โมเดลเมทริกซ์สำหรับโมเดลเอฟเฟกต์ผสม

ในlmerฟังก์ชั่นภายในlme4ในRมีการเรียกร้องให้สร้างเมทริกซ์รูปแบบของผลกระทบสุ่มตามที่อธิบายไว้ที่นี่ , หน้า 7-9 $Z$

คำนวณ entails KhatriRao และ / หรือผลิตภัณฑ์ Kronecker สองเมทริกซ์และx_i $Z$ $J_i$ $X_i$

เมทริกซ์เป็นคำหนึ่ง: "เมทริกซ์ตัวบ่งชี้ของดัชนีปัจจัยการจัดกลุ่ม" แต่ดูเหมือนว่าจะเป็นเมทริกซ์เบาบางที่มีการเข้ารหัสแบบดัมมี่เพื่อเลือกหน่วย (ตัวอย่างเช่นอาสาสมัครในการวัดซ้ำ) ที่สอดคล้องกับระดับลำดับขั้นสูง การสังเกตใด ๆ เมทริกซ์ที่ดูเหมือนว่าจะทำหน้าที่เป็นตัวเลือกของการวัดในระดับที่ต่ำกว่าลำดับชั้นเพื่อให้การรวมกันของทั้งสอง "เตอร์" จะให้ผลผลิตเมทริกซ์,ของแบบฟอร์มแสดงในกระดาษผ่านตัวอย่างต่อไปนี้: $J_i$ $X_i$ $Z_i$

(f<-gl(3,2))

[1] 1 1 2 2 3 3
Levels: 1 2 3

(Ji<-t(as(f,Class="sparseMatrix")))

6 x 3 sparse Matrix of class "dgCMatrix"
     1 2 3
[1,] 1 . .
[2,] 1 . .
[3,] . 1 .
[4,] . 1 .
[5,] . . 1
[6,] . . 1

(Xi<-cbind(1,rep.int(c(-1,1),3L)))
     [,1] [,2]
[1,]    1   -1
[2,]    1    1
[3,]    1   -1
[4,]    1    1
[5,]    1   -1
[6,]    1    1

การแปลงเมทริกซ์แต่ละตัวเหล่านี้และทำการคูณ Khatri-Rao:

$\left[\begin{smallmatrix}1 & 1 &. &. &. &.\\.&.&1&1&.&.\\.&.&.&.&1&1 \end{smallmatrix}\right]\ast \left[\begin{smallmatrix}\,\,\,\,1 & 1 &\,\,\,\,1 &1 &\,\,\,\,1 &1\\-1&1&-1&1&-1&1 \end{smallmatrix}\right]= \left[\begin{smallmatrix}\,\,1 & 1 &.&.&.&.\\\,\,\,\,-1 &1&.&.&.&.\\ .&.&\,\,\,\,\,1 &1&.&.\\.&.&\,\,-1&1&.&.\\.&.&.&.&\,\,\,1&1\\.&.&.&.&-1&1 \end{smallmatrix}\right]$

แต่เป็นทรานสโพสของมัน: $Z_i$

(Zi<-t(KhatriRao(t(Ji),t(Xi))))

6 x 6 sparse Matrix of class "dgCMatrix"

[1,] 1 -1 .  . .  .
[2,] 1  1 .  . .  .
[3,] .  . 1 -1 .  .
[4,] .  . 1  1 .  .
[5,] .  . .  . 1 -1
[6,] .  . .  . 1  1

ปรากฎว่าผู้เขียนใช้ประโยชน์จากฐานข้อมูลsleepstudyในlme4แต่ไม่ได้ทำอย่างละเอียดเกี่ยวกับเมทริกซ์การออกแบบตามที่ใช้กับการศึกษานี้โดยเฉพาะ ดังนั้นฉันจึงพยายามที่จะเข้าใจว่ารหัสที่สร้างขึ้นในกระดาษที่ทำซ้ำข้างต้นจะแปลเป็นsleepstudyตัวอย่างที่มีความหมายมากขึ้นได้อย่างไร

เพื่อความง่ายในการมองเห็นฉันได้ลดชุดข้อมูลลงเหลือเพียงสามวิชา - "309", "330" และ "371":

require(lme4)
sleepstudy <- sleepstudy[sleepstudy$Subject %in% c(309, 330, 371), ]
rownames(sleepstudy) <- NULL

แต่ละคนจะแสดงการสกัดกั้นและความชันที่แตกต่างกันอย่างมากหากพิจารณาการถดถอยแบบ OLS อย่างง่าย ๆ เป็นรายบุคคลแนะนำความต้องการโมเดลผสมเอฟเฟกต์ที่มีลำดับชั้นหรือระดับหน่วยที่สูงขึ้นตามอาสาสมัคร:

    par(bg = 'peachpuff')
    plot(1,type="n", xlim=c(0, 12), ylim=c(200, 360),
             xlab='Days', ylab='Reaction')
    for (i in sleepstudy$Subject){
            fit<-lm(Reaction ~ Days, sleepstudy[sleepstudy$Subject==i,])
            lines(predict(fit), col=i, lwd=3)
            text(x=11, y=predict(fit, data.frame(Days=9)), cex=0.6,labels=i)
        }

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

การเรียกการถดถอยผลผสมคือ:

fm1<-lmer(Reaction~Days+(Days|Subject), sleepstudy)

และเมทริกซ์ที่สกัดจากฟังก์ชันจะให้ผลลัพธ์ดังนี้:

parsedFormula<-lFormula(formula= Reaction~Days+(Days|Subject),data= sleepstudy)
parsedFormula$reTrms

$Ztlist
$Ztlist$`Days | Subject`
6 x 12 sparse Matrix of class "dgCMatrix"

309 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
309 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
330 . . . . . . . . . . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . . . . . . . . . .
330 . . . . . . . . . . 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 . . . . . . . . . .
371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

ดูเหมือนว่าจะถูก แต่ถ้าใช่พีชคณิตเชิงเส้นคืออะไรอยู่ข้างหลัง ฉันเข้าใจแถวของ1การเลือกบุคคลเช่น ตัวอย่างเช่นหัวเรื่อง309เปิดอยู่สำหรับการสำรวจพื้นฐาน + เก้าดังนั้นจึงได้รับสี่1รายการและอื่น ๆ ส่วนที่สองคือการวัดจริง: 0สำหรับพื้นฐาน1สำหรับวันแรกของการอดนอนเป็นต้น

แต่สิ่งที่เกิดขึ้นจริง และเมทริกซ์และสอดคล้องหรือ , แล้วแต่จำนวนใด ตรงประเด็นหรือไม่ $J_i$ $X_i$ $Z_i= (J_i^{T}∗X_i^{T})^⊤$ $Z_i= (J_i^{T}\otimes X_i^{T})^⊤$

นี่คือความเป็นไปได้

$\left[\begin{smallmatrix}1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 &1&1&. &. &. &. &.& . &. &. &. &. &. &.&. & . &. &. &. &. &. &.\\ .&.&.&.&. & . &. &. &. &. &1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 &1&1&.& . &. &. &. &. &. &.&.&.\\&. & . &. &. &. &. &. &.&. & . &. &. &. &. &.&.&.&.&.&1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 &1&1\end{smallmatrix}\right]\ast \left[\begin{smallmatrix}1 & 1 & 1 & 1&1&1&1 & 1 & 1 & 1\\0&1&2&3&4&5&6&7&8&9 \end{smallmatrix}\right]=$

$\left[\begin{smallmatrix}1 & 1 & 1 &1&1&1&1&1&1&1&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\0 & 1 & 2 &3&4&5&6&7&8&9&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&&.&.&.&.&.&1 &1&1&1&1&1&1&1&1&1&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\ &.&.&.&.&.&.&.&.&.&0 &1&2&3&4&5&6&7&8&9&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.\\.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&1&1&1&1&1&1&1&1&1&1\\&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&.&0&1&2&3&4&5&6&7&8&9 \end{smallmatrix}\right]$

ปัญหาคือว่ามันไม่ได้เป็นขนย้ายเป็นlmerฟังก์ชั่นที่ดูเหมือนว่าจะเรียกร้องให้และยังคงไม่มีความชัดเจนว่ากฎระเบียบที่มีการสร้างx_i $X_i$

r mixed-model lme4-nlme matrix

— Antoni Parellada
แหล่งที่มา

มันง่ายกว่าที่คุณคิด เมทริกซ์นี่เป็นเพียง (transpose ของ) ผลิตภัณฑ์ Kronecker ของเมทริกซ์เอกลักษณ์ด้วยการออกแบบเมทริกซ์

Z

$Z$

— Donnie

ขอบคุณสำหรับคำใบ้ ฉันจะพยายามทำความเข้าใจกับดัชนีย่อยทั้งหมดในโครงกระดูกพีชคณิตเชิงเส้นของฟังก์ชันนี้ หากมันคลิกเข้าที่ฉันจะไปข้างหน้าและตอบคำถามของฉันเอง แต่ถึงแม้ว่าฉันรู้ว่ามันง่ายมากการโต้ตอบระหว่างการตั้งชื่อนั่งร้านคณิตศาสตร์และการประยุกต์ใช้กับตัวอย่างใด ๆ ก็สร้างความสับสน

— Antoni Parellada

อีกแหล่งข้อมูลที่ดีสำหรับคุณอาจเป็นการใช้งานlme4pureRซึ่งตามมาด้วยบทความข้างต้นและเขียนเป็นภาษาอาร์บางทีการmkZt()ค้นหาที่นี่จะเป็นการเริ่มต้นที่ดีใช่ไหม

— alexforrence

สร้างสร้างความเมทริกซ์การผลิต 3 ระดับ ( , และ) แต่ละคนมี 10 ข้อสังเกตหรือวัด ( ) ติดตามรหัสในลิงค์ต้นฉบับใน OP: $J_i$ 309330371nrow(sleepstudy[sleepstudy$Subject==309,]) [1] 10

f <- gl(3,10) Ji<-t(as(f,Class="sparseMatrix"))

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

การสร้างเมทริกซ์สามารถช่วยได้โดยใช้ฟังก์ชันเป็นข้อมูลอ้างอิง: $X_i$ getME

library(lme4) sleepstudy <- sleepstudy[sleepstudy$Subject %in% c(309, 330, 371), ] rownames(sleepstudy) <- NULL fm1<-lmer(Reaction~Days+(Days|Subject), sleepstudy)

Xi <- getME(fm1,"mmList")

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

เนื่องจากเราจะต้องใช้ทรานสโพสและวัตถุXiนั้นไม่ใช่เมทริกซ์จึงt(Xi)สามารถสร้างเป็น:

t_Xi <- rbind(c(rep(1,30)),c(rep(0:9,3)))

$Z_i$ คำนวณเป็น : $Z_i= (J_i^{T}∗X_i^{T})^⊤$

Zi<-t(KhatriRao(t_Ji,t_Xi)):

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

สอดคล้องนี้สมการ (6) ในต้นฉบับกระดาษ :

Z_{ผม} = (J_{ผม}^{T} * * * * X_{ผม}^{T})^{T} = [\begin{matrix} J_{ผม 1}^{T} \otimes X_{ผม 1}^{T} \\ J_{ผม 2}^{T} \otimes X_{ผม 2}^{T} \\ ⋮ \\ J_{ผม n}^{T} \otimes X_{ผม n}^{T} \end{matrix}]

$Z_i = (J_i^T*X_i^T)^T=\begin{bmatrix}J_{i1}^T\otimes X_{i1}^T\\J_{i2}^T\otimes X_{i2}^T\\\vdots\\J_{in}^T\otimes X_{in}^T\end{bmatrix}$

$J_i^T$ $X_i^T$

$J_i^T=\left[\begin{smallmatrix}1&1&0&0&0&0\\0&0&1&1&0&0\\0&0&0&0&1&1\end{smallmatrix}\right]$ $X_i^T=\left[\begin{smallmatrix}1&1&1&1&1&1\\0&1&0&1&0&1\end{smallmatrix}\right]$

และ

$J_i^T*X_i^T=\left[ \begin{smallmatrix} \left(\begin{smallmatrix}1\\0\\0\end{smallmatrix}\right)\otimes\left(\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}\right)&& \left(\begin{smallmatrix}1\\0\\0\end{smallmatrix}\right)\otimes\left(\begin{smallmatrix}1\\1\end{smallmatrix}\right)&& \left(\begin{smallmatrix}0\\1\\0\end{smallmatrix}\right)\otimes\left(\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}\right)&& \left(\begin{smallmatrix}0\\1\\0\end{smallmatrix}\right)\otimes\left(\begin{smallmatrix}1\\1\end{smallmatrix}\right)&& \left(\begin{smallmatrix}0\\0\\1\end{smallmatrix}\right)\otimes\left(\begin{smallmatrix}1\\0\end{smallmatrix}\right)&& \left(\begin{smallmatrix}0\\0\\1\end{smallmatrix}\right)\otimes\left(\begin{smallmatrix}1\\1\end{smallmatrix}\right) \end{smallmatrix} \right]$

$\small= \begin{bmatrix}J_{i1}^T\otimes X_{i1}^T && J_{i2}^T \otimes X_{i2}^T && J_{i3}^T\otimes X_{i3}^T && J_{i4}^T\otimes X_{i4}^T && J_{i5}^T\otimes X_{i5}^T && J_{i6}^T\otimes X_{i6}^T\end{bmatrix}$

$=\left[\begin{smallmatrix}1&1&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&1&0&0\\0&0&0&1&0&0\\0&0&0&0&1&1\\0&0&0&0&0&1\end{smallmatrix}\right]$ $Z_i=\left[\begin{smallmatrix}1&0&0&0&0&0\\1&1&0&0&0&0\\1&2&0&0&0&0\\\vdots\\\\0&0&1&0&0&0\\0&0&1&1&0&0\\0&0&1&2&0&0\\\vdots\\\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&1&1\\0&0&0&0&1&2\\\\\vdots\end{smallmatrix}\right]$

b <- getME(fm1,"b")

[1,] -44.1573839
[2,]  -2.4118590
[3,]  32.8633489
[4,]  -0.3998801
[5,]  11.2940350
[6,]   2.8117392

หากเราเพิ่มค่าเหล่านี้ในผลกระทบคงที่ของการโทรfm1<-lmer(Reaction~Days+(Days|Subject), sleepstudy)เราจะได้รับการสกัดกั้น:

205.3016 for 309; 282.3223 for 330; and 260.7530 for 371

และเนินเขา:

2.407141 for 309; 4.419120 for 330; and 7.630739 for 371

ค่าที่สอดคล้องกับ:

library(lattice)
xyplot(Reaction ~ Days | Subject, groups = Subject, data = sleepstudy, 
       pch=19, lwd=2, type=c('p','r'))

ป้อนคำอธิบายรูปภาพที่นี่

$Zb$ as.matrix(Zi)%*%b

— Antoni Parellada
แหล่งที่มา