ตัวแปรสุ่มขึ้นอยู่กับ

เราสามารถพูดอะไรเกี่ยวกับการพึ่งพาของตัวแปรสุ่มและฟังก์ชันของตัวแปรสุ่มได้หรือไม่? ตัวอย่างเช่น$X^2$ขึ้นอยู่กับ$X$ ?

นี่คือหลักฐานการแสดงความคิดเห็นของ @ cardinal โดยมีการบิดเล็กน้อย ถ้าและf ( X )เป็นอิสระจากนั้น P ( X ∈ A ∩ f - 1 ( B ) ) = P ( X ∈ A , f ( X ) ∈ B $X$$f(X)$ การA=f-1(B)ให้ผลสมการ P(f(X)∈B)=P(f(X)∈B)2, ซึ่งมีสองโซลูชั่น 0 และ 1 ดังนั้นP(F(X

$$\begin{array}{lcl} P(X \in A \cap f^{-1}(B)) & = & P(X \in A, f(X) \in B) \\ & = & P(X \in A) P(f(X) \in B) \\ & = & P(X \in A) P(X \in f^{-1}(B)) \end{array}$$ $A = f^{-1}(B)$ $$P(f(X) \in B) = P(f(X) \in B)^2,$$ สำหรับทุกB โดยทั่วไปแล้วไม่สามารถพูดได้มากกว่านี้ หาก Xและ f ( X )เป็นอิสระจากนั้น f ( X )เป็นตัวแปรเช่นนั้นสำหรับ Bใด ๆ ที่เป็น Bหรือ B c ที่มีความน่าจะเป็น 1 หากต้องการพูดมากกว่านี้เราต้องการสมมติฐานที่มากขึ้นเช่นชุด singleton { b }สามารถวัดได้$P(f(X) \in B) \in \{0, 1\}$$B$$X$$f(X)$$f(X)$$B$$B$$B^c$$\{b\}$

อย่างไรก็ตามรายละเอียดในระดับทฤษฏีการวัดดูเหมือนจะไม่เป็นปัญหาหลักของ OP ถ้าเป็นจริงและfเป็นฟังก์ชันจริง (และเราใช้ Borel σ - พีชคณิตพูด) จากนั้นรับB = ( - ∞ , b ]ตามด้วยฟังก์ชั่นการแจกแจงสำหรับการแจกแจงf ( X )ใช้เพียง ค่า 0 และ 1 ดังนั้นจึงมีbที่มันกระโดดจาก0ถึง1และP ( f ( X ) = b ) = $X$$f$$\sigma$$B = (-\infty, b]$$f(X)$$b$$0$$1$$P(f(X) = b) = 1$.

ในตอนท้ายของวันคำตอบของคำถาม OPs คือโดยทั่วไปแล้วและf ( X )ขึ้นอยู่กับสถานการณ์และเป็นอิสระเฉพาะในสถานการณ์ที่พิเศษมาก ยิ่งกว่านั้นการวัด Dirac δ f ( x )จะมีคุณสมบัติเสมอสำหรับการแจกแจงแบบมีเงื่อนไขของf ( X ) ที่ให้X = xซึ่งเป็นวิธีที่เป็นทางการในการบอกว่ารู้X = xแล้วคุณก็รู้ว่าf ( X $X$$f(X)$$\delta_{f(x)}$$f(X)$$X = x$$X = x$$f(X)$คือ. รูปแบบพิเศษของการพึ่งพาอาศัยกันกับการแจกแจงแบบเงื่อนไขแบบถดถอยนี้เป็นคุณลักษณะสำหรับฟังก์ชันของตัวแปรสุ่ม

เล็มม่า : ให้เป็นตัวแปรสุ่มและปล่อยให้fเป็นฟังก์ชัน (วัดค่าได้ของเบเรล) เช่นที่Xและf ( X )มีความเป็นอิสระ จากนั้นf ( X )คงที่เกือบแน่นอน นั่นคือมีบาง∈ Rดังกล่าวว่าP ( F ( X ) = ) = 1$X$$f$$X$$f(X)$$f(X)$$a \in \mathbb R$$\mathbb P(f(X) = a) = 1$

หลักฐานอยู่ด้านล่าง; แต่ก่อนอื่นพูดบางอย่าง การวัดค่าโบเรลเป็นเพียงเงื่อนไขทางเทคนิคเพื่อให้แน่ใจว่าเราสามารถกำหนดความน่าจะเป็นได้อย่างสมเหตุสมผลและสอดคล้องกัน คำสั่ง "เกือบจะแน่นอน" ก็เป็นเพียงเทคนิค

สาระสำคัญของการแทรกคือว่าถ้าเราต้องการและF ( X )ที่จะเป็นอิสระแล้วผู้สมัครของเราเท่านั้นที่มีฟังก์ชั่นในรูปแบบF ( x ) $X$$f(X)$$f(x) = a$

คมชัดนี้กับกรณีของฟังก์ชั่นดังกล่าวว่าXและF ( X )มีuncorrelated นี้เป็นมากมากสภาพอ่อนแอ ที่จริงให้พิจารณาตัวแปรสุ่มXใด ๆ ที่มีค่าเฉลี่ยเป็นศูนย์, จำกัด ช่วงเวลาที่สามแน่นอนแน่นอน รับf ( x ) = x 2ดังตัวอย่างในคำถาม จากนั้นC o v ( X , f ( X ) ) = E X f $f$$X$$f(X)$$X$$f(x) = x^2$ดังนั้น Xและ f ( X ) = X 2ไม่ได้ถูกนำมาเชื่อมโยงกัน$\mathrm{Cov}(X,f(X)) = \mathbb E Xf(X) = \mathbb E X^3 = 0$$X$$f(X) = X^2$

ด้านล่างฉันแสดงหลักฐานที่ง่ายที่สุดที่ฉันสามารถหาได้สำหรับบทแทรก ฉันได้ทำให้มันverbose เหลือเกินเพื่อให้รายละเอียดทั้งหมดชัดเจนที่สุด หากใครเห็นวิธีในการปรับปรุงหรือทำให้มันง่ายขึ้นฉันจะเพลิดเพลินไปกับการรู้

Idea of proof: Intuitively, if we know $X$, then we know $f(X)$. So, we need to find some event in $\sigma(X)$, the sigma algebra generated by $X$, that relates our knowledge of $X$ to that of $f(X)$. Then, we use that information in conjunction with the assumed independence of $X$ and $f(X)$ to show that our available choices for $f$ have been severely constrained.

Proof of lemma: Recall that $X$ and $Y$ are independent if and only if for all $A \in \sigma(X)$ and $B \in \sigma(Y)$, $\renewcommand{\Pr}{\mathbb P}\Pr(X \in A, Y \in B) = \Pr(X \in A) \Pr(Y \in B)$. Let $Y = f(X)$ for some Borel measurable function $f$ such that $X$ and $Y$ are independent. Define $\newcommand{\o}{\omega}A(y) = \{\o: f(X(\o)) \leq y\}$. Then,

$$A(y) = \{\o: X(\o) \in f^{-1}((-\infty,y])\}$$ and since $(-\infty,y]$ is a Borel set and $f$ is Borel-measurable, then $f^{-1}((-\infty,y])$ is also a Borel set. This implies that $A(y) \in \sigma(X)$ (by definition(!) of $\sigma(X)$).

Since $X$ and $Y$ are assumed independent and $A(y) \in \sigma(X)$, then

$$\Pr(X \in A(y), Y \leq y) = \Pr(X \in A(y)) \Pr(Y \leq y) = \Pr(f(X) \leq y) \Pr(f(X) \leq y) \>,$$ and this holds for all $y \in \mathbb R$. But, by definition of $A(y)$ $$\Pr(X \in A(y), Y \leq y) = \Pr(f(X) \leq y, Y \leq y) = \Pr(f(X) \leq y) \> .$$ Combining these last two, we get that for every $y \in \mathbb R$, $$\Pr(f(X) \leq y) = \Pr(f(X) \leq y) \Pr(f(X) \leq y) \>,$$ so $\Pr(f(X) \leq y) = 0$ or $\Pr(f(X) \leq y) = 1$. This means there must be some constant $a \in \mathbb R$ such that the distribution function of $f(X)$ jumps from zero to one at $a$. In other words, $f(X) = a$ almost surely.

NB: Note that the converse is also true by an even simpler argument. That is, if $f(X) = a$ almost surely, then $X$ and $f(X)$ are independent.