เทย์เลอร์ซีรีย์ประมาณการความคาดหวังของฟังก์ชั่นทั้งหมด (ทั้งหมด) เมื่อใด

รับความคาดหวังของรูปแบบสำหรับตัวแปรสุ่มบางตัวแปรและฟังก์ชันทั้งหมด (เช่นช่วงเวลาของการบรรจบกันเป็นเส้นจริงทั้งหมด) $E(f(X))$ $X$ $f(\cdot)$

ฉันมีฟังก์ชั่นสร้างช่วงเวลาสำหรับและด้วยเหตุนี้สามารถคำนวณช่วงเวลาจำนวนเต็มได้อย่างง่ายดาย ใช้ชุดข้อมูลเทย์เลอร์รอบแล้วใช้ความคาดหวังในแง่ของชุดของช่วงเวลากลาง ตัดชุดนี้ $X$ $\mu \equiv E(x)$

E (f (x)) = E (f (μ) + f^{'} (μ) (x - μ) + f^{″} (μ) \frac{(x - μ)^{2}}{2!} + \dots)

$E(f(x)) = E\left(f(\mu) + f'(\mu)(x - \mu) + f''(\mu)\frac{(x - \mu)^2}{2!} +\ldots\right)$

= f (μ) + \sum_{n = 2}^{\infty} \frac{f^{(n)} (μ)}{n!} E [(x - μ)^{n}]

$=f(\mu) + \sum_{n=2}^{\infty} \frac{f^{(n)}(\mu)}{n!}E\left[(x - \mu)^n\right]$

E_{N} (f (x)) = f (μ) + \sum_{n = 2}^{N} \frac{f^{(n)} (μ)}{n!} E [(x - μ)^{n}]

$E_N(f(x)) = f(\mu) + \sum_{n=2}^{N} \frac{f^{(n)}(\mu)}{n!}E\left[(x - \mu)^n\right]$

คำถามของฉันคือ: ภายใต้เงื่อนไขใดที่ตัวแปรสุ่ม (และอะไรเพิ่มเติมใน $f(\cdot)$ เช่นกัน) การประมาณความคาดหวังมาบรรจบกันเมื่อฉันเพิ่มคำศัพท์ (เช่น $\lim\limits_{N\to\infty}E_N(f(x)) = E(f(x))$ )

เนื่องจากมันไม่ปรากฏว่ามาบรรจบกันสำหรับกรณีของฉัน (ตัวแปรสุ่มปัวซองและ $f(x) = x^{\alpha}$ ) มีเทคนิคอื่น ๆ สำหรับการค้นหาความคาดหวังโดยประมาณด้วยช่วงเวลาจำนวนเต็มเมื่อเงื่อนไขเหล่านี้ล้มเหลวหรือไม่?

expected-value approximation

— jlperla
แหล่งที่มา

ดูที่นี่: stats.stackexchange.com/questions/70490/…

— Jonathan

@ โจนาธานขอบคุณ ดูการแก้ไขของฉันทันทีว่าการแก้ไขชัดเจนขึ้น มีประโยชน์มาก แต่ฉันก็ไม่สามารถแยกได้ จากนี้ดูเหมือนว่าเงื่อนไขเพียงพอสำหรับการทำงานนี้คือตัวแปรสุ่มของฉันเข้มข้นอย่างยิ่ง? แม้ว่าฉันจะมีปัญหาในการถอดรหัสว่าจะใช้ความไม่เท่าเทียมกันของ Hoeffding อย่างไรเพื่อเปรียบเทียบกับบันทึกเหล่านี้

— jlperla

คุณหมายถึงอะไร "ตัวแปรสุ่มปัวซองและ " นั่นคือหนึ่งหรือสองกรณีและ pdf คืออะไร?

f (x) = x^{α}

$f(x)=x^α$

— Carl

@Carl นี้เป็นไม่กี่ปีหลัง แต่ถ้าผมจำได้ว่าตัวแปรคือสำหรับบางกับ PDF จากen.wikipedia.org/wiki/Poisson_distribution ว่าเป็นฟังก์ชั่นที่ผมกำลังคาดหวังมากกว่า ie

x \sim P o i s s o n (λ)

$x \sim Poisson(\lambda)$

λ

$\lambda$

f (x)

$f(x)$

E (f (x))

$E(f(x))$

— jlperla

ไม่แน่ใจในสิ่งที่คุณถาม เวลาที่สูงขึ้นของการกระจายปัวซงเกี่ยวกับต้นกำเนิดคือพหุนามประกอบด้วย Touchard ใน :ซึ่ง {braces} แสดงถึงตัวเลข Stirling ของชนิดที่สอง?

m_{k}

$m_k$

λ

$\lambda$

m_{k} = \sum_{i = 0}^{k} λ^{i} {\begin{matrix} k \\ i \end{matrix}},

$m_k = \sum_{i=0}^k \lambda^i \left\{\begin{matrix} k \\ i \end{matrix}\right\},$

— Carl

คำตอบ:

จากสมมติฐานของคุณว่าคือการวิเคราะห์จริง ลู่เกือบแน่นอน (ในความเป็นจริงแน่นอน) เพื่อ(x) $f$

y_{n} = f (μ) + f^{'} (μ) (x - μ) + f^{″} (μ) \frac{(x - μ)^{2}}{2!} + \dots + f^{(n)} (μ) \frac{(x - μ)^{n}}{n!}

$y_n = f(\mu) + f'(\mu)(x - \mu) + f''(\mu)\frac{(x - \mu)^2}{2!} + \ldots + f^{(n)}(\mu)\frac{(x - \mu)^n}{n!}$

f (x)

$f(x)$

เงื่อนไขมาตรฐานที่ซึ่งการบรรจบหมายถึงการลู่ของความคาดหวังคือ คือ thatเป็นบางเช่นที่<\ (ทฤษฎีบทการลู่เข้าครอบงำ)

E [f (x)] = E [lim_{n \to \infty} y_{n}] = lim_{n \to \infty} E [y_{n}],

$E[f(x)] = E [ \lim_{n \rightarrow \infty} y_n] = \lim_{n \rightarrow \infty} E [y_n],$

| y_{n} | \leq y

$|y_n| \leq y$

y

$y$

E [y] < \infty

$E[y] < \infty$

เงื่อนไขนี้จะคงอยู่ถ้าชุดพลังงานรวมกันอย่างแน่นอนเช่น และ

y = \sum_{n \geq 0} | f^{(n)} (μ) | \frac{| x - μ |^{n}}{n!} < \infty a . s .

$y = \sum_{n \geq 0} |f^{(n)}(\mu)| \, \frac{|x - \mu|^n}{n!} < \infty \;\; a.s.$

E [y] < \infty .

$E[y] < \infty.$

ตัวอย่างของตัวแปรสุ่มของปัวซองและ ,จะแนะนำว่าการรวมตัวกันของเกณฑ์ขีด จำกัด สัมบูรณ์ข้างต้นนั้นเป็นจุดอ่อนที่สุดโดยทั่วไป $f(x)=x^{\alpha}$ $\alpha \notin\mathbb{Z}_+$

— ไมเคิล
แหล่งที่มา

-1

การประมาณจะมาบรรจบกันหากฟังก์ชั่น f (x) ยอมรับการขยายตัวของอนุกรมกำลังเช่นอนุพันธ์ทั้งหมดที่มีอยู่ นอกจากนี้ยังจะประสบความสำเร็จอย่างสมบูรณ์หากอนุพันธ์ของเกณฑ์เฉพาะและสูงกว่ามีค่าเท่ากับศูนย์ คุณสามารถอ้างถึง Populis [3-4] และ Stark and Woods [4]

— E. Mehrban
แหล่งที่มา

"มันจะสำเร็จได้อย่างสมบูรณ์หากอนุพันธ์ของเกณฑ์เฉพาะและสูงกว่าเท่ากับศูนย์" ถ้าอนุพันธ์มีอยู่และมีค่าเท่ากับศูนย์นั่นเป็นอีกวิธีในการบอกพหุนาม

— สะสม

นี่ไม่เป็นความจริง. เมื่อ "มีอนุพันธ์ทั้งหมด" ที่จุดของการขยายตัวของซีรีส์พาวเวอร์ซีรี่ย์ไม่จำเป็นต้องมาบรรจบกันที่ใด (ตัวอย่างมาตรฐานคือชุด Maclaurin ของ ) อีกอย่างคือแม้ว่าชุดจะมาบรรจบกันในบางจุดก็ไม่จำเป็นต้องมาบรรจบกันทุกที่ ตัวอย่างง่ายๆคือชุด Maclaurinเมื่อสิ่งนั้นเกิดขึ้นการลู่ขึ้นอยู่กับรายละเอียดของตัวแปรสุ่ม ตัวอย่างเช่นสมมติว่ามีการแจกแจงแบบนักศึกษาใด ๆ และพิจารณาในที่สุดไม่มีอยู่จริง!

e^{- 1 / x^{2}} .

$e^{-1/x^2}.$

1 / (1 - x) .

$1/(1-x).$

X

$X$

1 / (1 - X) = 1 + X + X^{2} + \dots + X^{n} + \dots .

$1/(1-X)=1+X+X^2+\cdots+X^n+\cdots.$

E (X^{n})

$E(X^n)$

— whuber