เหตุใดความแปรปรวนของตัวอย่างจึงเปลี่ยนไปถ้าการสังเกตซ้ำกัน

ความแปรปรวนกล่าวกันว่าเป็นมาตรวัดการแพร่กระจาย ดังนั้นฉันจึงคิดว่าความแปรปรวนของ3,5เท่ากับความแปรปรวน3,3,5,5เนื่องจากจำนวนนั้นกระจายเท่ากัน แต่นี่ไม่ใช่กรณีที่ความแปรปรวนของ3,5คือ2ในขณะที่ความแปรปรวนของการเป็น3,3,5,51 1/3

ปริศนานี้ทำให้ฉันได้รับคำอธิบายว่าความแปรปรวนควรจะเป็นตัวชี้วัดการแพร่กระจาย

ดังนั้นในบริบทนั้นการวัดการแพร่กระจายหมายถึงอะไร

หากคุณกำหนดความแปรปรวนเป็น - คล้ายกับความแปรปรวนของประชากร แต่ด้วยค่าเฉลี่ยตัวอย่างสำหรับดังนั้นทั้งสองตัวอย่างของคุณจะมีความแปรปรวนเดียวกัน$s^2_{n}=$$\,\text{MSE}\,$$=\frac1n \sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2$$\mu$

ดังนั้นความแตกต่างเป็นเพราะการแก้ไขของเบสเซลในสูตรปกติสำหรับความแปรปรวนตัวอย่าง (ซึ่งปรับสำหรับความจริงที่ว่าค่าเฉลี่ยตัวอย่างนั้นใกล้เคียงกับข้อมูลมากกว่าค่าเฉลี่ยประชากรคือเพื่อทำให้มันไม่เอนเอียง (รับค่าที่เหมาะสม "โดยเฉลี่ย")$s^2_{n-1}=\frac{n}{n-1}\cdot \text{MSE}=\frac{n}{n-1}\cdot \frac1n \sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2=\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\bar{x})^2$

ผลค่อยๆหายไปกับการเพิ่มขนาดของกลุ่มตัวอย่างเป็นไป 1 n \ to \ infty$\frac{n-1}{n}$$n\to\infty$

ไม่มีเหตุผลใดที่คุณจะต้องใช้ตัวประมาณค่าที่ไม่เอนเอียงสำหรับความแปรปรวนโดยวิธี - $s^2_n$เป็นตัวประมาณที่ถูกต้องสมบูรณ์แบบและในบางกรณีอาจมีข้อได้เปรียบมากกว่าแบบทั่วไป (ความเป็นกลางไม่จำเป็นว่าใหญ่ จัดการ).

ความแปรปรวนเองไม่ได้เป็นการวัดการแพร่กระจายโดยตรง หากฉันเพิ่มค่าทั้งหมดเป็นสองเท่าในชุดข้อมูลของฉันฉันจะยืนยันว่าพวกเขาเป็นสองเท่าของ "สเปรด" แต่ความแปรปรวนเพิ่มขึ้นจากปัจจัย 4 ดังนั้นโดยมากจะกล่าวได้ว่าค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานแทนที่จะเป็นความแปรปรวนเป็นมาตรวัดการแพร่กระจาย

แน่นอนปัญหาเดียวกันเกิดขึ้นกับค่าเบี่ยงเบนมาตรฐาน (รุ่น$s_{n-1}$ ) เช่นเดียวกับความแปรปรวน - เมื่อคุณเพิ่มคะแนนเป็นสองเท่าของการเปลี่ยนแปลงค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานด้วยเหตุผลเดียวกับที่เกิดขึ้นกับความแปรปรวน

ในตัวอย่างขนาดเล็กการแก้ไข Bessel ทำให้ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานค่อนข้างง่ายกว่าการวัดการแพร่กระจายเนื่องจากผลกระทบนั้น (การทำซ้ำตัวอย่างจะเปลี่ยนค่า) แต่การวัดจำนวนมากของสเปรดจะคงไว้ซึ่งค่าเดิมเมื่อทำซ้ำตัวอย่าง; ฉันจะพูดถึงไม่กี่ -

• $s_n$ (แน่นอน)

• ส่วนเบี่ยงเบนเฉลี่ย (สัมบูรณ์) จากค่าเฉลี่ย

• ค่ามัธยฐานเบี่ยงเบนจากค่ามัธยฐาน

• ช่วง interquartile (อย่างน้อยสำหรับคำจำกัดความของตัวอย่างควอไทล์)

การจัดเรียงบางส่วนของความจำ, X ดังนั้นค่าที่คาดหวังของความแปรปรวนของตัวอย่างต่ำเกินไปโดยความแตกต่างคือความแปรปรวนของค่าเฉลี่ยตัวอย่าง$V\,X = E\,V\,X + V\,E\,X$

สูตรความแปรปรวนตัวอย่างตามปกติชดเชยสิ่งนั้นและค่าความแปรปรวนของค่าเฉลี่ยตัวอย่างจะแปรผกผันกับขนาดตัวอย่าง

ในฐานะที่เป็นตัวอย่างสุดขีดการรับตัวอย่างเพียงครั้งเดียวจะแสดงความแปรปรวนตัวอย่างเป็น 0 เสมอโดยไม่แสดงความแปรปรวนเป็น 0 สำหรับการแจกแจงต้นแบบ

ตอนนี้สำหรับตัวอย่างที่มีน้ำหนักเท่ากัน 2 และ 4 ตัวปัจจัยแก้ไขคือและตามลำดับ ดังนั้นคาดว่าความแปรปรวนของการคำนวณที่แตกต่างกันโดยมีปัจจัยของ2/3ความแปรปรวนของตัวอย่างนั้นคือในทั้งสองกรณี แต่กรณีแรกแสดงกรณีที่อ่อนแอสำหรับคือค่าเฉลี่ยของการแจกแจงฐานและค่าอื่น ๆ ทุกค่าจะหมายถึงความแปรปรวนที่ใหญ่กว่า$2/1$$4/3$$2/3$$1$$4$