การถดถอยโลจิสติกหรือการทดสอบ T?

กลุ่มบุคคลตอบคำถามหนึ่งข้อ คำตอบอาจเป็น "ใช่" หรือ "ไม่" ผู้วิจัยต้องการทราบว่าอายุนั้นเกี่ยวข้องกับประเภทของคำตอบหรือไม่

ความสัมพันธ์ถูกประเมินโดยทำการถดถอยโลจิสติกโดยอายุเป็นตัวแปรอธิบายและประเภทของคำตอบ (ใช่ไม่ใช่) เป็นตัวแปรตาม มันถูกแยกจากกันโดยการคำนวณอายุเฉลี่ยของกลุ่มที่ตอบว่า "ใช่" และ "ไม่" ตามลำดับและทำการทดสอบTเพื่อเปรียบเทียบค่าเฉลี่ย

การทดสอบทั้งสองดำเนินการตามคำแนะนำของบุคคลที่แตกต่างกันและไม่มีการทดสอบใดที่แน่นอนว่าเป็นวิธีที่เหมาะสม ในมุมมองของคำถามการวิจัยซึ่งจะเป็นการทดสอบที่ดีกว่า

สำหรับการทดสอบสมมติฐานค่า p ไม่มีนัยสำคัญ (การถดถอย) และนัยสำคัญ (การทดสอบ T) ตัวอย่างน้อยกว่า 20 ราย

การทดสอบทั้งสองโดยนัยเป็นแบบจำลองความสัมพันธ์การตอบสนองอายุ แต่พวกเขาทำในรูปแบบที่แตกต่างกัน ตัวเลือกใดให้เลือกขึ้นอยู่กับว่าคุณเลือกโมเดลความสัมพันธ์นั้นอย่างไร ทางเลือกของคุณควรขึ้นอยู่กับทฤษฎีพื้นฐานถ้ามี ชนิดของข้อมูลที่คุณต้องการดึงออกมาจากผลลัพธ์ และวิธีการเลือกตัวอย่าง คำตอบนี้กล่าวถึงสามด้านตามลำดับ

---

ฉันจะอธิบายการทดสอบ t และการถดถอยโลจิสติกโดยใช้ภาษาที่สมมติว่าคุณกำลังศึกษาประชากรที่กำหนดไว้อย่างดีของผู้คนและต้องการทำการอนุมานจากกลุ่มตัวอย่างไปยังประชากรกลุ่มนี้

เพื่อสนับสนุนการอนุมานทางสถิติใด ๆ เราต้องถือว่าตัวอย่างนั้นสุ่ม

• t-testถือว่าผู้คนในกลุ่มตัวอย่างที่ตอบว่า "ไม่" เป็นกลุ่มตัวอย่างแบบง่าย ๆ ของกลุ่มที่ไม่ตอบแบบสอบถามทั้งหมดในกลุ่มประชากรและกลุ่มคนในกลุ่มตัวอย่างที่ตอบว่า "ใช่" นั้นเป็นกลุ่มตัวอย่างกลุ่มที่ตอบกลับแบบสุ่มทั้งหมดใน ประชากร.

  t-test สร้างข้อสมมติฐานทางเทคนิคเพิ่มเติมเกี่ยวกับการแจกแจงของอายุในแต่ละกลุ่มในประชากร มีการทดสอบแบบทดสอบหลายรุ่นเพื่อรองรับความเป็นไปได้ที่จะเกิดขึ้น

• การถดถอยแบบลอจิสติกถือว่าคนทุกวัยที่ได้รับนั้นเป็นกลุ่มตัวอย่างแบบง่าย ๆ ของคนในวัยนั้นในประชากร กลุ่มอายุที่แยกต่างหากอาจแสดงอัตราตอบกลับที่แตกต่างกันว่า "ใช่" อัตราเหล่านี้เมื่อแสดงเป็นอัตราต่อรอง (แทนที่จะเป็นสัดส่วนตรง) จะถือว่าสัมพันธ์เชิงเส้นตรงกับอายุ (หรือด้วยฟังก์ชันที่กำหนดอายุ)

  การถดถอยแบบโลจิสติกส์สามารถขยายได้อย่างง่ายดายเพื่อรองรับความสัมพันธ์ที่ไม่เป็นเชิงเส้นระหว่างอายุและการตอบสนอง ส่วนขยายดังกล่าวสามารถใช้ในการประเมินความน่าเชื่อถือของสมมติฐานเชิงเส้นเริ่มต้น มันสามารถใช้กับชุดข้อมูลขนาดใหญ่ซึ่งมีรายละเอียดเพียงพอที่จะแสดงแบบไม่เป็นเชิงเส้น แต่ไม่น่าจะใช้กับชุดข้อมูลขนาดเล็กได้มากนัก กฎทั่วไปของหัวแม่มือ - แบบจำลองการถดถอยควรมีการสังเกตเป็นจำนวนสิบเท่าของพารามิเตอร์ - ชี้ให้เห็นว่าจำเป็นต้องมีการสังเกตมากกว่า 20 ครั้งเพื่อตรวจสอบความไม่เชิงเส้น (ซึ่งต้องการพารามิเตอร์ที่สามนอกเหนือจากการสกัดกั้นและความชันของฟังก์ชันเชิงเส้น )

t-test ตรวจพบว่าอายุเฉลี่ยแตกต่างกันระหว่างผู้ตอบที่ไม่ใช่และใช่ในประชากร การถดถอยแบบลอจิสติกประมาณว่าอัตราการตอบสนองแปรผันตามอายุอย่างไร ดังนั้นจึงมีความยืดหยุ่นและสามารถให้ข้อมูลรายละเอียดมากกว่าการทดสอบ t ในทางตรงกันข้ามมันมีแนวโน้มที่จะมีพลังน้อยกว่า t-test สำหรับจุดประสงค์พื้นฐานของการตรวจจับความแตกต่างระหว่างอายุเฉลี่ยในกลุ่ม

เป็นไปได้ที่คู่การทดสอบจะแสดงชุดค่าผสมที่มีนัยสำคัญและไม่มีนัยสำคัญทั้งสี่ชุด สองสิ่งนี้เป็นปัญหา:

• การทดสอบ t ไม่มีนัยสำคัญ แต่การถดถอยโลจิสติกคือ เมื่อสมมติฐานของการทดสอบทั้งสองมีความน่าเชื่อถือผลลัพธ์ดังกล่าวเป็นไปไม่ได้ในทางปฏิบัติเพราะการทดสอบ t ไม่ได้พยายามที่จะตรวจสอบความสัมพันธ์ที่เฉพาะเจาะจงดังที่ระบุไว้โดยการถดถอยโลจิสติก อย่างไรก็ตามเมื่อความสัมพันธ์นั้นไม่เชิงเส้นเพียงพอที่จะทำให้วิชาที่เก่าแก่ที่สุดและอายุน้อยที่สุดที่จะแบ่งปันความคิดเห็นหนึ่งและวิชาวัยกลางคนอื่นจากนั้นการขยายของการถดถอยโลจิสติกไปสู่ความสัมพันธ์ที่ไม่เชิงเส้นสามารถตรวจจับและ .

• การทดสอบ t มีความสำคัญ แต่การถดถอยโลจิสติกไม่ได้เป็นอย่างที่เป็นในคำถาม สิ่งนี้มักจะเกิดขึ้นโดยเฉพาะเมื่อมีกลุ่มผู้ตอบที่อายุน้อยกว่ากลุ่มผู้ตอบที่มีอายุมากกว่าและไม่กี่คน สิ่งนี้อาจสร้างความแตกต่างอย่างมากระหว่างอัตราการตอบกลับของผู้ตอบแบบไม่ตอบและใช่ มันถูกตรวจพบได้อย่างง่ายดายโดยการทดสอบ t อย่างไรก็ตามการถดถอยโลจิสติกจะมีข้อมูลรายละเอียดค่อนข้างน้อยเกี่ยวกับวิธีการที่อัตราการตอบสนองเปลี่ยนแปลงไปตามอายุหรืออื่น ๆ ซึ่งจะมีข้อมูลที่ไม่สามารถสรุปได้: กรณีของ "การแยกแบบสมบูรณ์" ซึ่งผู้สูงอายุทุกคนตอบสนองทางเดียว แต่ในกรณีนั้นการทดสอบทั้งสองมักจะมีค่า p ต่ำมาก

โปรดทราบว่าการออกแบบการทดลองสามารถทำให้สมมติฐานการทดสอบบางอย่างใช้ไม่ได้ ตัวอย่างเช่นหากคุณเลือกคนตามอายุของพวกเขาในการออกแบบแบ่งชั้นแล้วสมมติฐานของ t-test (ที่แต่ละกลุ่มสะท้อนให้เห็นถึงกลุ่มตัวอย่างแบบสุ่มง่าย ๆ อายุ) จะกลายเป็นที่น่าสงสัย การออกแบบนี้จะแนะนำให้ใช้การถดถอยโลจิสติก หากคุณมีสองกลุ่มผู้ตอบแบบไม่ตอบโต้และผู้ตอบแบบตอบรับหนึ่งรายและเลือกแบบสุ่มจากผู้ที่ยืนยันอายุของพวกเขาจากนั้นสมมติฐานการสุ่มตัวอย่างของการถดถอยแบบโลจิสติกส์นั้นน่าสงสัยในขณะที่การทดสอบแบบทดสอบ การออกแบบนั้นจะแนะนำให้ใช้รูปแบบของการทดสอบ t

(การออกแบบที่สองอาจดูโง่ที่นี่ แต่ในกรณีที่ "อายุ" ถูกแทนที่ด้วยลักษณะบางอย่างที่ยากราคาแพงหรือใช้เวลานานในการวัดมันน่าดึงดูด)

$t$$X$$Y$

$$X|Y=i \sim N(\mu_i,\sigma^2).$$ $Y \sim \operatorname{bernoulli}(p)$$Y$$X=x$ $$\begin{align} P(Y=1|X=x) &=\frac{f_{X|Y=1}(x)P(Y=1)}{\sum_{i=0}^1 f_{X|Y=i}(x)P(Y=i)} \\&=\frac{pe^{-\frac1{2\sigma^2}(x-\mu_1)^2}}{pe^{-\frac1{2\sigma^2}(x-\mu_1)^2} + (1-p)e^{-\frac1{2\sigma^2}(x-\mu_0)^2}} \\&=\frac1{1+\frac{1-p}pe^{-\frac1{2\sigma^2}(x-\mu_0)^2+\frac1{2\sigma^2}(x-\mu_1)^2}} \\&=\operatorname{logit}^{-1}(\beta_0 + \beta_1 x) \end{align}$$ $$\begin{align}\beta_0 &= \ln\frac p{1-p} -\frac1{2\sigma^2}(\mu_1^2-\mu_0^2) \\ \beta_1&=\frac1{\sigma^2}(\mu_1-\mu_0). \end{align}$$

ดังนั้นในแง่นี้ทั้งสองแบบมีเงื่อนไขเข้ากันได้

แบบทดสอบที่ดีกว่าคือแบบทดสอบที่ตอบคำถามของคุณได้ดีกว่า ใบหน้าของทั้งคู่ก็ไม่ดีขึ้น ความแตกต่างที่นี่เทียบเท่ากับที่พบเมื่อทำการถดถอย y กับ x และ x บน y และสาเหตุของผลลัพธ์ที่ต่างกันนั้นคล้ายคลึงกัน ความแปรปรวนที่ถูกประเมินขึ้นอยู่กับว่าตัวแปรใดที่กำลังถูกใช้เป็นตัวแปรตอบกลับในโมเดล

คำถามการวิจัยของคุณคลุมเครือมาก บางทีถ้าคุณพิจารณาทิศทางของเวรกรรมคุณสามารถสรุปได้ว่าคุณต้องการใช้การวิเคราะห์แบบใด อายุทำให้ผู้คนตอบกลับว่า "ใช่" หรือกำลังตอบกลับว่า "ใช่" ทำให้คนแก่ขึ้นหรือไม่ เป็นไปได้มากกว่าที่อดีตซึ่งในกรณีนี้ความแปรปรวนของความน่าจะเป็นของ "ใช่" คือสิ่งที่คุณต้องการสร้างแบบจำลองดังนั้นการถดถอยโลจิสติกจึงเป็นตัวเลือกที่ดีที่สุด

ที่กล่าวว่าคุณควรตรวจสอบสมมติฐานของการทดสอบ สามารถพบได้ทั่วไปที่วิกิพีเดียหรือในหนังสือเรียน อาจเป็นไปได้ว่าคุณมีเหตุผลที่ดีที่จะไม่ทำการถดถอยโลจิสติกและเมื่อเกิดเหตุการณ์เช่นนี้คุณอาจต้องถามคำถามอื่น