ทำไมตัวแปรสุ่ม“ ลบทวินาม” จึงเรียกว่า

ฉันไม่เข้าใจว่าทำไมตัวแปรสุ่ม "ลบทวินาม" จึงมีชื่อนั้น สิ่งที่เป็นลบเกี่ยวกับมัน? ทวินามเกี่ยวกับมันคืออะไร? อะไรคือลบ - ทวินามเกี่ยวกับมัน

เป็นการอ้างอิงถึงความจริงที่ว่าสัมประสิทธิ์ทวินามบางอย่างที่ปรากฏในสูตรสำหรับการแจกแจงนั้นสามารถเขียนได้ง่ายขึ้นด้วยตัวเลขติดลบ

เมื่อคุณทำการทดลองด้วยความน่าจะเป็นสำเร็จ$p$โอกาสที่คุณจะเห็นความล้มเหลว$r$หลังจากการทดลองแน่นอน$k$

pk(1-p)${k+r−1}\choose {k}$ $p^k(1−p)^r$ R

สิ่งนี้สามารถเขียนเป็น

( - $(−1)^k$pk(1-p)${−r}\choose {k}$$p^k(1−p)^r$

และคำว่า "ลบ" หมายถึง$−r$นั้นในสัมประสิทธิ์ทวินามนั้น สังเกตว่าสูตรนี้ดูเหมือนสูตรสำหรับการแจกแจงทวินามสามัญอย่างไรยกเว้นสัมประสิทธิ์เครื่องหมายนั้น

อีกชื่อสำหรับการแจกแจงแบบทวินามลบก็คือการกระจายตัวของปาสคาลก็มีเช่นกัน

================================================== =======================

คำตอบโดยละเอียดเพิ่มเติมตาม Wikipedia:

ฟังก์ชันมวลความน่าจะเป็นของการแจกแจงทวินามลบ

$f(k; r, p) \equiv \Pr(X = k) = \binom{k+r-1}{k} p^k(1-p)^r \quad\text{for }k = 0, 1, 2, \dotsc$

นี่คือปริมาณในวงเล็บคือสัมประสิทธิ์ทวินามและเท่ากับ

$\binom{k+r-1}{k} = \frac{(k+r-1)!}{k!\,(r-1)!} = \frac{(k+r-1)(k+r-2)\dotsm(r)}{k!}${k!}

ปริมาณนี้สามารถเขียนในลักษณะดังต่อไปนี้โดยอธิบายชื่อ“ ลบทวินาม”:

$\frac{(k+r-1)\dotsm(r)}{k!} = (-1)^k \frac{(-r)(-r-1)(-r-2)\dotsm(-r-k+1)}{k!} = (-1)^k\binom{-r}{k}${K}

Denizens of StatsExchange ก่อนอื่นข่าวดีผู้เขียนคนนี้คัดลอกสูตร Wikipedia ดังนั้นทุกอย่างก็อยู่ที่นั่น คำอธิบายผู้เขียนคนนี้ไม่ถูกต้อง เขาควรจะเขียนความน่าจะเป็นที่จะเกิดความล้มเหลวหลังจากเส้นทาง k + r
โปรดทราบว่าในการทดลอง k + r-1 ครั้งแรกมีความล้มเหลวอย่างแน่นอน r-1 และ k ที่ประสบความสำเร็จ ดังนั้นสูตรจึงรวมอย่างถูกต้อง (k + r-1 C r-1) p ^ k (1-p) ^ (r-1)
จากนั้นตามคำนิยามการทดลองขั้นสุดท้ายคือการทดลองที่ k + r จะต้องเป็นความล้มเหลวครั้งที่ r กิจกรรมนี้มีความเป็นอิสระดังนั้นเราเพียงแค่คูณความน่าจะเป็น 1-p เพื่อค้นหาความน่าจะเป็นที่ระบุไว้