เครื่องมือประมาณการสำหรับการแจกแจงแบบทวินาม

12

เราจะกำหนดตัวประมาณสำหรับข้อมูลที่มาจากการแจกแจงทวินามได้อย่างไร สำหรับเบอนูลลี่ฉันสามารถคิดถึงตัวประมาณค่าพารามิเตอร์ p แต่สำหรับทวินามฉันไม่สามารถดูพารามิเตอร์ที่จะประมาณได้เมื่อเรามีการแจกแจงคุณสมบัติ

ปรับปรุง:

โดยตัวประมาณฉันหมายถึงฟังก์ชันของข้อมูลที่สังเกตได้ ตัวประมาณจะใช้ในการประมาณค่าพารามิเตอร์ของการแจกแจงที่สร้างข้อมูล

estimation binomial

— Rohit Banga
แหล่งที่มา

คุณมีความเข้าใจเรื่อง "ตัวประมาณค่า" อย่างไร ฉันสงสัยว่าเนื่องจากตัวประมาณไม่มี "พารามิเตอร์" ทำให้ฉันกังวลว่าคุณไม่ได้สื่อสารคำถามของคุณอย่างชัดเจน บางทีคุณอาจให้ตัวอย่างที่ชัดเจนเกี่ยวกับสถานการณ์จริงที่คุณกำลังพิจารณา

— whuber

@whuber เพิ่มข้อมูลเพิ่มเติม แจ้งให้เราทราบหากคุณต้องการให้ฉันเพิ่มรายละเอียดเพิ่มเติมหรือหากความเข้าใจของฉันไม่สมบูรณ์

— Rohit Banga

การแก้ไขนั้นถูกต้อง แต่ตัวอย่างที่เป็นรูปธรรมก็ยังคงช่วยได้ ในแอปพลิเคชั่นหลายตัวของการแจกแจงแบบทวินามนั้นไม่ใช่พารามิเตอร์: มันถูกกำหนดและเป็นพารามิเตอร์เดียวที่จะถูกประมาณ ยกตัวอย่างเช่นการนับความสำเร็จในอิสระกระจายเหมือนการทดลอง Bernoulli มีทวินาม ( , ) การจัดจำหน่ายและเป็นหนึ่งในประมาณการของแต่เพียงผู้เดียวพารามิเตอร์คือ n

n

$n$

p

$p$

k

$k$

n

$n$

n

$n$

p

$p$

p

$p$

k / n

$k/n$

— whuber

2

ฉันชอบที่จะเห็นตัวอย่างแม้จะเป็นคนที่วางแผนไว้ในการประมาณทั้งและ (ในการตั้งค่าบ่อยครั้ง) คิดเกี่ยวกับมันคุณสังเกตเดียวนับkพูด 5 เราคาดว่าประมาณเท่ากับNPเราจะประมาณ ,หรือไม่ หรือบางที , ? หรือเกือบทุกอย่างอื่น? :-) หรือคุณกำลังแนะนำว่าคุณอาจมีชุดการสังเกตอิสระทั้งหมดจากการทวินามทั่วไปมีทั้งและ

n

$n$

p

$p$

k = 5

$k=5$

k

$k$

n p

$n p$

n = 10

$n=10$

p = 0.5

$p=0.5$

n = 5000

$n=5000$

p = 0.001

$p=0.001$

k_{1}, k_{2}, \dots, k_{m}

$k_1, k_2, \ldots, k_m$

(n, p)

$(n,p)$

p

$p$

n

$n$ ไม่ทราบ?

— whuber

1

ฉันแนะนำให้รู้จักกับหลัง - ทั้ง p และ n ไม่เป็นที่รู้จัก ฉันต้องการตัวประมาณค่าทั้ง n และ p เป็นฟังก์ชั่นของ N สังเกตจุดข้อมูล

— Rohit Banga

12

ฉันเดาว่าสิ่งที่คุณกำลังมองหาคือฟังก์ชั่นสร้างความน่าจะเป็น ฟังก์ชันการสร้างความน่าจะเป็นที่ได้รับมาของการแจกแจงแบบทวินามสามารถดูได้ที่

http://economictheoryblog.com/2012/10/21/binomial-distribution/

อย่างไรก็ตามการได้ดูวิกิพีเดียในทุกวันนี้เป็นความคิดที่ดีอยู่เสมอแม้ว่าฉันต้องบอกว่าสเปคของทวินามสามารถปรับปรุงได้

https://en.wikipedia.org/wiki/Binomial_distribution#Specification

— ProofGauss
แหล่งที่มา

1

การแจกแจงทุกครั้งมีพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จัก ตัวอย่างเช่นในการแจกแจงเบอร์นูลลีมีความน่าจะเป็นของพารามิเตอร์ที่ไม่ทราบแน่ชัดของความสำเร็จ (p) เช่นเดียวกันในการแจกแจงแบบทวินามมีพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จักสองค่าคือ n และ p ขึ้นอยู่กับวัตถุประสงค์ซึ่งพารามิเตอร์ที่ไม่รู้จักที่คุณต้องการประเมิน คุณสามารถแก้ไขพารามิเตอร์หนึ่งและประมาณหนึ่งพารามิเตอร์ สำหรับข้อมูลเพิ่มเติมดูที่นี่

— รักสถิติ
แหล่งที่มา

ถ้าฉันต้องการประเมินทั้งพารามิเตอร์

— Rohit Banga

1

สำหรับการประมาณค่าความน่าจะเป็นสูงสุดคุณจะต้องหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันความน่าจะเป็นด้วยความเคารพต่อพารามิเตอร์ที่สนใจและถือเอาสมการนั้นให้เป็นศูนย์และแก้สมการ ฉันหมายความว่าขั้นตอนนี้เหมือนกับที่คุณทำในขณะที่ประมาณ 'p' คุณต้องทำเช่นเดียวกันกับ 'n' ตรวจสอบอันนี้ www.montana.edu/rotella/502/binom_like.pdf

— love-stats

@love ข้อมูลอ้างอิงของคุณประเมินเฉพาะโดยใช้เป็นค่าคงที่

p

$p$

N

$N$

— whuber

-1 @ love-stats สำหรับตัวอย่างของสถานการณ์ที่การหาอนุพันธ์ของฟังก์ชันความน่าจะเป็นการทำให้มันเป็นและอื่น ๆใช้งานไม่ได้ให้ดูความพยายามนี้และวิธีแก้ปัญหาที่ถูกต้อง

0

$0$

— Dilip Sarwate

1

สมมติว่าคุณมีข้อมูลP) $k_1, \dots, k_m \sim \text{iid binomial}(n, p)$

คุณสามารถหาวิธีประมาณค่าเวลาได้อย่างง่ายดายโดยการตั้งค่าและและการแก้สำหรับและ{p} $\bar{k} = \hat{n}\hat{p}$ $s_k^2 = \hat{n}\hat{p}(1-\hat{p})$ $\hat{n}$ $\hat{p}$

หรือคุณสามารถคำนวณ MLEs (อาจเป็นเพียงตัวเลข) เช่นใช้optimใน R

— คาร์ล
แหล่งที่มา

ปรากฎว่า MLEs นั้นน่ากลัวจริงๆสำหรับ - พวกเขามีความเอนเอียงและแปรปรวนอย่างมากถึงแม้จะมีกลุ่มตัวอย่างขนาดใหญ่ก็ตาม ฉันไม่ได้ศึกษาตัวประมาณ MM ส่วนหนึ่งเป็นเพราะพวกเขาไม่ได้กำหนดบ่อยครั้ง (เมื่อใดก็ตามที่ซึ่งเกิดขึ้น)

p < 1 / 2

$p \lt 1/2$

s^{2} / \bar{k} > 1

$s^2/\bar{k} \gt 1$

— whuber

@whuber - เขาไม่ได้ขอตัวประมาณที่ดี ;)

— Karl

1

ทำไมไม่เพียงเสนอ = 17 และไม่ว่าจะเกิดอะไรขึ้น :-) แต่คุณมีประเด็น: คำถามไม่ได้ระบุว่าจะต้องประมาณอะไร หากเราต้องการตัวประมาณค่าก็จะมีตัววัดที่ดีอย่างชัดเจน

\hat{n}

$\hat{n}$

\hat{p} = 1 / 2

$\hat{p}=1/2$

n p

$np$

— whuber

@whuber - แน่นอน และฉันจะไม่แปลกใจที่พบสำหรับ MLE

\hat{n} \approx max k_{i}

$\hat{n} \approx \max k_i$

— Karl

ถูกต้อง: โดยเฉพาะอย่างยิ่งเมื่อใกล้กับสูงสุดของการนับคือ MLE มันใช้งานได้ดีในกรณีเช่นนี้ตามที่คุณอาจจินตนาการ สำหรับขนาดเล็กแม้จะมีข้อมูลจำนวนมากมันยากที่จะแยกแยะความแตกต่างจากการกระจาย Poisson ซึ่งเป็นอนันต์ได้อย่างมีประสิทธิภาพนำไปสู่ความไม่แน่นอนอย่างมากในการประมาณการของn

p

$p$

1

$1$

p

$p$

n

$n$

n

$n$

— whuber

0

ฉันคิดว่าเราสามารถใช้วิธีการประมาณช่วงเวลาเพื่อประมาณค่าพารามิเตอร์ของการแจกแจงแบบทวินามด้วยค่าเฉลี่ยและความแปรปรวน

โดยใช้วิธีการประมาณช่วงเวลาในการประมาณพารามิเตอร์และม.[{\ hat {p}} _ n = \ frac {\ overline {X} -S ^ 2} {\ overline {X}}] [\ hat {m} _n = \ frac {\ overline {X} ^ 2} {\ overline {X} -S ^ 2}] พิสูจน์ตัวประมาณของพารามิเตอร์และโดยวิธีของช่วงเวลาเป็นวิธีการแก้ปัญหาของระบบสมการ ดังนั้นสมการของเราสำหรับวิธีการของช่วงเวลาคือ: [\ overline {X} = mp] [S ^ 2 = mp (1-p)] $p$ $m$ $m$ $p$

m p = \bar{X}, m p (1 - p) = S^{2} .

$mp =\bar{X},\quad mp(1-p) = S^2.$

การคำนวณทางคณิตศาสตร์อย่างง่ายแสดง: [S ^ 2 = mp \ left (1 - p \ right) = \ bar {X} \ left (1 - p \ right)] [S ^ 2 = \ bar {X} - \ bar {X } p] [\ bar {X} p = \ bar {X} -S ^ 2, \ mbox {ดังนั้น} \ hat {p} = \ frac {\ bar {X} -S ^ 2} {\ bar {X }}.] จากนั้น [\ bar {X} = mp, \ mbox {นั่นคือ} m \ left (\ frac {\ bar {X} -S ^ 2} {\ bar {X}} \ right)] [\ bar {X} = m \ left (\ frac {\ bar {X} -S ^ 2} {\ bar {X}} \ right), \ mbox {หรือ} \ hat {m} = \ frac {\ บาร์ {X} ^ 2} {\ bar {X} -S ^ 2} ]

— salma
แหล่งที่มา

1

มันจะดีถ้าคุณสามารถขยายในเรื่องนี้โดยการเขียนสูตรสำหรับตัวประมาณค่า MoM มิฉะนั้นคำตอบไม่ได้อยู่ในตัวเอง; คนอื่น ๆ (ที่ยังไม่รู้คำตอบ) จะต้องค้นหา "วิธีช่วงเวลา" ออนไลน์เป็นต้นจนกว่าพวกเขาจะพบคำตอบที่แท้จริง

— jbowman

มีวิธีที่จะทำให้คณิตศาสตร์ที่นี่ถูกต้องหรือไม่?

— David Refaeli