การกระจายความน่าจะเป็นโกศเปลี่ยนไปเมื่อคุณดึงออกมาโดยไม่เปลี่ยนค่าเฉลี่ยหรือไม่

9

สมมติว่าฉันมีโกศที่มีลูกบอลหลากสี N สีและแต่ละสีที่ต่างกันสามารถปรากฏจำนวนครั้งที่แตกต่างกัน (ถ้ามีลูกบอลสีแดง 10 ลูกก็ไม่จำเป็นต้องเป็นลูกบอลสีฟ้า 10 อัน) ถ้าเรารู้เนื้อหาที่แน่นอนของโกศก่อนวาดเราสามารถสร้างการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบแยกซึ่งบอกเราถึงความน่าจะเป็นในการวาดลูกบอลแต่ละสี สิ่งที่ฉันสงสัยคือการกระจายตัวเปลี่ยนหลังจากวาดลูก k โดยไม่เปลี่ยนจากโกศโดยเฉลี่ยแล้ว. ฉันเข้าใจว่าเมื่อเราดึงออกมาจากโกศเราสามารถอัปเดตการกระจายด้วยความรู้เกี่ยวกับสิ่งที่ถูกนำออกไป แต่สิ่งที่ฉันอยากรู้คือสิ่งที่เราคาดหวังว่ารูปร่างของการแจกแจงจะเป็นหลังจากที่เราเอาลูก k ออก การกระจายการเปลี่ยนแปลงโดยเฉลี่ยหรือมันยังคงเหมือนเดิมหรือไม่ ถ้ามันไม่เหมือนเดิมเราสามารถเขียนสูตรสำหรับสิ่งที่เราคาดหวังว่าการแจกแจงแบบใหม่จะดูเหมือนโดยเฉลี่ยหลังจากทำการวาด k

probability discrete-data distributions

— mjnichol
แหล่งที่มา

1

ฉันอาจจะผิด - แต่นี่เป็นความรู้สึกเหมือนว่ารู้ถึงการกระจายก่อนหน้านี้ แต่ไม่มีข้อมูลเกี่ยวกับความน่าจะเป็น (นอกเหนือจากที่ลูก k ถูกลบ) ในกรณีนั้น - ฉันจะสมมติว่าคนหลังเท่ากับก่อนหน้านี้ เพื่อความเป็นธรรม - มีข้อมูลความน่าจะเป็นที่จำนวนลูกบอลลดลงและ (สำหรับบอลหนึ่งลูกออก) การกระจายจึงเป็นเช่น bimodal ระหว่างความเป็นไปได้ 50% ของสีแดง 9 และ 10 สีดำและ 50% ความเป็นไปได้ของ 10 สีแดงและ 9 สีดำ . ฉันอาจจะผิดที่นี่แม้ว่า

— Wouter

สัญชาตญาณของฉันคือมันเป็นเหมือนกรณีหลังที่คุณอธิบาย ฉันไม่สามารถหาใครพูดถึงกระบวนการประเภทนี้ได้

— mjnichol

7

"การคำนวณโดยตรง": ปล่อยให้มีลูกของสีในโกศ ให้เรามุ่งเน้นไปที่ความน่าจะเป็นในการวาดสีใดสีหนึ่งโดยเฉพาะให้พูดว่าสีขาวบนการจับคู่ที่สอง ให้จำนวนของลูกขาวเป็นn_wให้เป็นสีของลูกบอลที่ได้จากการจับ th $n$ $m$ $n_w$ $X_i$ $i$

$\begin{array}{rcl} P (X_{2} = W) & = & P (X_{2} = W | X_{1} = W) P (X_{1} = W) + P (X_{2} = W | X_{1} = \bar{W}) P (X_{1} = \bar{W}) \\ = & \frac{n_{w} - 1}{n - 1} \frac{n_{w}}{n} + \frac{n_{w}}{n - 1} \frac{n - n_{w}}{n} \\ = & \frac{n_{w} (n - n_{w} + n_{w} - 1)}{n (n - 1)} \\ = & \frac{n_{w}}{n} \\ = & P (X_{1} = W) \end{array}$ $\begin{eqnarray} P(X_2=W)&=&P(X_2=W|X_1=W)P(X_1=W)+P(X_2=W|X_1=\overline{W})P(X_1=\overline{W})\\ &=&\frac{n_w-1}{n-1}\frac{n_w}{n}+\frac{n_w}{n-1}\frac{n-n_w}{n}\\ &=&\frac{n_w(n-n_w+n_w-1)}{n(n-1)}\\ &=&\frac{n_w}{n}\\ &=&P(X_1=W) \end{eqnarray}$
แน่นอนว่าอาร์กิวเมนต์เดียวกันนี้ใช้กับสีใด ๆ ในการจับรางวัลครั้งที่สอง เราสามารถใช้อาร์กิวเมนต์ประเภทเดียวกันแบบวนซ้ำได้เมื่อพิจารณาในภายหลัง

[แน่นอนหนึ่งสามารถทำการคำนวณโดยตรงยิ่งขึ้น พิจารณาดึงครั้งแรกซึ่งประกอบด้วย white ball และ non-white balls (ด้วยความน่าจะเป็นที่กำหนดโดยการแจกแจง hypergeometric) และทำการคำนวณที่สอดคล้องกับการคำนวณแบบง่าย ๆ ข้างบน แต่สำหรับการจับที่ขั้นตอน ; สิ่งหนึ่งได้รับความเรียบง่ายและการยกเลิกที่คล้ายกัน แต่ก็ไม่ได้เป็นความสว่างโดยเฉพาะอย่างยิ่งในการดำเนินการ] $k$ $i$ $k-i$ $k+1$
อาร์กิวเมนต์ที่สั้นกว่า: พิจารณาการติดฉลากลูกบอลแบบสุ่มด้วยหมายเลขจากนั้นจึงวาดออกตามลำดับที่มีป้ายกำกับ คำถามตอนนี้กลายเป็น "ความน่าจะเป็นที่ฉลากระบุวางอยู่บนลูกบอลสีขาวเหมือนกับความน่าจะเป็นที่ฉลากวางอยู่บนลูกบอลสีขาวหรือไม่" $1,2,...,n$ $k$ $1$

ตอนนี้เราเห็นคำตอบต้องเป็น "ใช่" โดยสมมาตรของฉลาก ในทำนองเดียวกันด้วยความสมมาตรของสีลูกมันไม่สำคัญว่าเราจะพูดว่า "สีขาว" ดังนั้นการโต้แย้งว่าฉลากและฉลากมีความน่าจะเป็นแบบเดียวกันกับสีใด ๆ ดังนั้นการกระจายที่การจับ th จึงเหมือนกับการจับครั้งแรกตราบใดที่เราไม่มีข้อมูลเพิ่มเติมจากการจับครั้งก่อน (เช่นตราบเท่าที่ไม่เห็นลูกบอลที่ถูกดึงก่อนหน้านี้) $k$ $1$ $k$

— Glen_b -Reinstate Monica
แหล่งที่มา

เกี่ยวข้องอย่างใกล้ชิดกับวิธีที่ 2 ของคุณเป็นอีกหนึ่งข้อโต้แย้งสั้น ๆ : ลองนึกภาพชุดของลำดับที่เป็นไปได้ทั้งหมดที่ลูกบอลสามารถลบออกได้ (เช่นสีน้ำเงินก่อนจากนั้นสีขาวสีขาวและสีขาว ... อาจเป็นลำดับหนึ่ง) หากสำหรับแต่ละลำดับในชุดนี้เราสลับองค์ประกอบและเราเพียงเปลี่ยนชุด ดังนั้นสำหรับลำดับที่มีสีขาว (หรืออะไรก็ตาม) ลูกที่อยู่ในทุกตำแหน่งมีตรงหนึ่งลำดับสอดคล้องกับลูกบอลสีขาวในตำแหน่งที่1ดังนั้นความน่าจะเป็นของลูกบอลสีขาวในตำแหน่งหรือตำแหน่งจะต้องเหมือนกัน ฉันคิดว่านี่เป็นเหตุผลของนีล

1^{s t}

$1^{st}$

k^{t h}

$k^{th}$

k

$k$

1

$1$

k

$k$

1

$1$

— Silverfish

@Silverfish ใช่ดูที่มันอาร์กิวเมนต์ที่สองของฉันคือการโต้แย้งแบบเดียวกับอาร์กิวเมนต์การเปลี่ยนรูปของ Neil

— Glen_b -Reinstate Monica

ขอบคุณสำหรับคำอธิบาย มันเป็นสิ่งที่ฉันต้องการเห็น!

— mjnichol

6

เหตุผลเดียวที่เห็นได้ชัดว่าการกระจายยังคงไม่เปลี่ยนแปลง (หากมีอย่างน้อยหนึ่งลูกเหลือ) คือมีข้อมูลมากเกินไป ลองดึงวัสดุที่เบี่ยงเบนความสนใจออก

ไม่สนใจสักครู่สีของลูกบอลแต่ละลูก มุ่งเน้นไปที่หนึ่งลูก สมมติลูกกำลังจะถูกลบออกสุ่ม (และไม่ได้สังเกต) และจากนั้นเซนต์ลูกจะได้รับการวาดและตั้งข้อสังเกต มันทำให้ไม่แตกต่างกันสิ่งที่สั่งการเลือกเกิดขึ้นในเพื่อให้คุณได้เป็นอย่างดีอาจสังเกตลูกแรกมากวาด (แล้วลบอีกลูกถ้าคุณยืนยัน) เห็นได้ชัดว่าการกระจายยังไม่เปลี่ยนแปลงเพราะจะไม่ได้รับผลกระทบจากการเอาลูกอื่น ๆออก $k$ $k+1$ $k$ $k$

อาร์กิวเมนต์นี้ - แม้ว่าจะใช้ได้อย่างสมบูรณ์ - อาจทำให้บางคนรู้สึกไม่สบายใจ การวิเคราะห์ต่อไปนี้อาจได้รับการยอมรับว่าเข้มงวดมากขึ้นเพราะไม่ได้ขอให้เราเพิกเฉยต่อคำสั่งคัดเลือก

มุ่งเน้นไปที่ลูกของคุณ มันจะมีความน่าจะเป็นบางอย่างที่จะถูกเลือกเป็นลูกบอลแม้ว่านั้นง่ายต่อการคำนวณ แต่เราไม่จำเป็นต้องรู้คุณค่าของมัน: สิ่งที่สำคัญคือมันจะต้องมีค่าเท่ากันสำหรับลูกบอลแต่ละลูก (เพราะลูกบอลทุกลูกมีค่าเท่ากัน) และมันไม่ใช่ศูนย์ แต่ถ้ามันเป็นศูนย์ไม่มีลูกจะมีความน่าจะเป็นใด ๆ ที่จะถูกเลือก: ดังนั้นตราบใดที่อย่างน้อยหนึ่งซากลูก0 $p_k$ $k+1$ $p_k$ $p_{k}\ne 0$

เอาใจใส่กับสีอีกครั้ง ตามคำนิยามโอกาสที่สีใดสีจะถูกเลือก (หลังจากเอาลูกบอลสุ่มออก) คือผลรวมของโอกาสของลูกบอลสีดั้งเดิมทั้งหมดหารด้วยผลรวมของโอกาสของลูกบอลต้นฉบับทั้งหมด เมื่อแรกเริ่มมีลูกบอลสีและลูกบอลผลรวมค่านั้นคือ $C$ $k$ $C$ $k_C$ $C$ $n$

{Pr}_{k} (C) = \frac{k_{c} p_{k}}{n p_{k}} = \frac{k_{c}}{n} .

${\Pr}_k(C) = \frac{k_c p_k}{n p_k} = \frac{k_c}{n}.$

เมื่อมันไม่ได้ขึ้นอยู่กับ , QED $k\lt n$ $k$

— whuber
แหล่งที่มา

ขอบคุณสำหรับความคิดเห็น มันช่วยให้ฉันเข้าใจกระบวนการพื้นฐานมากขึ้น!

— mjnichol

2

ให้การกระจายตัวของการวาดภาพลูกเดียว - หลังจากที่มีการวาดแล้วลูกโดยไม่ต้องเปลี่ยน - มีการกระจายเด็ดขาดได้รับการจัดจำหน่ายมากกว่าการกระจายเด็ดขาดเช่นD_k $k$ $E(D_k)$ $D_k$

ฉันเดาว่าคุณกำลังถามว่าคงที่หรือไม่ $E(D_k)$

ฉันคิดว่ามันคือ. สมมติว่าคุณวาดลูกบอลทั้งหมดในที่สุด การเรียงสับเปลี่ยนลูกบอลทั้งหมดมีโอกาสเท่ากัน น่าจะเป็นของการวาดภาพเบื้องต้นคือ(D_0) คุณสามารถจัดเรียงตัวเลือกของคุณใหม่เพื่อให้มีการเปลี่ยนแปลงที่เท่าเทียมกันโดยเลือกลูกบอลลูกแรกที่คุณเลือกเป็นคนสุดท้าย ลูกบอลนั้นมีความคาดหวังซึ่งจะต้องเท่ากับเนื่องจากสมมาตร โดยการเหนี่ยวนำเท่ากันทั้งหมด $E(D_0)$ $E(D_1)$ $E(D_0)$ $E(D_i)$

— นีลจี
แหล่งที่มา

คุณหมายถึงว่าฉันกำลังถามว่าคงที่สำหรับทุก k ใช่ไหม?

E (D_{k})

$E(D_k)$

— mjnichol

@mjnichol ถูกต้อง

— Neil G

0

"การกระจายที่คาดหวัง" จะไม่เปลี่ยนแปลง หนึ่งสามารถใช้อาร์กิวเมนต์ martingale! ฉันจะเพิ่มคำตอบดังกล่าวในภายหลัง (ตอนนี้ฉันกำลังเดินทาง)

การแจกแจงแบบมีเงื่อนไขในการดึงก่อนหน้า (สำหรับการจับในภายหลัง) จะเปลี่ยนเฉพาะเมื่อคุณสังเกตการจับการดึงเท่านั้น หากคุณดึงลูกบอลออกจากโกศด้วยมือที่ปิดไว้อย่างแน่นหนาแล้วโยนลูกบอลออกไปโดยไม่สังเกตสีของมัน (ฉันใช้โรงละครดังกล่าวเป็นการสาธิตในชั้นเรียน) การกระจายจะไม่เปลี่ยนแปลง ข้อเท็จจริงนี้มีคำอธิบาย: ความน่าจะเป็นเกี่ยวกับข้อมูลความน่าจะเป็นเป็นแนวคิดของข้อมูล

ดังนั้นความน่าจะเป็นเปลี่ยนแปลงเมื่อคุณได้รับข้อมูลใหม่ (ความน่าจะเป็นตามเงื่อนไขนั่นคือ) การวาดลูกบอลและโยนมันทิ้งไปโดยไม่สังเกตว่ามันไม่ได้ให้ข้อมูลใหม่แก่คุณดังนั้นจึงไม่มีอะไรใหม่ ดังนั้นเมื่อคุณกำหนดเงื่อนไขในชุดข้อมูลจริงที่ไม่ได้เปลี่ยนแปลงดังนั้นการแจกแจงแบบมีเงื่อนไขจะไม่สามารถเปลี่ยนแปลงได้

 EDIT

ตอนนี้ฉันจะไม่ให้รายละเอียดเพิ่มเติมกับคำตอบนี้เพิ่มเพียงหนึ่งการอ้างอิง: Hosam M. Mahmoud: "Pólya Urn Models" (แชปแมนและฮอลล์) ซึ่งปฏิบัติต่อนางแบบโกศเหมือนหนึ่งในคำถามนี้และยังมีโกศทั่วไปอีกมากมาย แบบแผนโดยใช้วิธีการ martingale เพื่อให้ได้ผลลัพธ์ขีด จำกัด แต่วิธีการ martingale ไม่จำเป็นสำหรับคำถามในโพสต์นี้

— kjetil b halvorsen
แหล่งที่มา

การกระจาย (สำหรับการจับในภายหลัง) จะไม่เปลี่ยนแปลงแม้ว่าคุณจะสังเกตเห็นการจับ เหตุใดจึงควรสังเกตสิ่งที่เปลี่ยนแปลงอะไร

— Neil G

1

@Neil ผมคิดว่าเคอร์วินจะหมายถึงการกระจายเงื่อนไขในการสังเกตดึง

— Silverfish

@Silverfish: อ่าเข้าใจแล้ว คุณพูดถูกฉันขอโทษ

— Neil G

ฉันจะแก้ไขเพื่อให้ชัดเจนขึ้นเมื่ออยู่ที่บ้านในอีกสองสัปดาห์ สำหรับวันหยุดพักผ่อนใน Venezia ...

— kjetil b halvorsen