ความแปรปรวนของค่าสูงสุดของกลุ่มตัวอย่างคืออะไร?

ฉันกำลังหาขอบเขตของความแปรปรวนของตัวแปรสุ่มสูงสุดชุด กล่าวอีกนัยหนึ่งฉันกำลังมองหาสูตรปิดสำหรับเช่นนั้น ที่ได้รับการแก้ไข ชุดของตัวแปรสุ่มด้วยวิธีการ จำกัดและแปรปรวน 2 $B$

Var (max_{i} X_{i}) \leq B,

$\mbox{Var}(\max_i X_i) \leq B \enspace,$

X = {X_{1}, \dots, X_{M}}

$X = \{ X_1, \ldots, X_M \}$

M

$M$

μ_{1}, \dots, μ_{M}

$\mu_1, \ldots, \mu_M$

σ_{1}^{2}, \dots, σ_{M}^{2}

$\sigma_1^2, \ldots, \sigma_M^2$

ฉันสามารถสรุปได้ว่า

Var (max_{i} X_{i}) \leq \sum_{i} σ_{i}^{2},

$\mbox{Var}(\max_i X_i) \leq \sum_i \sigma_i^2 \enspace,$ แต่ขอบเขตนี้ดูเหมือนจะหลวมมาก การทดสอบเชิงตัวเลขดูเหมือนจะบ่งบอกว่า

B = max_{i} σ_{i}^{2}

$B = \max_i \sigma_i^2$ อาจเป็นไปได้ แต่ฉันไม่สามารถพิสูจน์ได้ ความช่วยเหลือใด ๆ ที่ชื่นชม

variance bounds maximum

— จางไป
แหล่งที่มา

(คุณต้องการถือว่า

X_{i}

$X_i$ มีความเป็นอิสระหรือไม่) การคาดคะเนมีความน่าเชื่อถือ แต่ดูเหมือนจะเป็นเท็จ ยกตัวอย่างเช่นการทดลองทำบางอย่างที่

X_{i}

$X_i$ จะ IID กับ CDF

1 - x^{1 - s}

$1-x^{1-s}$ ,

1 \leq x \leq \infty

$1\le x\le \infty$ ,

s > 3

$s\gt 3$ 3 ความแปรปรวนของค่าสูงสุดเมื่อเทียบกับความแปรปรวนทั่วไปจะเพิ่มขึ้นโดยไม่มีข้อผูกมัดเมื่อ

M

$M$ เติบโตขึ้น

— whuber

@whuber ขอบคุณที่อธิบายว่าทำไมฉันจึงไม่สามารถพิสูจน์การคาดเดาได้ :) ฉันสนใจในกรณีที่

X_{i}

$X_i$ มีความเป็นอิสระ เพื่อชี้แจงฉันส่วนใหญ่สนใจในขอบเขตทั่วไปที่ใช้เพียงสองช่วงเวลาแรก ฉันไม่แน่ใจว่าขอบเขตทั่วไปที่คมชัดกว่านั้นมีอยู่มากกว่าความแปรปรวนทั่วไปหรือไม่

— ปีเตอร์

ฉันควรชี้ให้เห็นว่าผลรวมของคุณ (สมมติว่ามันถูกต้อง - มันจะดีถ้าได้เห็นภาพสเก็ตช์ของหลักฐาน) แน่น ตัวอย่างเช่นสมมติได้รับการสนับสนุนในช่วงด้วยผลต่างไม่เกินและให้รับการสนับสนุนบนinfty] จากนั้นเมื่อ, พร้อมกับความแปรปรวน , แต่ความไม่เท่าเทียมกันสามารถทำให้แน่นได้มากเท่าที่คุณต้องการโดยการลดขนาด .

X_{2}, \dots, X_{M}

$X_2,\ldots,X_M$

[- \infty, a]

$[-\infty, a]$

ε^{2}

$\varepsilon^2$

X_{1}

$X_1$

[a, \infty]

$[a,\infty]$

max_{i} X_{i} = X_{1}

$\max_i{X_i}=X_1$

σ_{1}^{2} \leq σ_{1}^{2} + (M - 1) ε^{2}

$\sigma_1^2\le\sigma_1^2+(M-1)\varepsilon^2$

ε^{2}

$\varepsilon^2$

— whuber

สำหรับข้อมูล iid ทฤษฎีค่าสุดขีดให้คลาสของการแจกแจงที่กลุ่มตัวอย่างมาบรรจบกันมากที่สุดโดยมีเงื่อนไขบางอย่างที่หางของการแจกแจงดั้งเดิมให้คลาสที่แตกต่างกันของการแจกแจงแบบซีมโทติค ดังนั้นฉันสงสัยว่าคุณจะสามารถได้รับขอบเขตที่ดีตามสองช่วงเวลาเท่านั้นแม้ว่าฉันจะคุ้นเคยกับทฤษฎีสัมผัส

— StasK

คำตอบ:

สำหรับการใด ๆตัวแปรสุ่มที่ดีที่สุดที่ถูกผูกไว้ทั่วไปคือ ตามที่ระบุไว้ในคำถามเดิม นี่คือร่างหลักฐาน: ถ้า X, Y มี IID แล้ว(X) เมื่อพิจารณาถึงเวกเตอร์ของตัวแปรที่ขึ้นอยู่กับให้เป็นเวกเตอร์อิสระที่มีการแจกแจงร่วมเดียวกัน สำหรับเรามีการรวมกันว่าและการรวมนี้จากถึงให้ผลตอบแทนที่ไม่เท่ากัน $n$ $X_i$ $\newcommand{\Var}{\mathrm{Var}}\Var(\max X_i) \le \sum_i \Var(X_i)$ $E[(X-Y)^2] =2\Var(X)$ $(X_1,\ldots ,X_n)$ $(Y_1,\ldots ,Y_n)$ $r>0$ $P[ |\max_i X_i-\max_i Y_i|^2 >r] \le \sum_i P[ | X_i-Y_i|^2 >r]$ $dr$ $0$ $\infty$

ถ้ามี IID ตัวชี้วัดของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นน่าจะเป็นแล้วเป็นตัวบ่งชี้ของเหตุการณ์ของความน่าจะ2) แก้ไขและให้มีแนวโน้มที่จะเป็นศูนย์ที่เราได้รับและ2) $X_i$ $\epsilon$ $\max X_i$ $n\epsilon+O(n^2 \epsilon^2)$ $n$ $\epsilon$ $\Var(X_i)=\epsilon-\epsilon^2$ $\Var(\max_i X_i)= n\epsilon +O(n^2\epsilon^2)$

— Yuval Peres
แหล่งที่มา

คำถามเกี่ยวกับ MathOverflow เกี่ยวข้องกับคำถามนี้

สำหรับตัวแปรสุ่ม IID ที่ TH สูงสุดที่เรียกว่าสถิติการสั่งซื้อ $k$

แม้แต่สำหรับตัวแปรสุ่มของ IID Bernoulli ความแปรปรวนของสถิติการเรียงลำดับใด ๆ ที่นอกเหนือจากค่ามัธยฐานอาจมากกว่าความแปรปรวนของประชากร ตัวอย่างเช่นถ้าคือกับความน่าจะและมีโอกาสและแล้วสูงสุดคือกับความน่าจะเป็นเพื่อให้ความแปรปรวนของประชากรเป็นในขณะที่แปรปรวน สูงสุดอยู่ที่ประมาณ0.23 $X_i$ $1$ $1/10$ $0$ $9/10$ $M=10$ $1$ $\approx 1- 1/e$ $0.09$ $0.23$

นี่คือเอกสารสองฉบับเกี่ยวกับความแปรปรวนของสถิติการสั่งซื้อ:

Yang, H. (1982) "จากความแปรปรวนของค่ามัธยฐานและสถิติการสั่งซื้ออื่น ๆ " วัว. Inst คณิตศาสตร์. Acad Sinica, 10 (2) pp. 197-204

Papadatos, N. (1995) "ความแปรปรวนสูงสุดของสถิติการสั่งซื้อ" แอน Inst statist คณิตศาสตร์, 47 (1) pp. 185-193

ผมเชื่อว่าขอบเขตบนแปรปรวนสูงสุดในกระดาษที่สองคือ 2 พวกเขาชี้ให้เห็นว่าความเท่าเทียมไม่สามารถเกิดขึ้นได้ แต่ค่าที่ต่ำกว่าสามารถเกิดขึ้นได้สำหรับตัวแปรสุ่มของ IID Bernoulli $M\sigma^2$

— ดักลาสแซร์
แหล่งที่มา