ความสำคัญของความแตกต่างระหว่างการนับสองครั้ง

มีวิธีการตรวจสอบหรือไม่ว่าความแตกต่างระหว่างการนับอุบัติเหตุทางถนน ณ เวลา 1 นั้นแตกต่างจากการนับครั้งที่ 2 หรือไม่?

ฉันได้พบวิธีการที่แตกต่างกันในการกำหนดความแตกต่างระหว่างกลุ่มการสังเกตในเวลาที่ต่างกัน (เช่นการเปรียบเทียบปัวซองหมายถึง) แต่ไม่ใช่สำหรับการเปรียบเทียบการนับเพียงสองครั้ง หรือจะลองใช้ไม่ได้? คำแนะนำหรือทิศทางใด ๆ ที่จะได้รับการชื่นชม ฉันมีความสุขที่จะนำไปสู่การติดตามตัวเอง

statistical-significance count-data

— เจสซอพ
แหล่งที่มา

หากคุณยินดีที่จะถือว่าการนับแต่ละครั้งเป็นไปตามการแจกแจงปัวซอง (ด้วยค่าเฉลี่ยของตัวเองภายใต้สมมติฐานทางเลือก; ด้วยค่าเฉลี่ยทั่วไปภายใต้ค่าว่าง) ไม่มีปัญหา - เป็นเพียงแค่คุณไม่สามารถตรวจสอบสมมติฐานนั้นได้ Overdispersion สามารถพบได้บ่อยกับข้อมูลนับ

การทดสอบที่แน่นอนที่ให้นับ & นั้นตรงไปตรงมาเนื่องจากจำนวนรวมทั้งหมดของการนับเป็นอุปกรณ์เสริม การปรับสภาพจะให้ $x_1$ $x_2$ $n=x_1+x_2$ เป็นการกระจายของสถิติการทดสอบของคุณภายใต้ null ^†เป็นผลลัพธ์ที่เข้าใจได้ง่าย: จำนวนโดยรวมซึ่งสะท้อนให้เห็นว่าคุณใช้เวลานานแค่ไหนในการสังเกตการณ์กระบวนการปัวซงสองกระบวนการไม่มีข้อมูลเกี่ยวกับอัตราสัมพัทธ์ของพวกมัน แต่ส่งผลต่อพลังในการทดสอบของคุณ ดังนั้นจำนวนรวมอื่น ๆ ที่คุณอาจไม่เกี่ยวข้อง $X_1 \sim \mathrm{Bin}\left(\frac{1}{2},n\right)$

ดูการทดสอบสมมติฐานตามความน่าจะเป็นสำหรับการทดสอบ Wald (การประมาณ)

count แต่ละจำนวนมีการแจกแจงปัวซงโดยมีค่าเฉลี่ย $x_i$ $\lambda_i$ Reparametrize เป็น

f_{X} (x_{i}) = \frac{λ_{i}^{x_{i}} e^{- λ_{i}}}{x_{i}!} i = 1, 2

$\newcommand{\e}{\mathrm{e}} f{_X}(x_i)=\frac{\lambda_i^{x_i}\e^{-\lambda_i}}{x_i!}\qquad i=1,2$

โดยที่

คือสิ่งที่คุณสนใจ &

เป็นพารามิเตอร์ที่สร้างความรำคาญ ฟังก์ชั่นมวลข้อต่อสามารถเขียนใหม่ได้:

\begin{aligned} θ & = \frac{λ_{1}}{λ_{1} + λ_{2}} \\ ϕ & = λ_{1} + λ_{2} \end{aligned}

$\begin{align} \theta&=\frac{\lambda_1}{\lambda_1+\lambda_2}\\ \phi&=\lambda_1+\lambda_2 \end{align}$

θ

$\theta$

ϕ

$\phi$

จำนวนนับทั้งหมด

เป็นส่วนเสริมสำหรับ

มีการแจกแจงปัวซงด้วยค่าเฉลี่ย

\begin{aligned} f_{X_{1}, X_{2}} (x_{1}, x_{2}) & = \frac{λ_{1}^{x_{1}} λ_{2}^{x_{2}} e^{- (λ_{1} + λ_{2})}}{x_{1}! x_{2}!} \\ f_{X_{1}, N} (x_{1}, n) & = \frac{θ^{x_{1}} (1 - θ)^{n - x_{1}} \cdot ϕ^{n} e^{- ϕ}}{x_{1}! (n - x_{1})!} \end{aligned}

$\begin{align} f_{X_1,X_2}(x_1,x_2)&=\frac{\lambda_1^{x_1}\lambda_2^{x_2}\e^{-(\lambda_1+\lambda_2)}}{x_1!x_2!}\\ f_{X_1,N}(x_1,n)&=\frac{\theta^{x_1}(1-\theta)^{n-x_1}\cdot\phi^n\e^{-\phi}}{x_1!(n-x_1)!} \end{align}$

n

$n$

θ

$\theta$

ϕ

$\phi$

\begin{aligned} f_{N} (n) & = \sum_{x_{1} = 0}^{\infty} f_{X_{1}, N} (x_{1}, n) \\ = \frac{ϕ^{n} e^{- ϕ}}{n!} \sum_{x_{1} = 0}^{\infty} \frac{n!}{x_{1}! (n - x_{1})!} θ^{x_{1}} (1 - θ)^{n - x_{1}} \\ = \frac{ϕ^{n} e^{- ϕ}}{n!} \end{aligned}

$\begin{align} f_N(n)&= \sum_{x_1=0}^{\infty}f_{X_1,N}(x_1,n)\\ &=\frac{\phi^n\e^{-\phi}}{n!}\sum_{x_1=0}^{\infty}\frac{n!}{x_1!(n-x_1)!}\theta^{x_1}(1-\theta)^{n-x_1}\\ &=\frac{\phi^n\e^{-\phi}}{n!} \end{align}$ while the conditional distribution of

X_{1}

$X_1$ given

n

$n$ is binomial with Bernoulli probability

θ

$\theta$ & no. trials

n

$n$

\begin{aligned} f_{X_{1} | n} (x_{1}; n) & = \frac{f_{X_{1}, N} (x_{1}, n)}{f_{N} (n)} \\ = \frac{θ^{x_{1}} (1 - θ)^{n - x_{1}} \cdot ϕ^{n} e^{- ϕ}}{x_{1}! (n - x_{1})!} \cdot \frac{n!}{ϕ^{n} e^{- ϕ}} \\ = \frac{n!}{x_{1}! (n - x_{1})!} θ^{x_{1}} (1 - θ)^{n - x_{1}} \end{aligned}

$\begin{align} f_{X_1|n}(x_1;n)&=\frac{f_{X_1,N}(x_1,n)}{f_N(n)}\\ &=\frac{\theta^{x_1}(1-\theta)^{n-x_1}\cdot\phi^n\e^{-\phi}}{x_1!(n-x_1)!}\cdot\frac{n!}{\phi^n\e^{-\phi}}\\ &=\frac{n!}{x_1!(n-x_1)!}\theta^{x_1}(1-\theta)^{n-x_1} \end{align}\\$

— Scortchi - Reinstate Monica
แหล่งที่มา

The total number of counts is a complete sufficient statistic, isn't it? How can it be ancillary? Have I misunderstood something?

— JohnK

@JohnK: The sufficient statistic is

(X_{1}, N)

$(X_1,N)$ ,

N

$N$ being the ancillary complement to

X_{1}

$X_1$ . Note the distribution of

N

$N$ doesn't depend on

θ

$\theta$ .

— Scortchi - Reinstate Monica