เหตุใดยอดสูงสุดของสะพานบราวเนียนจึงมีการกระจาย Kolmogorov – Smirnov?

การกระจาย Kolmogorov-Smirnov เป็นที่รู้จักจากการทดสอบ Kolmogorov-Smirnov อย่างไรก็ตามมันยังเป็นการกระจายของยอดสูงสุดของสะพานบราวเนียน

เนื่องจากสิ่งนี้ไม่ชัดเจน (สำหรับฉัน) ฉันจึงขอให้คุณอธิบายอย่างง่าย ๆ เกี่ยวกับความบังเอิญนี้ ยินดีต้อนรับการอ้างอิงยัง

$\sqrt{n}\sup_x|F_n-F|=\sup_x|\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^nZ_i(x)|$

โดยที่$Z_i(x)=1_{X_i\leq x}-E[1_{X_i\leq x}]$

โดย CLT คุณมี $G_n=\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^nZ_i(x)\rightarrow \mathcal{N}(0,F(x)(1-F(x)))$

นี่คือสัญชาตญาณ ...

สะพาน Brownianมีความแปรปรวนตัน (1-t) http://en.wikipedia.org/wiki/Brownian_bridgeเปลี่ยนเสื้อจากf (x) นี่สำหรับหนึ่งx ...t ( 1 - t $B(t)$$t(1-t)$ F ( x ) $t$$F(x)$$x$

คุณต้องตรวจสอบความแปรปรวนร่วมด้วยดังนั้นจึงเป็นเรื่องง่ายที่จะแสดง (CLT) สำหรับ ( ) โดยที่คือด้วย ,(x_j) ( G n ( x 1 ) , ... , G n ( x k ) ) → ( B 1 , ... , B k ) ( B 1 , ... , B k ) N ( 0 , Σ ) Σ = ( σ i j ) σ i j = $x_1,\dots,x_k$$(G_n(x_1),\dots,G_n(x_k))\rightarrow (B_1,\dots,B_k)$$(B_1,\dots,B_k)$$\mathcal{N}(0,\Sigma)$$\Sigma=(\sigma_{ij})$$\sigma_{ij}=\min(F(x_i),F(x_j))-F(x_i)F(x_j)$

ส่วนที่ยากคือการแสดงให้เห็นว่าการกระจายตัวของข้อ จำกัด นั้นเป็นขั้นสูงสุดของการกระจายตัวของขีด จำกัด ... การเข้าใจว่าทำไมสิ่งนี้เกิดขึ้นต้องใช้ทฤษฎีกระบวนการเชิงประจักษ์บางอย่างการอ่านหนังสือเช่น van der Waart และ Welner (ไม่ใช่เรื่องง่าย) . ชื่อของ Theorem คือ Donsker Theorem http://en.wikipedia.org/wiki/Donsker%27s_theorem ...

สำหรับ Kolmogorov-Smirnov ให้พิจารณาสมมติฐานว่าง มันบอกว่าตัวอย่างนั้นมาจากการแจกแจงแบบเจาะจง ดังนั้นถ้าคุณสร้างฟังก์ชันการแจกแจงเชิงประจักษ์สำหรับตัวอย่างในขีด จำกัด ของข้อมูลที่ไม่มีที่สิ้นสุด มาบรรจบกับการแจกแจงพื้นฐาน$n$$f(x) = \frac{1}{n} \sum_i \chi_{(-\infty, X_i]}(x)$

สำหรับข้อมูล จำกัด มันจะถูกปิด หากหนึ่งในการวัดคือดังนั้นเมื่อฟังก์ชันการแจกแจงเชิงประจักษ์จะเพิ่มขึ้น เราสามารถมองว่าเป็นการเดินแบบสุ่มซึ่งถูก จำกัด ให้เริ่มต้นและสิ้นสุดในฟังก์ชั่นการแจกแจงที่แท้จริง เมื่อคุณรู้ว่าคุณไปค้นวรรณกรรมสำหรับข้อมูลจำนวนมากที่รู้จักกันเกี่ยวกับการเดินแบบสุ่มเพื่อค้นหาว่าการเบี่ยงเบนที่ใหญ่ที่สุดของการเดินนั้นคืออะไร$q$$x=q$

คุณสามารถทำแบบเดียวกันกับ norm ใด ๆของความแตกต่างระหว่างฟังก์ชันการแจกแจงเชิงประจักษ์และต้นแบบ สำหรับเรียกว่าการทดสอบ Cramer-von Mises ฉันไม่ทราบชุดของการทดสอบดังกล่าวทั้งหมดสำหรับความเป็นจริงที่เป็นบวกและรูปแบบคลาสที่สมบูรณ์ของทุกชนิด แต่อาจเป็นสิ่งที่น่าสนใจที่จะดู$p$$p=2$$p$