คาดว่ามูลค่าเป็นฟังก์ชั่นของ quantiles หรือไม่?

ฉันสงสัยว่ามีสูตรทั่วไปที่เกี่ยวข้องกับค่าที่คาดหวังของตัวแปรสุ่มต่อเนื่องเป็นฟังก์ชันของ quantiles ของ rv เดียวกันค่าที่คาดหวังของ rvถูกกำหนดเป็น: และ quantiles จะถูกกำหนดเป็น: สำหรับ(0,1)$X$
$E(X) = \int x dF_X(x)$$Q^p_X = \{x : F_X(x) = p \} =F_X^{-1}(p)$$p\in(0,1)$

มีอินสแตนซ์ของฟังก์ชันฟังก์ชันเช่นนั้นหรือไม่: $G$$E(X) = \int_{p\in(0,1)} G(Q^p_X) dp$

ผกผัน (ผกผันสิทธิในกรณีที่ไม่ต่อเนื่อง) ของฟังก์ชั่นการแจกแจงสะสมที่เรียกว่าฟังก์ชั่น quantile มักจะแสดง(P) ความคาดหวังสามารถให้ในแง่ของฟังก์ชั่น quantile (เมื่อความคาดหวังที่มีอยู่ ... ) เป็น สำหรับกรณีที่ต่อเนื่องสิ่งนี้สามารถแสดงให้เห็นได้ผ่านการทดแทนอย่างง่ายในอินทิกรัล: เขียน แล้วผ่านความแตกต่างโดยนัยนำไปสู่ : เราได้จากโดยใช้$F(x)$$Q(p)=F^{-1}(p)$$\mu$

$$\mu=\int_0^1 Q(p)\; dp$$ $$\mu = \int x f(x) \; dx$$ $p=F(x)$$dp = f(x) \; dx$ $$\mu = \int x \; dp = \int_0^1 Q(p) \; dp$$ $x=Q(p)$$p=F(x)$$Q$ ทั้งสองด้าน.