ความแปรปรวนของผลผลิตของตัวแปรตาม

31

สูตรสำหรับความแปรปรวนของผลิตภัณฑ์ของตัวแปรตามคืออะไร

ในกรณีของตัวแปรอิสระสูตรนั้นง่าย:

v a r (X Y) = E (X^{2} Y^{2}) - E (X Y)^{2} = v a r (X) v a r (Y) + v a r (X) E (Y)^{2} + v a r (Y) E (X)^{2}

${\rm var}(XY) = E(X^{2}Y^{2}) - E(XY)^{2} = {\rm var}(X){\rm var}(Y) + {\rm var}(X)E(Y)^2 + {\rm var}(Y)E(X)^2$ แต่สูตรสำหรับตัวแปรที่เกี่ยวข้องคืออะไร

โดยวิธีการฉันจะค้นหาความสัมพันธ์ตามข้อมูลทางสถิติได้อย่างไร

correlation variance

— ริกา
แหล่งที่มา

32

โดยการใช้เอกลักษณ์ที่คุณคุ้นเคย

v a r (X Y) = E (X^{2} Y^{2}) - E (X Y)^{2}

${\rm var}(XY) = E(X^{2}Y^{2}) - E(XY)^{2}$

ใช้สูตรอะนาล็อกเพื่อความแปรปรวนร่วม

E (X^{2} Y^{2}) = c o v (X^{2}, Y^{2}) + E (X^{2}) E (Y^{2})

$E(X^{2}Y^{2}) = {\rm cov}(X^{2}, Y^{2}) + E(X^2)E(Y^2)$

และ

E (X Y)^{2} = [c o v (X, Y) + E (X) E (Y)]^{2}

$E(XY)^{2} = [ {\rm cov}(X,Y) + E(X)E(Y) ]^{2}$

ซึ่งหมายความว่าโดยทั่วไปแล้วสามารถเขียนเป็น ${\rm var}(XY)$

c o v (X^{2}, Y^{2}) + [v a r (X) + E (X)^{2}] \cdot [v a r (Y) + E (Y)^{2}] - [c o v (X, Y) + E (X) E (Y)]^{2}

${\rm cov}(X^{2}, Y^{2}) + [{\rm var}(X) + E(X)^2] \cdot[{\rm var}(Y) + E(Y)^2] - [ {\rm cov}(X,Y) + E(X)E(Y) ]^{2}$

โปรดสังเกตว่าในกรณีที่เป็นอิสระและสิ่งนี้จะลด ${\rm cov}(X^2,Y^2) = {\rm cov}(X,Y) = 0$

[v a r (X) + E (X)^{2}] \cdot [v a r (Y) + E (Y)^{2}] - [E (X) E (Y)]^{2}

$[{\rm var}(X) + E(X)^2] \cdot[{\rm var}(Y) + E(Y)^2] - [ E(X)E(Y) ]^{2}$

และทั้งสองคำศัพท์จะถูกยกเลิกและคุณจะได้รับ $[ E(X)E(Y) ]^{2}$

v a r (X) v a r (Y) + v a r (X) E (Y)^{2} + v a r (Y) E (X)^{2}

${\rm var}(X){\rm var}(Y) + {\rm var}(X)E(Y)^{2} + {\rm var}(Y)E(X)^{2}$

ตามที่คุณชี้ไป

แก้ไข:หากสิ่งที่คุณสังเกตเห็นคือและไม่ใช่และแยกกันฉันไม่คิดว่าจะมีวิธีให้คุณประมาณหรือยกเว้น ในกรณีพิเศษ (ตัวอย่างเช่นถ้ามีวิธีการที่รู้จักนิรนัย ) $XY$ $X$ $Y$ ${\rm cov}(X,Y)$ ${\rm cov}(X^2,Y^2)$ $X,Y$

— มาโคร
แหล่งที่มา

2

ทำไมคุณใส่ [var (X) + E (X) 2] ⋅ [var (Y) + E (Y) 2] แทน E (X2) E (Y2) ???

1

@ user35458 ดังนั้นเขาสามารถจบลงด้วยสมการเป็นการแสดงออกของ var (X) และ var (Y) จึงเปรียบได้กับคำสั่งของ OP ขอให้สังเกตว่า E (X ^ 2) = Var (X) + E (X) ^ 2

— Waldir Leoncio

2

เพื่อที่จะตอบสนอง (ออฟไลน์) กับความท้าทายที่ถูกลบไปแล้วในขณะนี้กับความถูกต้องของคำตอบนี้ฉันเปรียบเทียบผลลัพธ์กับการคำนวณโดยตรงความแปรปรวนของผลิตภัณฑ์ในแบบจำลองจำนวนมาก ไม่ใช่สูตรที่ใช้งานได้จริงหากคุณสามารถหลีกเลี่ยงได้เพราะมันอาจสูญเสียความแม่นยำอย่างมากผ่านการยกเลิกเพื่อลบคำที่มีขนาดใหญ่หนึ่งคำจากอีกคำหนึ่ง แต่นั่นไม่ใช่ประเด็น ข้อผิดพลาดประการหนึ่งที่ควรระวังคือคำถามนี้เกี่ยวข้องตัวแปรสุ่ม ผลลัพธ์นำไปใช้กับข้อมูลที่ให้คุณคำนวณความแปรปรวนและความแปรปรวนร่วมโดยใช้ตัวส่วนของแทน $n$ $n-1$ (ตามปกติสำหรับซอฟต์แวร์)

— whuber

14

นี่เป็นภาคผนวกของคำตอบที่ดีมากของ @ Macro ซึ่งแสดงให้เห็นอย่างชัดเจนถึงสิ่งที่จำเป็นต้องทราบเพื่อกำหนดความแปรปรวนของผลิตภัณฑ์ของตัวแปรสุ่มสองตัวที่มีความสัมพันธ์กัน ตั้งแต่ โดยที่,,,

\begin{aligned} (1) & var (X Y) & = E [(X Y)^{2}] - {(E [X Y])}^{2} \\ = E [(X Y)^{2}] - {(cov (X, Y) + E [X] E [Y])}^{2} \\ (2) & = E [X^{2} Y^{2}] - {(cov (X, Y) + E [X] E [Y])}^{2} \\ (3) & = (cov (X^{2}, Y^{2}) + E [X^{2}] E [Y^{2}]) - {(cov (X, Y) + E [X] E [Y])}^{2} \end{aligned}

$\begin{align} \operatorname{var}(XY) &= E\left[(XY)^2\right] - \left(E[XY]\right)^2 \tag{1}\\ &= E[(XY)^2] - \left(\operatorname{cov}(X,Y)+E[X]E[Y]\right)^2\\ &= E[X^2Y^2] - \left(\operatorname{cov}(X,Y)+E[X]E[Y]\right)^2\tag{2}\\ &= \left(\operatorname{cov}(X^2,Y^2)+E[X^2]E[Y^2]\right) - \left(\operatorname{cov}(X,Y)+E[X]E[Y]\right)^2\tag{3}\\ \end{align}$

cov (X, Y)

$\operatorname{cov}(X,Y)$

E [X]

$E[X]$

E [Y]

$E[Y]$

และ

E [X^{2}]

$E[X^2]$

E [Y^{2}]

$E[Y^2]$ สามารถสันนิษฐานได้ว่าเป็นปริมาณที่รู้กันเราต้องสามารถกำหนดค่าของ

ใน

หรือ

ใน

)

นี้ไม่ใช่เรื่องง่ายที่จะทำในทั่วไป แต่เป็นแหลมออกแล้วถ้า

และ

มีอิสระตัวแปรสุ่มแล้ว

E [X^{2} Y^{2}]

$E\left[X^2Y^2\right]$

(2)

$(2)$

cov (X^{2}, Y^{2})

$\operatorname{cov}(X^2,Y^2)$

(3)

$(3)$

X

$X$

Y

$Y$

0

ในความเป็นจริงการพึ่งพาอาศัยกันไม่มีความสัมพันธ์ (หรือขาดมัน) เป็นปัญหาสำคัญ ที่เรารู้ว่า

เท่ากับ

แทนค่าที่ไม่ใช่ศูนย์บางตัวไม่ช่วยตัวเองอย่างน้อยที่สุดในความพยายามของเราคือการหาค่าของ

หรือ

แม้ว่ามันจะ

cov (X, Y) = cov (X^{2}, Y^{2}) = 0

$\operatorname{cov}(X,Y) = \operatorname{cov}(X^2,Y^2) = 0$

cov (X, Y)

$\operatorname{cov}(X,Y)$

0

$0$

E [X^{2} Y^{2}]

$E\left[X^2Y^2\right]$

cov (X^{2}, Y^{2})

$\operatorname{cov}(X^2,Y^2)$ ไม่ลดความซับซ้อนด้านขวาของ

และ

เล็ก ๆ น้อย ๆ

(2)

$(2)$

(3)

$(3)$

เมื่อและเป็น ตัวแปรสุ่มขึ้นอยู่กับอย่างน้อยหนึ่งกรณีพิเศษ (ค่อนข้างธรรมดาหรือค่อนข้างสำคัญ) มันเป็นไปได้ที่จะหาค่าของได้อย่างง่ายดาย $X$ $Y$ $E\left[X^2Y^2\right]$

สมมติว่าและมีกันปกติตัวแปรสุ่มที่มีค่าสัมประสิทธิ์สหสัมพันธ์ρจากนั้นปรับอากาศ ในที่เงื่อนไขความหนาแน่นของคือความหนาแน่นปกติที่มีค่าเฉลี่ย $X$ $Y$ $\rho$ $X = x$ $Y$ $E[Y] + \rho\left.\left.\sqrt{\frac{\operatorname{var}(Y)}{\operatorname{var}(X)}} \right(x-E[X]\right)$ $\operatorname{var}(Y)(1-\rho^2)$

\begin{aligned} E [X^{2} Y^{2} ∣ X] & = X^{2} E [Y^{2} ∣ X] \\ = X^{2} [var (Y) (1 - ρ^{2}) + {(E [Y] + ρ \sqrt{\frac{var (Y)}{var (X)}} (X - E [X]))}^{2}] \end{aligned}

$\begin{align}E[X^2Y^2 \mid X] &= X^2E[Y^2 \mid X]\\ &= X^2\left[\operatorname{var}(Y)(1-\rho^2) + \left(E[Y] + \rho\left.\left.\sqrt{\frac{\operatorname{var}(Y)}{\operatorname{var}(X)}} \right(X-E[X]\right)\right)^2\right] \end{align}$

X

$X$

g (X)

$g(X)$

\begin{matrix} (4) & E [X^{2} Y^{2}] = E [E [X^{2} Y^{2} ∣ X]] = E [g (X)] \end{matrix}

$E[X^2Y^2] = E\left[E[X^2Y^2\mid X]\right] = E[g(X)]\tag{4}$

(4)

$(4)$

X

$X$

ภาคผนวกเพิ่มเติม: ในคำตอบที่ถูกลบตอนนี้ @Hydrologist ให้ความแปรปรวนของ $XY$ เช่น

\begin{matrix} (5) & V a r [x y] = {(E [x])}^{2} V a r [y] + {(E [y])}^{2} V a r [x] + 2 E [x] C o v [x, y^{2}] + 2 E [y] C o v [x^{2}, y] + 2 E [x] E [y] C o v [x, y] + C o v [x^{2}, y^{2}] - {(C o v [x, y])}^{2} \end{matrix}

$\mathrm{Var}\left[xy\right] = \left(\mathrm{E}\left[x\right]\right)^2\mathrm{Var}\left[y\right] + \left(\mathrm{E}\left[y\right]\right)^2\mathrm{Var}\left[x\right] + 2\mathrm{E}\left[x\right]\mathrm{Cov}\left[x,y^2\right] + 2\mathrm{E}\left[y\right]\mathrm{Cov}\left[x^2,y\right]\\ + 2\mathrm{E}\left[x\right]\mathrm{E}\left[y\right]\mathrm{Cov}\left[x,y\right] +\mathrm{Cov}\left[x^2,y^2\right] - \left(\mathrm{Cov}\left[x,y\right]\right)^2 \tag{5}$ and claims that this formula is from two papers published a half-century ago in JASA. This formula is an incorrect transcription of the results in the paper(s) cited by Hydrologist. Specifically,

C o v [x^{2}, y^{2}]

$\mathrm{Cov}\left[x^2,y^2\right]$ is a mistranscription of

E [(x - E [x])^{2} (y - E [y])^{2}]

$E[(x-E[x])^2(y-E[y])^2]$ in the journal article, and similarly for

C o v [x^{2}, y]

$\mathrm{Cov}\left[x^2,y\right]$ and

C o v [x, y^{2}]

$\mathrm{Cov}\left[x,y^2\right]$ .

— Dilip Sarwate
แหล่งที่มา

For the computation of

E (X^{2} Y^{2})

$E(X^2 Y^2)$ in the joint normal case, also see math.stackexchange.com/questions/668641/…

— Samuel Reid