ทำไมระบบการให้คะแนน Elo ใช้กฎการอัปเดตที่ไม่ถูกต้อง

ระบบการจัดระดับ Elo ใช้อัลกอริธึมการลดความลาดชันแบบลาดชันของฟังก์ชั่นการสูญเสียข้ามเอนโทรปีระหว่างความน่าจะเป็นที่คาดหวังและที่สังเกตได้ของผลลัพธ์ในการเปรียบเทียบแบบคู่ เราสามารถเขียนฟังก์ชั่นการสูญเสียทั่วไปเป็น

E = - \sum_{n, i} p_{i} L o g (q_{i})

$E=-\sum_{n,i} p_i Log (q_i)$

ที่ผลรวมจะดำเนินการมากกว่าผลลัพธ์และฝ่ายตรงข้ามทั้งหมดn คือความถี่ที่สังเกตได้ของเหตุการณ์และถึงความถี่ที่คาดหวัง $i$ $n$ $p_i$ $_i$ $q_i$

ในกรณีที่มีเพียงสองผลลัพธ์ที่เป็นไปได้ (ชนะหรือหลวม) และหนึ่งฝ่ายตรงข้ามที่เรามี

E = - พี L โอ ก. (Q) - (1 - พี) L โอ ก. (1 - Q)

$E=-p Log (q)-(1-p)Log(1-q)$

ถ้าคืออันดับของผู้เล่นและคืออันดับของผู้เล่นเราสามารถสร้างความน่าจะเป็นที่คาดหวังในฐานะ จากนั้นกฎการอัพเดทลาดลงทางลาดชัน $\pi_i$ $i$ $\pi_j$ $j$

Q_{ผม} = \frac{{อี}^{π_{ผม}}}{{อี}^{π_{ผม}} + {อี}^{π_{J}}}

$q_i=\frac{e^{\pi_i}}{e^{\pi_i}+e^{\pi_j}}$

Q_{J} = \frac{{อี}^{π_{J}}}{{อี}^{π_{ผม}} + {อี}^{π_{J}}}

$q_j=\frac{e^{\pi_j}}{e^{\pi_i}+e^{\pi_j}}$

π_{ผม}^{'} = π_{ผม} - η (Q_{ผม} - {พี}_{ผม})

$\pi_i'=\pi_i-\eta (q_i-p_i)$

π_{J}^{'} = π_{J} - η (Q_{J} - {พี}_{J})

$\pi_j'=\pi_j-\eta (q_j-p_j)$

ที่และจะคาดหวังและความน่าจะเป็นที่สังเกตของการชนะของผู้เล่นที่กับผู้เล่นที่ jนี่คือกฎการอัพเดท $q_i$ $p_i$ $i$ $j$ two outcomes

ในการปรากฏตัวของการจับเราสามารถสรุปโมเดลข้างต้นรวมถึงและผลลัพธ์ที่สามด้วยความน่าจะเป็น

Q (d) = \frac{ν {อี}^{\frac{π_{ผม} + π_{J}}{2}}}{{อี}^{π_{ผม}} + {อี}^{π_{J}} + ν {อี}^{\frac{π_{ผม} + π_{J}}{2}}}

$q(d)=\frac{\nu e^{\frac{\pi_i+\pi_j}{2}}}{e^{\pi_i}+e^{\pi_j}+\nu e^{\frac{\pi_i+\pi_j}{2}}}$

Q_{ผม} (W) = \frac{{อี}^{π_{ผม}}}{{อี}^{π_{ผม}} + {อี}^{π_{J}} + ν {อี}^{\frac{π_{ผม} + π_{J}}{2}}}

$q_i(w)=\frac{ e^{\pi_i}}{e^{\pi_i}+e^{\pi_j}+\nu e^{\frac{\pi_i+\pi_j}{2}}}$

Q_{J} (W) = \frac{{อี}^{π_{J}}}{{อี}^{π_{ผม}} + {อี}^{π_{J}} + ν {อี}^{\frac{π_{ผม} + π_{J}}{2}}}

$q_j(w)=\frac{ e^{\pi_j}}{e^{\pi_i}+e^{\pi_j}+\nu e^{\frac{\pi_i+\pi_j}{2}}}$

และเราสามารถสร้างฟังก์ชั่นการสูญเสียเป็น

E = - พี (W) L โอ ก. (Q (W)) - (1 - พี (W) - พี (d)) L โอ ก. (Q (ล.)) - พี (d) L โอ ก. (Q (d))

$E=-p(w)Log(q(w))-(1-p(w)-p(d))Log(q(l))-p(d)Log(q(d))$

$p(w),p(l),p(d)$ winloosedraw $q(w),q(l),q(d)$ winloosedraw

π_{ผม}^{'} = π_{ผม} - η (Q_{ผม} (W) + \frac{Q_{ผม} (d)}{2} - {พี}_{ผม} (W) - \frac{{พี}_{ผม} (d)}{2})

$\pi_i'=\pi_i-\eta (q_i(w)+\frac{q_i(d)}{2}-p_i(w)-\frac{p_i(d)}{2})$

π_{J}^{'} = π_{J} - η (Q_{J} (W) + \frac{Q_{J} (d)}{2} - {พี}_{J} (W) - \frac{{พี}_{J} (d)}{2})

$\pi_j'=\pi_j-\eta (q_j(w)+\frac{q_j(d)}{2}-p_j(w)-\frac{p_j(d)}{2})$

$q_j(w)$ $q_j(d)$ $i$ $j$ $p_i(w)$ $p_i(d)$ $i$ $j$ three outcome

คำถามคือทำไมระบบการจัดเรตของ Elo จึงใช้two outcomesกฎการอัปเดตแม้จะมีการเสมอ

regression optimization rating

— มานูเอล
แหล่งที่มา

ความน่าจะเป็นของการวาดภาพซึ่งต่างจากการมีผลลัพธ์ที่เด็ดขาดไม่ได้ระบุไว้ในระบบ Elo การจับสลากจะพิจารณาทั้งในผลการแข่งขันที่คาดหวังและผลการแข่งขันครึ่งชนะและแพ้ครึ่ง

ตัวอย่างจากหน้า Elo ใน Wikipedia : "คะแนนที่คาดหวังของผู้เล่นคือความน่าจะเป็นที่จะชนะและครึ่งหนึ่งเป็นไปได้ของการวาดดังนั้นคะแนนที่คาดไว้ที่ 0.75 สามารถแสดงถึงโอกาส 75% ในการชนะโอกาส 25% แพ้และโอกาส 0% ของการวาดภาพในสุดโต่งอื่น ๆ มันอาจเป็นตัวแทนของโอกาส 50% ในการชนะโอกาสในการแพ้ 0% และโอกาสในการวาด 50% "

two outcome $R_A^\prime = R_A + K(S_A - E_A)$ $S_A=1 \cdot (n_w + 0.5 \cdot n_d ) + 0 \cdot (0.5 \cdot n_d + n_l)$ $S_A=1$ $S_A=0.5$ $S_A=0$

เช่นเดียวกับ Elo ระบบ Glicko ไม่ได้วาดรูปแบบ แต่ทำการอัปเดตตามค่าเฉลี่ยของการชนะและการสูญเสีย (ต่อผู้เล่น) แต่ในระบบการจัดอันดับTrueSkill "การจับสลากเป็นแบบจำลองโดยสมมติว่าความแตกต่างของประสิทธิภาพในเกมนั้น ๆ มีขนาดเล็กดังนั้นโอกาสในการวาดขึ้นอยู่กับความแตกต่างของความแข็งแกร่งในการเล่นของผู้เล่นสองคนอย่างไรก็ตามการค้นพบเชิงประจักษ์ในเกม การแสดงหมากรุกที่มีโอกาสดึงดูดระหว่างผู้เล่นมืออาชีพมากกว่าผู้เริ่มต้นดังนั้นโอกาสในการวาดก็ดูเหมือนจะขึ้นอยู่กับระดับความสามารถ "

วิธีนี้ต้องใช้เฉพาะที่แตกต่างกันการสร้างแบบจำลองสำหรับทุกเกม (และ TrueSkill ถูกนำไปใช้ไม่กี่เกมของ Microsoft Xbox) ดังนั้นจึงเหมาะในอีโลและ Glicko (ออกแบบมาเฉพาะสำหรับหมากรุก) และมันไม่ได้สำหรับrankade , ระบบการจัดอันดับของเราอเนกประสงค์

— โทมาโซเนริ
แหล่งที่มา

'คะแนนที่คาดหวังของผู้เล่นคือความน่าจะเป็นของเขาในการชนะ เป็นสิ่งที่ฉันพบในสูตรด้านบน อย่างไรก็ตามในสูตรอัปเดต Elolo ไม่ได้ระบุความน่าจะเป็นครึ่งหนึ่งของการเสมอในขณะที่คุณกำลังชี้ให้เห็น คำถามยังคงอยู่ทำไมในระบบการจัดอันดับ Elo เราไม่สนใจเกี่ยวกับการดึง?

— emanuele

คุณสามารถแสดงคะแนนที่คาดหวังได้เสมอว่าเป็นโอกาสในการชนะและโอกาสในการแพ้ (และไม่มีโอกาสในการจั่ว - ดูตัวอย่างแรกจาก Wikipedia) ในกรณีนี้ 'คะแนนที่คาดหวังของผู้เล่นคือความน่าจะเป็นของเขาที่จะชนะ' (และอีกมากมายเนื่องจากความน่าจะเป็นครึ่งหนึ่งของการวาดภาพเป็นศูนย์) หลังจากการแข่งขันครั้งเดียวผลลัพธ์ที่ได้คือการชนะหรือแพ้หรือชนะครึ่ง แม้ว่าคุณจะมีเกมที่อนุญาตให้เสมอคุณสามารถอัปเดตคะแนน Elo โดยใช้การผสมผสานระหว่างการชนะและการแพ้ราวกับว่าเสมอไม่มีโอกาส

— Tomaso Neri