Kriging Interpolation ทำงานอย่างไร

ฉันกำลังทำงานกับปัญหาที่ฉันต้องใช้ Kriging เพื่อทำนายค่าของตัวแปรบางตัวตามตัวแปรโดยรอบบางตัว ฉันต้องการติดตั้งรหัสด้วยตนเอง ดังนั้นฉันจึงต้องอ่านเอกสารมากเกินไปเพื่อให้เข้าใจว่ามันทำงานอย่างไร แต่ฉันก็สับสนมาก โดยทั่วไปฉันเข้าใจว่ามันเป็นค่าเฉลี่ยถ่วงน้ำหนัก แต่ฉันไม่เข้าใจกระบวนการคำนวณน้ำหนักอย่างสมบูรณ์จากนั้นจึงทำนายค่าของตัวแปร

ทุกคนสามารถอธิบายให้ฉันในแง่ง่ายด้านคณิตศาสตร์ของวิธีการแก้ไขนี้และวิธีการทำงานหรือไม่

คำตอบนี้ประกอบด้วยส่วนเกริ่นนำที่ฉันเขียนเมื่อเร็ว ๆ นี้สำหรับกระดาษที่อธิบายส่วนขยาย spatio-temporal ของ "Universal Kriging" (สหราชอาณาจักร) ซึ่งตัวมันเองเป็นลักษณะทั่วไปของ "Kriging สามัญ" มันมีสามส่วนย่อย: ทฤษฎีให้แบบจำลองทางสถิติและสมมติฐาน; การประมาณค่าสั้น ๆ จะทบทวนการประมาณค่าพารามิเตอร์กำลังสองน้อยที่สุด และการคาดคะเนแสดงให้เห็นว่าการสร้างแรงบันดาลใจเข้ากับกรอบ Generalized Least Squares (GLS) ได้อย่างไร ฉันพยายามใช้สัญลักษณ์ที่คุ้นเคยกับนักสถิติโดยเฉพาะผู้เยี่ยมชมไซต์นี้และใช้แนวคิดที่อธิบายไว้อย่างดีที่นี่

เพื่อสรุปการkriging เป็นการทำนายเชิงเส้นตรงที่ดีที่สุด (BLUP) ของเขตข้อมูลสุ่ม สิ่งนี้หมายความว่าค่าที่ทำนายไว้ในตำแหน่งที่ไม่ได้สุ่มใด ๆ จะได้รับเป็นการรวมกันเชิงเส้นของค่าและค่าแปรปรวนร่วมที่สังเกตได้ในสถานที่ตัวอย่าง ค่า (ไม่ทราบ, สุ่ม) มีความสัมพันธ์ที่สันนิษฐานกับค่าตัวอย่าง (และค่าตัวอย่างมีความสัมพันธ์กัน) ข้อมูลความสัมพันธ์นี้แปลเป็นความแปรปรวนของการทำนายได้อย่างง่ายดาย หนึ่งเลือกสัมประสิทธิ์ในการรวมกันเชิงเส้น ("น้ำหนัก kriging") ที่ทำให้ความแปรปรวนนี้มีขนาดเล็กที่สุดเท่าที่เป็นไปได้ภายใต้เงื่อนไขของศูนย์อคติในการทำนาย โดยมีรายละเอียดดังนี้

---

ทฤษฎี

สหราชอาณาจักรประกอบด้วยสองขั้นตอน - หนึ่งในการประมาณค่าและอีกการทำนาย - ดำเนินการในบริบทของแบบจำลอง GLS สำหรับพื้นที่ศึกษา โมเดล GLS สมมติว่าข้อมูลตัวอย่างเป็นผลลัพธ์ของการเบี่ยงเบนแบบสุ่มรอบแนวโน้มและการเบี่ยงเบนเหล่านั้นมีความสัมพันธ์กัน มีแนวโน้มที่มีความหมายในความรู้สึกทั่วไปของค่าที่จะถูกกำหนดโดยการรวมกันเชิงเส้นของสัมประสิทธิ์ที่ไม่รู้จัก (พารามิเตอร์) \(ตลอดบทความนี้ไพรม์หมายถึงเมทริกซ์ทรานสโพสและเวกเตอร์ทั้งหมดถือเป็นเวกเตอร์คอลัมน์)P β = ( β 1 , β 2 , ... , β P ) ' $z_i,\ (i = 1, 2, ..., n)$$p$$\beta=(\beta_1,\beta_2,\ldots,\beta_p)^\prime$$^\prime$

ที่ตำแหน่งใด ๆ ภายในพื้นที่การศึกษามี tuple ของคุณลักษณะตัวเลข termed "ตัวแปรอิสระ" หรือ "covariates" (โดยทั่วไปคือ“ เทอมคงที่”และอาจเป็นพิกัดเชิงพื้นที่และเพิ่มเติมอาจเป็นตัวแทนของข้อมูลเชิงพื้นที่เช่นเดียวกับข้อมูลเสริมอื่น ๆ ที่มีอยู่ในทุกพื้นที่ในพื้นที่ศึกษาเช่นความพรุนของ aquifer หรือระยะทางที่จะสูบได้ดี) ในแต่ละตำแหน่งข้อมูลนอกเหนือจาก covariatesการสังเกตที่เกี่ยวข้อง$\mathbf y = (y_1, y_2, \ldots, y_p)^\prime$$y_1 = 1$$y_2$$y_3$$y_i$$i$$y_i = (y_{i1}, y_{i2}, \ldots, y_{ip})^\prime$$z_i$จะถือเป็นสำนึกของตัวแปรสุ่มZ_iในทางตรงกันข้ามถูกมองว่าเป็นค่าที่กำหนดโดยหรือกำหนดลักษณะของจุดหรือพื้นที่ขนาดเล็กที่แสดงโดยการสังเกต (ข้อมูล "สนับสนุน") จะไม่ได้รับการพิจารณาให้เป็นความเข้าใจของตัวแปรสุ่มและจะต้องไม่เกี่ยวข้องกับคุณสมบัติใด ๆ ของที่Z_i$Z_i$$y_i$$y_i$$Z_i$

ชุดค่าผสมเชิงเส้น เป็นการแสดงออกถึงความคุ้มค่าที่คาดหวังของในแง่ของพารามิเตอร์ซึ่งเป็นค่าของแนวโน้มที่ตั้งของฉันกระบวนการประมาณค่าใช้ข้อมูลเพื่อค้นหาค่าที่แสดงถึงพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จักในขณะที่กระบวนการทำนายใช้ข้อมูลที่ตำแหน่งที่ตั้งเพื่อคำนวณค่าในตำแหน่งที่ไม่ได้เก็บตัวอย่าง ซึ่งเป็นดัชนีที่นี่เช่น0 เป้าหมายของการประมาณค่าคงที่ ( เช่น

$${\bf{E}}\left[ {Z_i } \right] = {\bf{y'}}_i {\bf{\beta }} = y_{i1} \beta _1 + y_{i2} \beta _2 + \cdots + y_{ip} \beta _p$$ $Z_i$$\beta$$i$$\hat\beta_i$$\beta_i$$i = 1, 2, \ldots, n$$i = 0$ไม่สุ่ม) พารามิเตอร์ในขณะที่เป้าหมายของการทำนายเป็นแบบสุ่มเพราะค่ารวมถึงความผันผวนสุ่มรอบแนวโน้มy_0โดยปกติแล้วการคาดการณ์ที่จะทำสำหรับสถานที่หลายแห่งโดยใช้ข้อมูลเดียวกันโดยการเปลี่ยนแปลงสถานที่ตั้ง0ตัวอย่างเช่นการคาดคะเนมักจะทำแผนที่พื้นผิวตามตารางจุดปกติที่เหมาะสำหรับการกำหนดเส้นขอบ $z_0$$y_0^\prime\beta$$0$

การประเมิน

การจำลองแบบคลาสสิกสมมติว่าความผันผวนแบบสุ่มนั้นคาดว่าจะมีค่าเป็นศูนย์และเป็นที่รู้กันว่ามีการแปรปรวนร่วม เขียนความแปรปรวนระหว่างและเป็น{IJ} การใช้ความแปรปรวนร่วมนี้จะทำการประมาณค่าโดยใช้ GLS วิธีแก้ปัญหาคือ: โดยที่คือ -vector ของการสังเกต, ("เมทริกซ์การออกแบบ") คือโดยเมทริกซ์ซึ่งมีแถวเป็นเวกเตอร์$Z_i$$Z_i$$Z_j$$c_{ij}$

$$\hat\beta=\bf{Hz},\ {\bf{H}} = \left( {{\bf{Y'C}}^{{\bf{ - 1}}} {\bf{Y}}} \right)^{{\bf{ - 1}}} {\bf{Y'C}}^{{\bf{ - 1}}}$$ ${\bf {z}} = (z_1, z_2, \ldots, z_n)$$n$${\bf Y} = (y_{ij})$$n$$p$$y_i^\prime, 1 \le i \le n$ , และคือ -by-ความแปรปรวนร่วมเมทริกซ์ซึ่งคาดว่าจะย้อนกลับได้ (Draper & Smith (1981), ส่วนที่ 2.11) . โดยเมทริกซ์ซึ่งโครงการข้อมูลบนประมาณการพารามิเตอร์จะถูกเรียกว่า“หมวกเมทริกซ์.” การกำหนด เป็นแอพพลิเคชั่นของแฮทเมทริกซ์กับข้อมูลอย่างชัดเจนแสดงให้เห็นว่าพารามิเตอร์ประมาณการขึ้นอยู่กับข้อมูลเชิงเส้น ความแปรปรวนร่วม$\mathbf C = (c_{ij})$$n$$n$$p$$n$$\mathbf H$$\mathbf z$$\hat \beta$$\hat\beta$$\mathbf C = (c_{ij})$ จะถูกคำนวณแบบคลาสสิกโดยใช้ Variogram ซึ่งให้ความแปรปรวนร่วมในแง่ของตำแหน่งข้อมูลแม้ว่ามันจะไม่สำคัญว่าการแปรปรวนร่วมจะถูกคำนวณจริง ๆ

คาดการณ์

สหราชอาณาจักรคาดการณ์ทำนองเดียวกันด้วยการรวมกันเชิงเส้นของ data จะเรียกว่า“น้ำหนัก Kriging” ในการทำนายของz_0สหราชอาณาจักรประสบความสำเร็จในการทำนายโดยการบรรลุสองเกณฑ์ อันดับแรกการทำนายควรเป็นแบบเป็นกลางซึ่งแสดงโดยกำหนดให้การรวมกันเชิงเส้นของตัวแปรสุ่มเท่ากับโดยเฉลี่ย: ความคาดหวังนี้ถูกนำไปใช้กับข้อต่อ$z_0$

$$\hat z_0 = \lambda _1 z_1 + \lambda _2 z_2 + \cdots + \lambda _n z_n = {\bf{\lambda 'z}}.$$ $\lambda_i$$z_0$$z_0$$Z_i$$Z_0$ $$0 = {\bf{E}}\left[ {\hat Z_0 - Z_0 } \right] = {\bf{E}}\left[ {{\bf{\lambda 'Z}} - Z_0 } \right].$$ $n+1$การกระจายของ -variateและZ_n) ลิเนียริตี้ของความคาดหวังพร้อมกับการคาดการณ์แนวโน้ม (1) หมายถึง: $Z_0$$\mathbf Z = (Z_1, Z_2, \ldots, Z_n)$ $$\eqalign{ 0 &= {\bf{E}}\left[ {{\bf{\lambda 'Z}} - Z_0 } \right] = {\bf{\lambda 'E}}\left[ {\bf{Z}} \right] - {\bf{E}}\left[ {Z_0 } \right] = {\bf{\lambda '}}\left( {{\bf{Y\beta }}} \right) - {\bf{y'}}_0 {\bf{\beta }} = \left( {{\bf{\lambda 'Y}} - {\bf{y'}}_0 } \right){\bf{\beta }}\\ &= {\bf{\beta '}}\left( {{\bf{Y'\lambda }} - {\bf{y}}_0 } \right) }$$

ไม่ว่าอาจจะเป็นอะไร นี่จะเป็นกรณีที่มีให้$\beta$

$$\hat{\mathbf Y}^\prime \lambda = \mathbf{y}_0.$$

ในทุกการแก้ปัญหาเป็นไปได้ของระบบ underdetermined นี้ของสมการเลือกที่สหราชอาณาจักรเพื่อลดความแปรปรวนของข้อผิดพลาดการทำนายZ_0 ในแง่นี้สหราชอาณาจักรเป็น "ดีที่สุด" ในบรรดาตัวทำนายเชิงเส้นที่เป็นกลางทั้งหมด เนื่องจากความสัมพันธ์ครั้งสุดท้ายนี้แสดงถึงข้อผิดพลาดในการคาดการณ์เป็นศูนย์โดยเฉลี่ยความแปรปรวนเป็นเพียงความคาดหวังของข้อผิดพลาดการทำนายกำลังสอง: โดยที่เป็นเวกเตอร์ของความแปรปรวนร่วมระหว่าง$\lambda$$\hat Z_0 - Z_0$

$${\rm{Var}}\left( {\hat Z_0 - Z_0 } \right) = {\bf{E}}\left[ {\left( {\hat Z_0 - Z_0 } \right)^2 } \right] = {\bf{E}}\left[ {\left( {{\bf{\lambda 'Z}} - Z_0 } \right)^2 } \right] = c_{00} - 2{\bf{\lambda 'c}}_0 + {\bf{\lambda 'C\lambda }}$$ $\mathbf c_0 = (c_{01}, c_{02}, \ldots, c_{0n})^\prime$$Z_0$และและคือความแปรปรวนของZ_0 $Z_i,\ i \ge 1$$c_{00}$$Z_0$

เพื่อลดความแปรปรวนแตกต่างด้วยความเคารพและแนะนำเวกเตอร์ของ Lagrange คูณจะรวมเข้าไปในข้อ จำกัด\ สิ่งนี้ให้ระบบของสมการเชิงเส้นเขียนในรูปแบบบล็อกเมทริกซ์เป็น โดยที่หมายถึงโดย$\lambda$$p$$\mu$$\hat{\mathbf Y}^\prime \lambda = \mathbf{y}_0$$n+p$

$$\left( {\begin{array}{*{20}c} {\bf{C}} & {\bf{Y}} \\ {{\bf{Y'}}} & {\bf{0}} \\ \end{array}} \right)\left( {\begin{array}{*{20}c} {\bf{\lambda }} \\ {\bf{\mu }} \\ \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}c} {{\bf{c}}_{\bf{0}} } \\ {{\bf{y}}_{\bf{0}} } \\ \end{array}} \right)$$ $\mathbf 0$$p$$p$เมทริกซ์ของศูนย์ การเขียนสำหรับโดย identity matrix โซลูชันเฉพาะสำหรับนั้นมอบให้โดย $\mathbf 1$$n$$n$$\lambda$ $${\bf{\lambda }} = {\bf{H'y}}_0 + {\bf{C}}^{ - 1} \left( {{\bf{1}} - {\bf{YH}}} \right){\bf{c}}_0.$$

(ผู้อ่านที่คุ้นเคยกับการถดถอยหลายครั้งอาจพบว่าเป็นการแนะนำให้เปรียบเทียบโซลูชันนี้กับโซลูชันความแปรปรวนร่วมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสน้อยที่สุดสามัญสมการปกติซึ่งมีลักษณะเหมือนกันเกือบทั้งหมด แต่ไม่มีเงื่อนไขตัวคูณ Lagrange)

ความสัมพันธ์นี้นำเสนอน้ำหนัก krigingเป็นผลรวมของคำขึ้นอยู่กับหมวกเมทริกซ์และ covariates ที่ตั้งทำนายบวกคำขึ้นอยู่กับความแปรปรวนร่วม ระหว่างข้อมูลและ predictand, Z_0แทนมันลงไปทางด้านขวามือของสมการความแปรปรวนผลตอบแทนถัวเฉลี่ยความแปรปรวนทำนาย kriging ซึ่งสามารถนำมาใช้เพื่อสร้างขีด จำกัด ของการทำนายรอบz_0$\lambda$ Z 0 Z$[\mathbf H^\prime\, \mathbf y_0]$$Z_0$$\hat z_0$