เหตุผลทางสถิติของการแก้ไขคืออะไร?

สมมติว่าเรามีสองจุด (รูปต่อไปนี้: วงกลมสีดำ) และเราต้องการหาค่าสำหรับจุดที่สามระหว่างพวกเขา (ข้าม) อันที่จริงเราจะประมาณโดยอ้างอิงจากผลการทดลองของเราจุดดำ กรณีที่ง่ายที่สุดคือการวาดเส้นแล้วหาค่า (เช่นการแก้ไขเชิงเส้น) หากเรามีจุดรองรับเช่นจุดสีน้ำตาลในทั้งสองด้านเราต้องการได้รับประโยชน์จากพวกเขาและพอดีกับเส้นโค้งที่ไม่ใช่เชิงเส้น (เส้นโค้งสีเขียว)

คำถามคืออะไรคือเหตุผลเชิงสถิติในการทำเครื่องหมายกากบาทสีแดงเป็นวิธีการแก้ปัญหา? เหตุใดไม้กางเขนอื่น (เช่นสีเหลือง) จึงไม่ได้รับคำตอบว่าจะเป็นได้อย่างไร การอนุมานหรือ (?) ผลักเราให้ยอมรับสีแดง

ฉันจะพัฒนาคำถามเดิมของฉันตามคำตอบที่ได้รับสำหรับคำถามง่ายๆนี้

ฟังก์ชั่นรูปแบบใด ๆ ที่เหมาะสมแม้ไม่ใช่พารามิเตอร์ (ซึ่งโดยทั่วไปแล้วจะทำให้สมมติฐานเกี่ยวกับความนุ่มนวลของเส้นโค้งที่เกี่ยวข้อง) เกี่ยวข้องกับการสันนิษฐานและทำให้เกิดความเชื่อมั่น

วิธีการแก้ไขเชิงเส้นแบบโบราณนั้นเป็น 'ที่ใช้งานได้' เมื่อข้อมูลที่คุณมีนั้นละเอียดพอเพียง (ถ้าคุณดูที่วงกลมใกล้พอมันดูแบนเหมือนกัน - แค่ถามโคลัมบัส) และทำได้แม้กระทั่ง ก่อนยุคคอมพิวเตอร์ (ซึ่งไม่ใช่ในกรณีของการแก้ปัญหาในยุคปัจจุบันจำนวนมาก) มันสมเหตุสมผลที่จะถือว่าความเชื่อที่ว่าฟังก์ชั่นจะ 'ดำเนินการต่อในเรื่องเดียวกัน (เช่นเชิงเส้น) ระหว่างจุดสองจุด แต่ไม่มีเหตุผลเบื้องต้นสำหรับสิ่งนี้ (ยกเว้นความรู้เกี่ยวกับแนวคิดที่อยู่ในมือ)

มันจะกลายเป็นชัดเจนอย่างรวดเร็วเมื่อคุณมีจุด noncolinear สามจุด (หรือมากกว่า) (เช่นเมื่อคุณเพิ่มจุดสีน้ำตาลด้านบน) การประมาณเชิงเส้นระหว่างแต่ละจุดจะเกี่ยวข้องกับมุมที่แหลมในแต่ละจุดซึ่งโดยทั่วไปไม่ต้องการ นั่นคือที่ตัวเลือกอื่น ๆ กระโดดเข้ามา

อย่างไรก็ตามไม่มีโดเมนความรู้เพิ่มเติมไม่มีวิธีที่จะระบุด้วยความมั่นใจว่าทางออกหนึ่งจะดีกว่าวิธีอื่น (สำหรับนี้คุณจะต้องรู้ว่าค่าของจุดอื่น ๆ คือการเอาชนะวัตถุประสงค์ของการปรับฟังก์ชั่นใน ที่แรก).

ในด้านที่สว่างสดใสและอาจเกี่ยวข้องกับคำถามของคุณมากขึ้นภายใต้ 'เงื่อนไขปกติ' (อ่าน: สมมติฐาน : หากเรารู้ว่าฟังก์ชั่นนั้นราบรื่นเช่นกัน) ทั้งการแก้ไขเชิงเส้นและการแก้ปัญหายอดนิยมอื่น ๆ สามารถพิสูจน์ได้ว่า 'สมเหตุสมผล' ใกล้เคียง ถึงกระนั้น: มันต้องมีการตั้งสมมติฐานและโดยทั่วไปแล้วเราไม่มีสถิติ

คุณสามารถคำนวณสมการเชิงเส้นสำหรับเส้นที่ดีที่สุด (เช่น. y = 0.4554x + 0.7525) อย่างไรก็ตามวิธีนี้จะใช้ได้เฉพาะเมื่อมีแกนที่มีป้ายกำกับ อย่างไรก็ตามสิ่งนี้จะไม่ให้คำตอบที่ถูกต้องกับคุณเพียงคำตอบที่ดีที่สุดในประเด็นอื่น ๆ