ความแปรปรวนของส่วนผสมน้ำหนักของสอง gaussians คืออะไร?

บอกว่าผมมีสองการแจกแจงปรกติ A และ B ด้วยวิธีการและและแปรปรวนและ\ฉันต้องการที่จะใช้เป็นส่วนผสมถ่วงน้ำหนักของทั้งสองการกระจายการใช้น้ำหนักและที่และ1-P ฉันรู้ว่าค่าเฉลี่ยของส่วนผสมนี้จะเป็นmu_B) $\mu_A$ $\mu_B$ $\sigma_A$ $\sigma_B$ $p$ $q$ $0\le p \le 1$ $q = 1-p$ $\mu_{AB} = (p\times\mu_A) + (q\times\mu_B)$

ความแปรปรวนจะเป็นอย่างไร

ตัวอย่างที่ชัดเจนคือถ้าฉันรู้พารามิเตอร์สำหรับการกระจายความสูงของเพศชายและเพศหญิง หากฉันมีห้องของคนที่เป็นเพศชาย 60% ฉันสามารถสร้างความสูงเฉลี่ยที่คาดไว้สำหรับทั้งห้อง แต่ความแปรปรวนล่ะ?

normal-distribution mixture

— JoFrhwld
แหล่งที่มา

คำศัพท์ Re: ส่วนผสมมีค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน ไม่มีเหตุผลที่จะถือว่าคุณสมบัติเหล่านี้เป็น "คาดหวัง" นอกจากว่าคุณอาจจะพูดเป็นนัย ๆ ว่าและควรพิจารณาว่าเป็นตัวแปรสุ่ม

p

$p$

q

$q$

— whuber

ฉันรู้ว่าส่วนผสมของการแจกแจงแบบเกาส์สองอันนั้นสามารถระบุได้ แต่ถ้าการแจกแจงสองตัวนั้นมีค่า emans เหมือนกัน? เช่น:, คือการผสมของการแจกแจงสองแบบปกติด้วยค่าเฉลี่ยเดียวกันและค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานที่แตกต่างกันที่สามารถระบุได้หรือไม่? มีเอกสารในบริบทนี้หรือไม่ ขอบคุณล่วงหน้า

มีคำถามที่คล้ายกันกับคำตอบ (จัดการกับ COVARIANCES) ที่นี่: math.stackexchange.com/q/195911/96547

— hplieninger

ความแปรปรวนเป็นโมเมนต์ที่สองลบกำลังสองของช่วงเวลาแรกดังนั้นจึงพอเพียงในการคำนวณช่วงเวลาของการผสม

โดยทั่วไปการแจกแจงด้วยไฟล์ PDFและค่าคงที่ (ไม่ใช่แบบสุ่ม) น้ำหนัก PDF ของส่วนผสมคือ $f_i$ $p_i$

f (x) = \sum_{i} p_{i} f_{i} (x),

$f(x) = \sum_i{p_i f_i(x)},$

ซึ่งมันจะตามมาทันทีในทันทีที่นั้น $k$

μ^{(k)} = E_{f} [x^{k}] = \sum_{i} p_{i} E_{f_{i}} [x^{k}] = \sum_{i} p_{i} μ_{i}^{(k)} .

$\mu^{(k)} = \mathbb{E}_{f}[x^k] = \sum_i{p_i \mathbb{E}_{f_i}[x^k]} = \sum_i{p_i \mu_i^{(k)}}.$

ฉันได้เขียนสำหรับช่วงเวลาของและ สำหรับช่วงเวลาของการf_i $\mu^{(k)}$ $k^{th}$ $f$ $\mu_i^{(k)}$ $k^{th}$ $f_i$

การใช้สูตรเหล่านี้สามารถสร้างความแปรปรวนได้

Var (f) = μ^{(2)} - {(μ^{(1)})}^{2} = \sum_{i} p_{i} μ_{i}^{(2)} - {(\sum_{i} p_{i} μ_{i}^{(1)})}^{2} .

$\text{Var}(f) = \mu^{(2)} - \left(\mu^{(1)}\right)^2 = \sum_i{p_i \mu_i^{(2)}} - \left(\sum_i{p_i \mu_i^{(1)}}\right)^2.$

ถ้าความแปรปรวนของเท่ากับดังนั้น , การเปิดใช้งานความแปรปรวนของการผสมจะถูกเขียนในแง่ของความแปรปรวนและความหมายขององค์ประกอบในฐานะ $f_i$ $\sigma^2_i$ $\mu^{(2)}_i = \sigma^2_i + \left(\mu^{(1)}_i\right)^2$ $f$

\begin{aligned} Var (f) & = \sum_{i} p_{i} (σ_{i}^{2} + {(μ_{i}^{(1)})}^{2}) - {(\sum_{i} p_{i} μ_{i}^{(1)})}^{2} \\ = \sum_{i} p_{i} σ_{i}^{2} + \sum_{i} p_{i} {(μ_{i}^{(1)})}^{2} - {(\sum_{i} p_{i} μ_{i}^{(1)})}^{2} . \end{aligned}

$\eqalign{ \text{Var}(f) &= \sum_i{p_i \left(\sigma^2_i + \left(\mu^{(1)}_i\right)^2\right)} - \left(\sum_i{p_i \mu_i^{(1)}}\right)^2 \\ &= \sum_i{p_i \sigma^2_i} + \sum_i{p_i\left(\mu_i^{(1)}\right)^2} - \left(\sum_{i}{p_i \mu_i^{(1)}}\right)^2. }$

ในคำพูดนี้คือความแปรปรวนเฉลี่ย (ถ่วงน้ำหนัก) บวกค่าเฉลี่ยกำลังสองลบด้วยกำลังสองของค่าเฉลี่ย เนื่องจากกำลังสองเป็นฟังก์ชันนูน, ความไม่เท่าเทียมกันของ Jensen ยืนยันว่าค่าเฉลี่ยกำลังสองเฉลี่ยไม่น้อยกว่ากำลังสองของค่าเฉลี่ย สิ่งนี้ช่วยให้เราเข้าใจสูตรได้ว่าการระบุความแปรปรวนของส่วนผสมคือส่วนผสมของความแปรปรวนบวกกับการบัญชีที่ไม่เป็นลบสำหรับการกระจายตัว (ถ่วงน้ำหนัก) ของค่าเฉลี่ย

ในกรณีของคุณความแปรปรวนคือ

p_{A} σ_{A}^{2} + p_{B} σ_{B}^{2} + [p_{A} μ_{A}^{2} + p_{B} μ_{B}^{2} - (p_{A} μ_{A} + p_{B} μ_{B})^{2}] .

$p_A \sigma_A^2 + p_B \sigma_B^2 + \left[p_A\mu_A^2 + p_B\mu_B^2 - (p_A \mu_A + p_B \mu_B)^2\right].$

เราสามารถตีความได้ว่านี่เป็นส่วนผสมที่ถ่วงน้ำหนักของความแปรปรวนสองอย่างคือบวกกับคำที่ใช้แก้ไข (จำเป็นต้องเป็นบวก) เพื่อเปลี่ยนกะจากค่าเฉลี่ยของแต่ละบุคคลเมื่อเทียบกับค่าเฉลี่ยโดยรวม $p_A\sigma_A^2 + p_B\sigma_B^2$

ยูทิลิตี้ของความแปรปรวนนี้ในการตีความข้อมูลเช่นที่กำหนดไว้ในคำถามนั้นเป็นที่น่าสงสัยเนื่องจากการกระจายของส่วนผสมจะไม่เป็นปกติ (และอาจแยกออกจากกันอย่างมีนัยสำคัญจนถึงระดับที่จะแสดง bimodality)

— whuber
แหล่งที่มา

โดยเฉพาะอย่างยิ่งการสังเกตว่าการแสดงออกครั้งสุดท้ายของคุณทำให้ 2

p_{A} + p_{B} = 1

$p_A+p_B=1$

σ^{2} = μ^{(2)} - μ^{2} = p_{A} σ_{A}^{2} + p_{B} σ_{B}^{2} + p_{A} p_{B} (μ_{A} - μ_{B})^{2}

$\sigma^2=\mu^{(2)}-\mu^2=p_A\sigma_A^2+p_B\sigma_B^2+p_Ap_B(\mu_A-\mu_B)^2$

— Ilmari Karonen

หรือถ้าเราทำกำหนดคำอธิบายที่น่าจะเป็นความหนาแน่นผสม (มีเหตุการณ์ของ probabiityและเงื่อนไขความหนาแน่นของได้รับเป็นในขณะที่เงื่อนไขความหนาแน่นของได้รับคือ ) จากนั้น varคือผลรวมของค่าเฉลี่ยของความแปรปรวนตามเงื่อนไขบวกกับความแปรปรวนของค่าเฉลี่ยตามเงื่อนไข ด้านหลังคือ RVไม่ต่อเนื่องที่มีค่าพร้อมความน่าจะเป็นและ

A

$A$

p_{A}

$p_A$

X

$X$

A

$A$

N (μ_{A}, σ_{A}^{2})

$N(\mu_A,\sigma_A^2)$

X

$X$

A^{c} = B

$A^c = B$

N (μ_{B}, σ_{B}^{2})

$N(\mu_B,\sigma_B^2)$

(X)

$(X)$

Y

$Y$

μ_{A}, μ_{B}

$\mu_A, \mu_B$

p

$p$

q

$q$ และการแสดงออกของคุณในวงเล็บเป็นที่ยอมรับพร้อมที่จะเป็น 2

E [Y^{2}] - (E [Y])^{2}

$E[Y^2]-(E[Y])^2$

— Dilip Sarwate

@ Neodyme ตามคำนิยามความแปรปรวนเป็นช่วงเวลาที่สองลบด้วยค่าเฉลี่ยกำลังสอง ดังนั้นวินาทีที่สองคือความแปรปรวนบวกค่าเฉลี่ยกำลังสอง

— whuber

@Neodyme ใช้E

E (X) = μ

$E(X)=\mu$

— whuber

@ คีรานถึงแม้ว่าในบางกรณีส่วนผสมอาจมีลักษณะเป็นปกติ แต่จะไม่เป็นเช่นนั้น วิธีหนึ่งในการดูนั่นคือการคำนวณ kurtosis ส่วนเกินโดยใช้สูตรที่ให้ไว้ที่นี่ มันจะไม่ใช่ศูนย์เว้นแต่ส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานทั้งหมดจะเท่ากัน - ในกรณีนี้ "ส่วนผสม" ไม่ใช่ส่วนผสมในตอนแรก

— whuber