เหตุใด CDF ของตัวอย่างกระจายอย่างสม่ำเสมอ

ฉันอ่านที่นี่ที่ได้รับตัวอย่างจากการกระจายอย่างต่อเนื่องกับ cdfตัวอย่างที่สอดคล้องกับเป็นไปตามการแจกแจงแบบมาตรฐาน $X_1,X_2,...,X_n$ $F_X$ $U_i = F_X(X_i)$

ฉันตรวจสอบสิ่งนี้โดยใช้แบบจำลองเชิงคุณภาพใน Python และฉันสามารถตรวจสอบความสัมพันธ์ได้อย่างง่ายดาย

import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.stats

xs = scipy.stats.norm.rvs(5, 2, 10000)

fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(9, 3))
axes[0].hist(xs, bins=50)
axes[0].set_title("Samples")
axes[1].hist(
    scipy.stats.norm.cdf(xs, 5, 2),
    bins=50
)
axes[1].set_title("CDF(samples)")

ส่งผลให้พล็อตต่อไปนี้:

พล็อตแสดงตัวอย่างของการแจกแจงแบบปกติและ cdf ของตัวอย่าง

ฉันไม่สามารถเข้าใจได้ว่าทำไมสิ่งนี้จึงเกิดขึ้น ฉันถือว่ามันเกี่ยวข้องกับคำจำกัดความของ CDF และเป็นความสัมพันธ์กับ PDF แต่ฉันขาดอะไรไป ...

ฉันจะขอบคุณถ้ามีคนชี้ให้ฉันอ่านเรื่องหรือช่วยให้ฉันได้สัญชาตญาณในเรื่อง

แก้ไข: CDF มีลักษณะเช่นนี้:

CDF ของการกระจายตัวอย่าง

— Maxime Tremblay
แหล่งที่มา

คำนวณ CDF ของ(X)

F_{X} (X)

$F_X(X)$

— Zhanxiong

คุณจะพบหลักฐานของคุณสมบัตินี้ (สำหรับ rv ต่อเนื่อง) ในหนังสือใด ๆ เกี่ยวกับการจำลองเนื่องจากนี่เป็นพื้นฐานของวิธีการจำลอง cdf แบบผกผัน

— ซีอาน

ลองใช้การแปลงความน่าจะเป็นแบบอินทิกรัลของ

— Zachary Blumenfeld

@ ซีอานมันเป็นสิ่งที่ดีที่จะชี้ให้เห็นข้อสรุปถือเฉพาะสำหรับตัวแปรสุ่มอย่างต่อเนื่อง บางครั้งผลลัพธ์นี้ถูกใช้อย่างไม่เหมาะสมสำหรับตัวแปรสุ่มที่ไม่ต่อเนื่อง ในอีกทางหนึ่งทราบอีกหลายบทพิสูจน์ที่เกี่ยวข้องกับขั้นตอนซึ่งถือว่าเข้มงวด monotonicity ของซึ่งก็คือ สมมติฐานที่แข็งแกร่งเกินไป ลิงค์ต่อไปนี้ให้สรุปอย่างเข้มงวดในหัวข้อนี้: people.math.ethz.ch/~embrecht/ftp/generalized_inverse.pdf

P (F (X) \leq x) = P (X \leq F^{- 1} (x))

$P(F(X) \leq x) = P(X \leq F^{-1}(x))$

F

$F$

— Zhanxiong

@Zhanxiong เงื่อนไขเดียวที่จำเป็นสำหรับคือมันคือcàdlàg

F

$F$

— AdamO

คำตอบ:

สมมติว่านั้นต่อเนื่องและเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ กำหนดและทราบว่าใช้เวลาค่าใน1] จากนั้น $F_X$ $Z = F_X(X)$ $Z$ $[0, 1]$

F_{Z} (x) = P (F_{X} (X) \leq x) = P (X \leq F_{X}^{- 1} (x)) = F_{X} (F_{X}^{- 1} (x)) = x .

$F_Z(x) = P(F_X(X) \leq x) = P(X \leq F_X^{-1}(x)) = F_X(F_X^{-1}(x)) = x.$

ในทางกลับกันถ้าเป็นตัวแปรสุ่มแบบสม่ำเสมอที่รับค่าใน , $U$ $[0, 1]$

F_{U} (x) = \int_{R} f_{U} (u) d u = \int_{0}^{x} d u = x .

$F_U(x) = \int_R f_U(u)\,du =\int_0^x \,du =x.$

ดังนั้นสำหรับทุก1] $F_Z(x) = F_U(x)$ $x\in[0, 1]$

— Hunaphu
แหล่งที่มา

มันเป็นไปตามที่ Z มีการกระจายแบบสม่ำเสมอ (0, 1) หรือไม่?

— สถิติแม่มด

@StatsSorceress ใช่คุณพูดถูก มีการแจกแจงแบบสม่ำเสมอมาตรฐานใน

Z

$Z$

(0, 1) .

$(0,1).$

— Idonknow

สังหรณ์ใจบางทีมันอาจจะทำให้ความรู้สึกที่จะคิดว่าเป็นฟังก์ชันเปอร์เซ็นต์เช่นของกลุ่มตัวอย่างที่สร้างแบบสุ่มจาก DFคาดว่าจะลดลงต่ำกว่าxอีกทางหนึ่ง(คิดว่าภาพผกผันไม่ใช่ฟังก์ชันผกผันที่เหมาะสมต่อ se ) คือฟังก์ชัน "quantile" นั่นคือคือจุดด้านหลังซึ่งอยู่ในสัดส่วนของตัวอย่าง องค์ประกอบการทำงานเป็นวัดสับเปลี่ยนF $F(x)$ $F(x)$ $F$ $x$ $F^{-1}$ $x = F^{-1}(p)$ $x$ $p$ $F \circ F^{-1} =_\lambda F^{-1} \circ F$

การแจกแจงแบบสม่ำเสมอเป็นการกระจายตัวแบบเดียวที่มีฟังก์ชันควอนไทล์เท่ากับฟังก์ชันเปอร์เซ็นไทล์: มันคือฟังก์ชันตัวตน พื้นที่ภาพจึงเท่ากับพื้นที่ความน่าจะเป็น แมปตัวแปรสุ่มต่อเนื่องไปยังพื้นที่ (0, 1) ด้วยการวัดที่เท่ากัน เนื่องจากสองเปอร์เซนต์, , เรามี $F$ $a < b$ $P(F^{-1}(a) < x < F^{-1}(b)) = P(a < F(X) < b) = b-a$

— Adamo
แหล่งที่มา

ฉันพยายามเป็นเวลาหลายชั่วโมง แต่ในที่สุดก็คลิกว่าทำไมตัวแปรสุ่มที่ได้รับมีการกระจายอย่างสม่ำเสมอ คำตอบของคุณช่วยได้จริงๆขอบคุณมาก ดูเหมือนเป็นอย่างมากในพีชคณิตโดยที่ 1 คือเอกลักษณ์ของการคูณ

Y = F (X)

$Y = F(X)$

— Aditya P