ค่าที่คาดหวังของ x ในการแจกแจงแบบปกติให้ค่าที่ต่ำกว่าค่าที่แน่นอน

เพียงแค่สงสัยว่าเป็นไปได้หรือไม่ที่จะหาค่าที่คาดหวังของ x หากมีการแจกแจงตามปกติโดยมีค่าต่ำกว่าค่าที่แน่นอน (ตัวอย่างเช่นต่ำกว่าค่าเฉลี่ย)

normal-distribution conditional-probability expected-value

— ดอกมะลิ
แหล่งที่มา

เป็นไปได้แน่นอน อย่างน้อยที่สุดคุณสามารถคำนวณโดยแรงเดรัจฉานdt หรือถ้าคุณรู้และคุณสามารถประมาณมันได้โดยใช้การจำลอง

F (t)^{- 1} \int_{- \infty}^{x} t f (t) d t

$F(t)^{-1} \int_{- \infty}^{x} t f(t) dt$

μ

$\mu$

σ

$\sigma$

— dsaxton

@dsaxton มีสูตรผิดพลาดอยู่บ้างในสูตรนั้น แต่เราเข้าใจแล้ว สิ่งที่ฉันอยากรู้ก็คือคุณจะต้องทำการจำลองอย่างไรเมื่อค่า threshold ต่ำกว่าค่าเฉลี่ย

— whuber

@whuber ใช่ควรจะเป็น(x) มันคงไม่ฉลาดนักที่จะทำการจำลองเมื่อใกล้กับศูนย์ แต่เมื่อคุณชี้ให้เห็นว่ามีสูตรที่แน่นอนอยู่แล้ว

F (t)

$F(t)$

F (x)

$F(x)$

F (x)

$F(x)$

— dsaxton

@dsaxton ตกลงยุติธรรมพอ ฉันแค่หวังว่าคุณจะมีความคิดที่ชาญฉลาดและเรียบง่ายบางอย่างสำหรับการจำลองจากหางของการแจกแจงแบบปกติ

— whuber

คำถามเดียวกันมากขึ้นหรือน้อยลงใน Math.SE: math.stackexchange.com/questions/749664/average-iq-of-mensa

— JiK

คำตอบ:

ตัวแปรกระจายตามปกติที่มีค่าเฉลี่ยและแปรปรวนมีการกระจายเช่นเดียวกับที่เป็นตัวแปรปกติมาตรฐาน สิ่งที่คุณต้องรู้เกี่ยวกับก็คือ $X$ $\mu$ $\sigma^2$ $\sigma Z + \mu$ $Z$ $Z$

ฟังก์ชันการแจกแจงสะสมเรียกว่า , $\Phi$
มันมีฟังก์ชั่นความหนาแน่นของความน่าจะเป็นและนั่น $\phi(z) = \Phi^\prime(z)$
) $\phi^\prime(z) = -z \phi(z)$

กระสุนสองนัดแรกเป็นเพียงสัญลักษณ์และคำจำกัดความที่สามเป็นคุณสมบัติพิเศษของการแจกแจงแบบปกติที่เราต้องการ

ให้ "ค่าบางอย่าง" เป็นTการคาดการณ์การเปลี่ยนแปลงจากเป็นให้คำจำกัดความ $T$ $X$ $Z$

t = (T - μ) / σ,

$t = (T-\mu)/\sigma,$

ดังนั้น

Pr (X \leq T) = Pr (Z \leq t) = Φ (t) .

$\Pr(X \le T) = \Pr(Z \le t) = \Phi(t).$

จากนั้นเริ่มต้นด้วยคำจำกัดความของความคาดหวังตามเงื่อนไขที่เราอาจใช้ประโยชน์จากความเป็นเส้นตรงเพื่อรับ

\begin{aligned} E (X | X \leq T) & = E (σ Z + μ | Z \leq t) = σ E (Z | Z \leq t) + μ E (1 | Z \leq t) \\ = (σ \int_{- \infty}^{t} z ϕ (z) d z + μ \int_{- \infty}^{t} ϕ (z) d z) / Pr (Z \leq t) \\ = (- σ \int_{- \infty}^{t} ϕ^{'} (z) d z + μ \int_{- \infty}^{t} Φ^{'} (z) d z) / Φ (t) . \end{aligned}

$\eqalign{ \mathbb{E}(X\,|\, X \le T) &= \mathbb{E}(\sigma Z + \mu \,|\, Z \le t) = \sigma \mathbb{E}(Z \,|\, Z \le t) + \mu \mathbb{E}(1 \,|\, Z \le t) \\ &= \left(\sigma \int_{-\infty}^t z \phi(z) dz + \mu \int_{-\infty}^t \phi(z) dz \right) / \Pr(Z \le t)\\ &=\left(-\sigma \int_{-\infty}^t \phi^\prime(z) dz + \mu \int_{-\infty}^t \Phi^\prime(z) dz\right) / \Phi(t). }$

ทฤษฎีบทมูลฐานของแคลคูลัสอ้างว่าหนึ่งของอนุพันธ์ใด ๆ ที่พบได้โดยการประเมินผลการทำงานที่ปลายทาง: )สิ่งนี้ใช้ได้กับทั้งอินทิกรัล เนื่องจากทั้งและต้องหายไปที่เราจึงได้ $\int_a^b F^\prime(z) dz = F(b) - F(a)$ $\Phi$ $\phi$ $-\infty$

E (X | X \leq T) = μ - σ \frac{ϕ (t)}{Φ (t)} .

$\mathbb{E}(X\,|\, X \le T) = \mu - \sigma \frac{\phi\left(t\right)}{\Phi\left(t\right)}.$

มันเป็นลบค่าเฉลี่ยเดิมตามสัดส่วนระยะการแก้ไขกับอัตราส่วนผกผัน Mills

ตามที่เราคาดไว้อัตราส่วนผกผันของสำหรับค่าจะต้องเป็นค่าบวกและส่วนเกิน (ซึ่งกราฟจะแสดงด้วยเส้นสีแดงประ) แต่ก็มีการหดตัวลงไปที่เป็นเติบโตขนาดใหญ่สำหรับการตัดแล้วที่ (หรือ ) การเปลี่ยนแปลงเกือบไม่มีอะไร ในฐานะที่เป็นเติบโตเชิงลบมากผกผัน Mills อัตราส่วนต้องวิธีการเพราะหางของการลดลงของการกระจายปกติอย่างรวดเร็วว่าเกือบทั้งหมดน่าจะเป็นหางด้านซ้ายมีความเข้มข้นอยู่ใกล้กับด้านขวามือของตน (ที่ ) $t$ $-t$ $0$ $t$ $Z=t$ $X=T$ $t$ $-t$ $t$

ในที่สุดเมื่ออยู่ที่ค่าเฉลี่ยโดยที่อัตราส่วนผกผันของ Mills เท่ากับ $T = \mu$ $t=0$ 0.797885นี่หมายถึงค่าที่คาดหวังของซึ่งถูกตัดทอนที่ค่าเฉลี่ย (ซึ่งเป็นลบของการแจกแจงครึ่งปกติ) คือ $\sqrt{2/\pi} \approx 0.797885$ $X$ ค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานต่ำกว่าค่าเฉลี่ยดั้งเดิม $-\sqrt{2/\pi}$

— whuber
แหล่งที่มา

โดยทั่วไปให้มีฟังก์ชันการแจกแจง ) $X$ $F(X)$

เรามีสำหรับ , $x\in[c_1,c_2]$ คุณอาจจะได้รับเป็นกรณีพิเศษโดยการยกตัวอย่างเช่นซึ่งผลตอบแทนถัวเฉลี่ย0

\begin{array}{rcl} P (X \leq x | ค_{1} \leq X \leq ค_{2}) & = & \frac{P (X \leq x \cap ค_{1} \leq X \leq ค_{2})}{P (ค_{1} \leq X \leq ค_{2})} = \frac{P (ค_{1} \leq X \leq x)}{P (ค_{1} \leq X \leq ค_{2})} \\ = & \frac{F (x) - F (ค_{1})}{F (ค_{2}) - F (ค_{1})} \end{array}

$\begin{eqnarray*} P(X\leq x|c_1\leq X \leq c_2)&=&\frac{P(X\leq x\cap c_1\leq X \leq c_2)}{P(c_1\leq X \leq c_2)}=\frac{P(c_1\leq X \leq x)}{P(c_1\leq X \leq c_2)}\\&=&\frac{F(x)-F(c_1)}{F(c_2)-F(c_1)} \end{eqnarray*}$

c_{1} = - \infty

$c_1=-\infty$

F (c_{1}) = 0

$F(c_1)=0$

การใช้ cdf ตามเงื่อนไขคุณอาจได้รับความหนาแน่นตามเงื่อนไข (เช่นสำหรับซึ่งสามารถใช้สำหรับการคาดการณ์ตามเงื่อนไข $f(x|X<0)=2\phi(x)$ $X\sim N(0,1)$

E (X | X < 0) = 2 \int_{- \infty}^{0} x φ (x) = - 2 φ (0),

$E(X|X<0)=2\int_{-\infty}^0x\phi(x)=-2\phi(0),$

— Christoph Hanck
แหล่งที่มา

+1 (อย่างใดฉันคิดถึงสิ่งนี้เมื่อมันปรากฏตัวครั้งแรก) ส่วนแรกเป็นบัญชีที่ยอดเยี่ยมของวิธีการรับฟังก์ชั่นการกระจายที่ถูกตัดทอนและส่วนที่สองแสดงวิธีการคำนวณ PDF ของพวกเขา

— whuber