ค้นหา MVUE ที่ไม่เหมือนใคร

คำถามนี้มาจากปัญหาเบื้องต้นทางคณิตศาสตร์รุ่นที่ 6 ของ Robert Hogg 7.4.9 ที่หน้า 388

Let $X_1,...,X_n$ จะ IID กับไฟล์ PDF $f(x;\theta)=1/3\theta,-\theta<x<2\theta,$ ศูนย์อื่น ๆ ที่ $\theta>0$ 0

(ก) การค้นหา MLE ของ $\hat{\theta}$ $\theta$

(ข) คือสถิติเพียงพอสำหรับ ? ทำไม $\hat{\theta}$ $\theta$

(ค) คือ $(n+1)\hat{\theta}/n$ MVUE เอกลักษณ์ของ $\theta$ ? ทำไม

ฉันคิดว่าฉันสามารถแก้ไข (a) และ (b) ได้ แต่ฉันสับสนโดย (c)

สำหรับ):

Let $Y_1<Y_2<...Y_n$ เป็นสถิติการสั่งซื้อ

$L(\theta;x)=\frac{1}{3\theta}\times\frac{1}{3\theta}\times...\times\frac{1}{3\theta}=\frac{1}{(3\theta)^n}$ เมื่อ $-\theta< y_1$ และ $y_n < 2\theta$ ; ที่อื่น $L(\theta;x)=0$

$\frac{dL(\theta;x)}{d\theta}=-n(3\theta)^{n-1}$ , เนื่องจาก $\theta>0$ , เราจะเห็นอนุพันธ์นี้เป็นลบ,

ดังนั้นฟังก์ชันความน่าจะเป็นจึงลดลง $L(\theta;x)$

จากและ , และ $(-\theta< y_1$ $y_n < 2\theta)$ $\Rightarrow$ $(\theta>-y_1$ $\theta>y_n/2), \Rightarrow \theta>max(-y_1,y_n/2)$

ลดลงดังนั้นเมื่อมีค่า samllest ฟังก์ชันความน่าจะเป็นจะบรรลุผลสูงสุดตั้งแต่เมื่อฟังก์ชันความน่าจะเป็นจะได้ค่าสูงสุด $L(\theta,x)$ $\theta$ $\theta>max(-y_1,y_n/2)$ $\theta=max(-y1,y_n/2)$

MLE $\therefore$ $\hat{\theta}=max(-y_1,y_n/2)$

สำหรับ (b):

$f(x_1;\theta)f(x_2;\theta)...f(x_n;\theta)=\frac{1}{(3\theta)^n}\prod_{i}^{n} I(-\theta<x_i<2\theta)=\frac{1}{(3\theta)^n}I(max(x_i)<2\theta)\times 1$

โดยทฤษฎีบทตัวประกอบของ Neyman,เป็นสถิติที่เพียงพอสำหรับθดังนั้นจึงเป็น statisitc ที่เพียงพอเช่นกัน $\therefore$ $y_n=max(x_i)$ $\theta$ $y_n/2$

Samely,

$f(x_1;\theta)f(x_2;\theta)...f(x_n;\theta)=\frac{1}{(3\theta)^n}\prod_{i}^{n} I(-\theta<x_i<2\theta)=\frac{1}{(3\theta)^n}I(min(x_i)>-\theta)\times 1$

โดยทฤษฎีบทตัวประกอบของ Neyman,เป็นสถิติที่เพียงพอสำหรับθดังนั้นจึงเป็น statisitc ที่เพียงพอเช่นกัน $\therefore$ $y_1=min(x_i)$ $\theta$ $-y_1$

สำหรับ (c):

ก่อนอื่นเราจะพบ CDF ของ $X$

$F(x)=\int_{-\theta}^{x}\frac{1}{3\theta}dt=\frac{x+\theta}{3\theta},-\theta<x<2\theta$

ต่อไปเราสามารถค้นหา pdf สำหรับทั้งและจากสูตรของหนังสือสำหรับสถิติการสั่งซื้อ $Y_1$ $Y_n$

$f(y_1)=\frac{n!}{(1-1)!(n-1)!}[F(y_1)]^{1-1}[1-F(y_1)]^{n-1}f(y_1)=n[1-\frac{y_1+\theta}{3\theta}]^{n-1}\frac{1}{3\theta}=n\frac{1}{(3\theta)^n}(2\theta-y_1)^{n-1}$

Samely,

$f(y_n)=n(\frac{y_n+\theta}{3\theta})^{n-1}\frac{1}{3\theta}=n\frac{1}{(3\theta)^n}(y_n+\theta)^{n-1}$

ต่อไปเราจะแสดงความสมบูรณ์ของตระกูล pdf สำหรับและ $f(y_1)$ $f(y_n)$

0โดย(หาอนุพันธ์อินทิกรัล) เราสามารถแสดงสำหรับทุก $E[u(Y_1)]=\int_{-\theta}^{2\theta}u(y_1)n\frac{1}{(3\theta)^n}(2\theta-y_1)^{n-1}dy_1=0 \Rightarrow \int_{-\theta}^{2\theta}u(y_1)(2\theta-y_1)dy_1=0$ $FTC$ $u(\theta)=0$ $\theta>0$ .

ดังนั้นตระกูลของ pdf จึงเสร็จสมบูรณ์ .. $Y_1$

ยังคงโดยเราสามารถแสดงให้เห็นว่าครอบครัวของไฟล์ PDF นั้นเสร็จสมบูรณ์ $FTC$ $Y_n$

ปัญหาคือตอนนี้เราต้องแสดงให้เห็นว่าไม่มีอคติ $\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}$

เมื่อ $\hat{\theta}=-y_1$

$E(-y_1)=\int_{-\theta}^{2\theta}(-y_1)\frac{n}{(3\theta)^n}(2\theta-y_1)^{n-1}dy_1=\frac{1}{(3\theta)^n}\int_{-\theta}^{2\theta}y_1d(2\theta-y_1)^n$

เราสามารถแก้ปัญหาอินทิกรัลได้โดยรวมเข้าด้วยกัน

$E(-y_1)=\frac{1}{(3\theta)^n}[y_1(2\theta-y_1)^n\mid_{-\theta}^{2\theta}-\int_{-\theta}^{2\theta}(2\theta-y_1)^ndy_1]=\frac{1}{(3\theta)^n}[\theta (3\theta)^n-\frac{(3\theta)^{n+1}}{n+1}]=\theta-\frac{3\theta}{n+1}=\frac{(n-2)\theta}{n+1}$

$\therefore E(\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n})=\frac{n+1}{n}E(-y_1)=\frac{n+1}{n}\frac{(n-2)\theta}{n+1}=\frac{n-2}{n}\theta$

ดังนั้นไม่เป็นกลาง estimator ของเมื่อ $\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}$ $\theta$ $\hat{\theta}=-y_1$

เมื่อ $\hat{\theta}=y_n/2$

$E(Y_n)=\int_{-\theta}^{2\theta}y_n\frac{n}{(3\theta)^n}(y_n+\theta)^{n-1}dy_n=\frac{1}{(3\theta)^n}\int_{-\theta}^{2\theta}y_nd(y_n+\theta)^n=\frac{1}{(3\theta)^n}[y_n(y_n+\theta)^n\mid_{-\theta}^{2\theta}-\int_{-\theta}^{2\theta}(y_n+\theta)^ndy_n]=\frac{1}{(3\theta)^n}[2\theta(3\theta)^-\frac{(3\theta)^{n+1}}{n+1}]=2\theta-\frac{3\theta}{n+1}=\frac{2n-1}{n+1}\theta$

$\therefore E(\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n})=\frac{n+1}{n}E(Y_n/2)=\frac{n+1}{2n}E(Y_n)=\frac{n+1}{2n}\frac{2n-1}{n+1}\theta=\frac{2n-1}{2n}\theta$

ยังคงไม่เป็นกลาง estimator ของเมื่อ $\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}$ $\theta$ $\hat{\theta}=y_n/2$

แต่คำตอบของหนังสือเล่มนี้คือการที่เป็น MVUE ที่ไม่ซ้ำกัน ฉันไม่เข้าใจว่าทำไมมันถึงเป็น MVUE ถ้ามันเป็นตัวประมาณค่าเอนเอียง $\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}$

หรือการจัดกลุ่มของฉันผิดโปรดช่วยฉันค้นหาข้อผิดพลาดฉันจะให้การคำนวณที่ละเอียดมากขึ้น

ขอบคุณมาก.

— ภาคเหนือตอนล่าง
แหล่งที่มา

ผมไม่เห็นว่าการคำนวณของการกระจายของใด ๆθ

\hat{θ}

$\hat\theta$

— whuber

ขอบคุณ whuber ที่

)

มันอาจเป็น

หรือ

ขึ้นอยู่กับว่าอันไหนใหญ่กว่า ผมคำนวณกระจายทั้ง

และ

คุณสามารถเห็น

\hat{θ} = m a x (- y_{1}, y_{n} / 2)

$\hat{\theta}=max(-y_1,y_n/2)$

- y_{1}

$-y_1$

y_{n} / 2

$y_n/2$

y_{1}

$y_1$

y_{n}

$y_n$

และ

f (y_{1}) = n \frac{1}{(3 θ)^{n}} (2 θ - y_{1})^{n - 1}

$f(y_1)=n\frac{1}{(3\theta)^n}(2\theta-y_1)^{n-1}$

ในข้อความ

f (y_{n}) = n \frac{1}{(3 θ)^{n}} (y_{n} + θ)^{n - 1}

$f(y_n)=n\frac{1}{(3\theta)^n}(y_n+\theta)^{n-1}$

— Deep North

และจากทั้งสองข้างต้นกระจายผมคำนวณ

และ

แล้ว

E (\hat{θ}) = E (- Y_{1})

$E(\hat{\theta})=E(-Y_1)$

E (\hat{θ}) = E (Y_{n} / 2)

$E(\hat{\theta})=E(Y_n/2)$

E (\frac{n + 1}{n} \hat{θ})

$E(\frac{n+1}{n}\hat{\theta})$

— Deep นอร์ท

การทำงานกับ extrema นั้นต้องได้รับการดูแลแต่มันก็ไม่ยาก คำถามที่สำคัญซึ่งอยู่ใกล้กับกลางโพสต์คือ

... เราต้องแสดงให้เห็นว่าเป็นกลาง $\frac{n+1}{n}{\hat \theta}^{n}$

ก่อนหน้านี้คุณได้รับ

\hat{θ} = max (- y_{1}, y_{n} / 2) = max {- min {y_{i}}, max {y_{i}} / 2} .

$\hat\theta = \max(-y_1, y_n/2) = \max\{-\min\{y_i\}, \max\{y_i\}/2\}.$

แม้ว่ารูปลักษณ์ที่ยุ่งคำนวณกลายเป็นประถมเมื่อคุณพิจารณาฟังก์ชันการแจกแจงสะสม Fในการเริ่มต้นกับเรื่องนี้ทราบว่า θให้เป็นตัวเลขที่อยู่ในช่วงนี้ ตามคำจำกัดความ $F$ $0\le \hat\theta \le \theta$ $t$

\begin{aligned} F (t) & = Pr (\hat{θ} \leq t) \\ = Pr (- y_{1} < t and y_{n} / 2 \leq t) \\ = Pr (- t \leq y_{1} \leq y_{2} \dots \leq y_{n} \leq 2 t) . \end{aligned}

$\eqalign{ F(t) &= \Pr(\hat\theta\le t) \\&= \Pr(-y_1 \lt t\text{ and }y_n/2 \le t) \\ &= \Pr(-t \le y_1 \le y_2 \cdots \le y_n \le 2t). }$

นี่เป็นโอกาสที่ทุกค่าอยู่ระหว่างและตันค่าเหล่านั้นผูกพันช่วงเวลาของความยาวตันเพราะการจัดจำหน่ายเป็นชุดน่าจะเป็นที่เฉพาะเจาะจงใด ๆอยู่ในช่วงเวลานี้เป็นสัดส่วนกับความยาวของมัน: $n$ $-t$ $2t$ $3t$ $y_i$

Pr (y_{i} \in [- t, 2 t]) = \frac{3 t}{3 θ} = \frac{t}{θ} .

$\Pr(y_i \in [-t, 2t]) = \frac{3t}{3\theta} = \frac{t}{\theta}.$

เนื่องจากเป็นอิสระความน่าจะเป็นเหล่านี้จึงเพิ่มทวีคูณ $y_i$

F (t) = {(\frac{t}{θ})}^{n} .

$F(t) = \left(\frac{t}{\theta}\right)^n.$

ความคาดหวังทันทีสามารถพบได้โดยการบูรณาการการทำงานของการอยู่รอดมากกว่าช่วงของค่าที่เป็นไปได้สำหรับ , โดยใช้สำหรับตัวแปร: $1-F$ $\hat\theta$ $[0, \theta]$ $y=t/\theta$

E (\hat{θ}) = \int_{0}^{θ} (1 - {(\frac{t}{θ})}^{n}) d t = \int_{0}^{1} (1 - y^{n}) θ d y = \frac{n}{n + 1} θ .

$\mathbb{E}(\hat\theta) = \int_0^\theta \left(1 - \left(\frac{t}{\theta}\right)^n\right)dt = \int_0^1 (1-y^n)\theta dy = \frac{n}{n+1}\theta.$

(สูตรนี้สำหรับความคาดหวังมาจากอินทิกรัลปกติผ่านการรวมกลุ่มตามส่วนต่าง ๆ รายละเอียดจะแสดงไว้ที่ส่วนท้ายของhttps://stats.stackexchange.com/a/105464 )

Rescaling โดยให้ $(n+1)/n$

E (\frac{n + 1}{n} \hat{θ}) = θ,

$\mathbb{E}\left(\frac{n+1}{n}\,{\hat \theta}\right) = \theta,$

QED

— whuber
แหล่งที่มา

มีการพิมพ์ผิดสูตรสุดท้ายคือมันควรจะเป็น

ไม่

\hat{θ}

$\hat \theta$

{\hat{θ}}^{n}

$\hat \theta^n$

— ลึกเหนือ

@ ลึกโอ้แน่นอน! ขอบคุณสำหรับการชี้ให้เห็นว่า ตอนนี้ได้รับการแก้ไขแล้ว

— whuber

ค้นหา MVUE ที่ไม่เหมือนใคร

ฉันคิดว่าฉันสามารถแก้ไข (a) และ (b) ได้ แต่ฉันสับสนโดย (c)

ปัญหาคือตอนนี้เราต้องแสดงให้เห็นว่าไม่มีอคติ(n+1)θ^n(n+1)θ^n\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}

ดังนั้นไม่เป็นกลาง estimator ของθเมื่อ θ =-ปีที่ 1(n+1)θ^n(n+1)θ^n\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}θθ\thetaθ^=−y1θ^=−y1\hat{\theta}=-y_1

ยังคงไม่เป็นกลาง estimator ของθเมื่อ θ =Yn/2(n+1)θ^n(n+1)θ^n\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}θθ\thetaθ^=yn/2θ^=yn/2\hat{\theta}=y_n/2

ปัญหาคือตอนนี้เราต้องแสดงให้เห็นว่าไม่มีอคติ $\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}$

ดังนั้นไม่เป็นกลาง estimator ของเมื่อ $\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}$ $\theta$ $\hat{\theta}=-y_1$

ยังคงไม่เป็นกลาง estimator ของเมื่อ $\frac{(n+1)\hat{\theta}}{n}$ $\theta$ $\hat{\theta}=y_n/2$