ทำไมผลิตภัณฑ์ของค่าสัมประสิทธิ์การถดถอยของตัวแปร bivariate ของเส้น -on-และ -on- line เท่ากับกำลังสองของความสัมพันธ์?

11

มีรูปแบบการถดถอยเป็นที่กับและซึ่งมีค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ของ0.60302 $Y = a + bX$ $a = 1.6$ $b=0.4$ $r = 0.60302$

ถ้าและจะเปลี่ยนแล้วรอบ ๆ และสมการที่จะกลายเป็นที่และก็ยังมีค่าของ0.60302 $X$ $Y$ $X = c + dY$ $c=0.4545$ $d=0.9091$ $r$ $0.60302$

ฉันหวังว่าคนที่สามารถอธิบายได้ว่าทำไมยังเป็น0.60302 $(d\times b)^{0.5}$ $0.60302$

correlation regression-coefficients

— ไมค์
แหล่งที่มา

17

$b = r \; \text{SD}_y / \text{SD}_x$ และ $d = r \; \text{SD}_x / \text{SD}_y$ ดังนั้น $b\times d = r^2$ 2

ตำราสถิติจำนวนมากจะสัมผัสกับสิ่งนี้; ฉันชอบอิสระ et al.,สถิติ ดูเพิ่มเติมที่นี่และบทความวิกิพีเดียนี้

— คาร์ล
แหล่งที่มา

10

ต้องการปรับปรุงโพสต์นี้หรือไม่? ให้คำตอบโดยละเอียดสำหรับคำถามนี้รวมถึงการอ้างอิงและคำอธิบายว่าทำไมคำตอบของคุณถึงถูกต้อง คำตอบที่ไม่มีรายละเอียดเพียงพออาจแก้ไขหรือลบออกได้

ลองดูที่สิบสามวิธีในการดูค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ - และโดยเฉพาะอย่างยิ่งวิธีที่ 3, 4, 5 จะเป็นที่สนใจมากที่สุดสำหรับคุณ

Rodgers, JL, & Nicewander, WA (1988) สิบสามวิธีในการดูค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ นักสถิติชาวอเมริกัน, 42, 1 , pp. 59-66

— อยากรู้อยากเห็น
แหล่งที่มา

2

นี่น่าจะเป็นความเห็น โปรดทราบว่าลิงก์นั้นตายไปแล้ว ฉันได้อัปเดตลิงก์แล้วและมีการอ้างอิงแบบเต็ม คุณสามารถทำอย่างละเอียดหรือให้ข้อมูลเพิ่มเติมเพื่อให้สิ่งนี้จะยังคงมีค่าแม้ว่าการเชื่อมโยงจะตายอีกครั้ง?

— gung - Reinstate Monica

2

Rodgers และ Nicewander บทความสรุปบนเว็บไซต์ของเราที่stats.stackexchange.com/q/70969/22228

— whuber

3

$\DeclareMathOperator{\Cov}{Cov}$ $\DeclareMathOperator{\Corr}{Corr}$ $\DeclareMathOperator{\SD}{SD}$ $\DeclareMathOperator{\Var}{Var}$ $\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}$ $\DeclareMathOperator{\nsum}{\sum_{i=1}^{n}}$

จำได้ว่าข้อความเบื้องต้นจำนวนมากกำหนด

S_{x y} = \sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})

$S_{xy} = \nsum (x_i - \bar x)(y_i - \bar y)$

แล้วตามด้วยการตั้งค่าเป็นเรามีและในทำนองเดียวกัน 2 $y$ $x$ $S_{xx} = \nsum (x_i - \bar x)^2$ $S_{yy} = \nsum (y_i - \bar y)^2$

สูตรสำหรับค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ลาดของ -on-ถดถอย (คุณ ) และความลาดชันของ -on-ถดถอย (คุณ ) มักจะได้รับเป็น: $r$ $y$ $x$ $b$ $x$ $y$ $d$

\begin{aligned} (1) & r & = \frac{S_{x y}}{\sqrt{S_{x x} S_{y y}}} \\ (2) & {\hat{β}}_{y on x} & = \frac{S_{x y}}{S_{x x}} \\ (3) & {\hat{β}}_{x on y} & = \frac{S_{x y}}{S_{y y}} \end{aligned}

$\begin{align} r &= \frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}} \tag{1} \\ \hat \beta_{y\text{ on }x} &= \frac{S_{xy}}{S_{xx}} \tag{2} \\ \hat \beta_{x\text{ on }y} &= \frac{S_{xy}}{S_{yy}} \tag{3} \end{align}$

จากนั้นการคูณและให้สแควร์ของอย่างชัดเจน: $(2)$ $(3)$ $(1)$

{\hat{β}}_{y on x} \cdot {\hat{β}}_{x on y} = \frac{S_{x y}^{2}}{S_{x x} S_{y y}} = r^{2}

$\hat \beta_{y\text{ on }x} \cdot \hat \beta_{x\text{ on }y} = \frac{S_{xy}^2}{S_{xx}S_{yy}} = r^2$

อีกวิธีหนึ่งคือตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนใน ,และมักถูกหารด้วยหรือเพื่อให้สิ่งต่าง ๆ ถูกล้อมกรอบในแง่ของตัวอย่างหรือประมาณค่าความแปรปรวน ตัวอย่างเช่นจากค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์โดยประมาณเป็นเพียงค่าความแปรปรวนร่วมโดยประมาณซึ่งประเมินโดยค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานโดยประมาณ: $(1)$ $(2)$ $(3)$ $n$ $(n-1)$ $(1)$

\begin{aligned} (4) & r & = \hat{Corr} (X, Y) = \frac{\hat{Cov} (X, Y)}{\hat{SD (X)} \hat{SD (Y)}} \\ (5) & {\hat{β}}_{y on x} & = \frac{\hat{Cov} (X, Y)}{\hat{Var (X)}} \\ (6) & {\hat{β}}_{x on y} & = \frac{\hat{Cov} (X, Y)}{\hat{Var (Y)}} \end{aligned}

$\begin{align} r &= \widehat \Corr(X,Y) = \frac{\widehat \Cov(X,Y)}{\widehat{\SD(X)}\widehat{\SD(Y)}} \tag{4} \\ \hat \beta_{y\text{ on }x} &= \frac{\widehat \Cov(X,Y)}{\widehat{\Var(X)}} \tag{5} \\ \hat \beta_{x\text{ on }y} &= \frac{\widehat \Cov(X,Y)}{\widehat{\Var(Y)}} \tag{6} \end{align}$

จากนั้นเราจะพบทันทีจากการคูณและว่า $(5)$ $(6)$

{\hat{β}}_{y on x} {\hat{β}}_{x on y} = \frac{\hat{Cov} (X, Y)^{2}}{\hat{Var (X)} \hat{Var (Y)}} = {(\frac{\hat{Cov} (X, Y)}{\hat{SD (X)} \hat{SD (Y)}})}^{2} = r^{2}

$\hat \beta_{y\text{ on }x} \hat \beta_{x\text{ on }y} = \frac{\widehat \Cov(X,Y)^2}{\widehat{\Var(X)}\widehat{\Var(Y)}} = \left( \frac{\widehat \Cov(X,Y)}{\widehat{\SD(X)}\widehat{\SD(Y)}} \right)^2 = r^2$

เราอาจจะจัดเรียงเพื่อเขียนความแปรปรวนร่วมเป็น "ความสัมพันธ์ที่เพิ่มขึ้น": $(4)$

\begin{matrix} (7) & \hat{Cov} (X, Y) = r \cdot \hat{SD (X)} \hat{SD (Y)} \end{matrix}

$\widehat \Cov(X,Y) = r\cdot \widehat{\SD(X)} \widehat{\SD(Y)} \tag{7}$

จากนั้นโดยการแทนที่เป็นและเราสามารถเขียนสัมประสิทธิ์การถดถอยเป็นและ(y)} การคูณเหล่านี้เข้าด้วยกันก็จะสร้างและนี่คือวิธีการแก้ปัญหาของ @ Karl การเขียนความลาดชันด้วยวิธีนี้ช่วยอธิบายว่าเราจะเห็นค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์เป็นความชันการถดถอยมาตรฐานได้อย่างไร $(7)$ $(5)$ $(6)$ $\hat \beta_{y\text{ on }x} = r \frac{\widehat \SD(y)}{\widehat \SD(x)}$ $\hat \beta_{x\text{ on }y} = r \frac{\widehat \SD(x)}{\widehat \SD(y)}$ $r^2$

สุดท้ายโปรดทราบว่าในกรณีของคุณแต่นี่เป็นเพราะความสัมพันธ์ของคุณ เป็นบวก หากความสัมพันธ์ของคุณเป็นลบคุณจะต้องลบราก $r = \sqrt{bd} =\sqrt{\hat \beta_{y\text{ on }x} \hat \beta_{x\text{ on }y}}$

จะทำงานออกมาไม่ว่าจะเป็นความสัมพันธ์ของคุณเป็นบวกหรือลบคุณก็ต้องถือว่าเข้าสู่ระบบ (บวกหรือลบ) ค่าสัมประสิทธิ์การถดถอยของคุณ - มันไม่สำคัญว่าคุณมองไปที่ -on-0หรือ -on-เป็นสัญญาณของพวกเขาจะเหมือนกัน ดังนั้นคุณสามารถใช้สูตร: $y$ $x$ $x$ $y$

r = sgn ({\hat{β}}_{y on x}) \sqrt{{\hat{β}}_{y on x} {\hat{β}}_{x on y}}

$r = \sgn(\hat \beta_{y\text{ on }x}) \sqrt{\hat \beta_{y\text{ on }x} \hat \beta_{x\text{ on }y}}$

โดยที่คือฟังก์ชัน signumคือถ้าความชันเป็นบวกและถ้าความชันเป็นลบ $\sgn$ $+1$ $-1$

— สีเงิน
แหล่งที่มา

1

คุณอาจพบว่าคำตอบของฉันเป็นที่สนใจแม้ว่าจะไม่ได้ตอบคำถามที่ถามอย่างชัดเจน

— Dilip Sarwate