที่สอง ("หากิน") ต้องใช้การรวมที่โดดเด่น (ดูstats.stackexchange.com/questions/154070/… )

— Tamas Ferenci

@TamasFerenci ขอบคุณสำหรับตัวชี้ฉันรวมลิงค์

— Christoph Hanck

@ Christoph Hanck ยินดีต้อนรับขอบคุณสำหรับการอัปเดต!

— Tamas Ferenci