คุณสมบัติทางสถิติ '' ที่ต้องการ '' ของการทดสอบอัตราส่วนความน่าจะเป็นคืออะไร

ฉันกำลังอ่านบทความที่มีวิธีการทดสอบอย่างเต็มรูปแบบตามอัตราส่วนความน่าจะเป็น ผู้เขียนกล่าวว่าการทดสอบ LR กับทางเลือกด้านเดียวคือ UMP เขาดำเนินการโดยอ้างว่า

"... ถึงแม้จะไม่สามารถแสดงให้เห็นว่ามีประสิทธิภาพมากที่สุด แต่การทดสอบ LR มักจะมีคุณสมบัติทางสถิติที่น่าพอใจ

ฉันสงสัยว่าคุณสมบัติทางสถิติมีความหมายที่นี่ เนื่องจากผู้เขียนอ้างถึงคนที่ผ่านไปฉันถือว่าพวกเขาเป็นความรู้ทั่วไปในหมู่นักสถิติ

คุณสมบัติที่พึงประสงค์เพียงอย่างเดียวที่ฉันสามารถหาได้คือการกระจายแบบไคม์สแควร์ asymptotic ของ (ภายใต้เงื่อนไขปกติ) โดยที่เป็นอัตราส่วน LR$-2 \log \lambda$$\lambda$

ฉันจะขอบคุณสำหรับการอ้างอิงถึงข้อความคลาสสิกที่หนึ่งสามารถอ่านเกี่ยวกับคุณสมบัติที่ต้องการ

มันอาจจะดีที่จะอ่านอะไรต่อไปนี้ถ้าเราล้มเหลวในการปฏิเสธสมมติฐานว่าง? ก่อนคำอธิบายด้านล่าง

คุณสมบัติที่ต้องการ: พลังงาน

ในการทดสอบสมมติฐานเป้าหมายคือการหา 'หลักฐานทางสถิติสำหรับH_1ดังนั้นเราสามารถสร้างข้อผิดพลาดประเภทที่ 1 ได้คือเราปฏิเสธ (และตัดสินใจว่ามีหลักฐานสนับสนุน ) ในขณะที่เป็นจริง (เช่นเป็นเท็จ) ดังนั้นความผิดพลาดแบบคือ 'การหาหลักฐานปลอมสำหรับH_1$H_1$$H_0$$H_1$$H_0$$H_1$$H_1$

มีข้อผิดพลาดชนิดที่สองเกิดขึ้นเมื่อไม่สามารถปฏิเสธในขณะที่มันเป็นเท็จในความเป็นจริงคือเรา '' ยอมรับ '' และเรา 'พลาด' หลักฐานH_1$H_0$$H_0$$H_1$

ความน่าจะเป็นของข้อผิดพลาดประเภท I นั้นแทนด้วยซึ่งเป็นระดับความสำคัญที่เลือก ความน่าจะเป็นของข้อผิดพลาดประเภท II ถูกแสดงเป็นและเรียกว่าพลังของการทดสอบมันเป็นความน่าจะเป็นที่จะหาหลักฐานที่สนับสนุนเมื่อเป็นจริง$\alpha$$\beta$$1-\beta$$H_1$$H_1$

ในสมมติฐาน statitistical ทดสอบการแก้ไขนักวิทยาศาสตร์เกณฑ์บนสำหรับความน่าจะเป็นของความผิดพลาดประเภท I และภายใต้ข้อ จำกัด ที่พยายามที่จะหาการทดสอบที่มีอำนาจสูงสุดที่กำหนด\$\alpha$

คุณสมบัติที่ต้องการของการทดสอบอัตราส่วนความน่าจะเป็นเกี่ยวข้องกับพลังงาน

ในการทดสอบสมมติฐานเมื่อเทียบกับสมมติฐานว่างและสมมติฐานทางเลือกเรียกว่า '' ง่าย '' นั่นคือพารามิเตอร์ถูกกำหนดให้เป็นค่าเดียวเช่นเดียวกับภายใต้ภายใต้ (แม่นยำยิ่งขึ้นการกระจายจะถูกกำหนดอย่างสมบูรณ์) $H_0: \theta=\theta_0$$H_1: \theta = \theta_1$$H_0$$H_1$

Neyman เพียร์สันแทรกกล่าวว่าสำหรับการทดสอบสมมติฐานด้วย hypothesises ง่ายและได้รับความน่าจะเป็นประเภทที่ผมผิดพลาดการทดสอบอัตราส่วนมีอำนาจสูงสุด เห็นได้ชัดว่าพลังงานสูงที่กำหนดเป็นคุณสมบัติที่ต้องการ: พลังงานเป็นตัวชี้วัดว่า 'ง่ายแค่ไหนในการค้นหาหลักฐานสำหรับ '$\alpha$$H_1$

เมื่อสมมุติฐานประกอบกัน; เช่นเช่นเมื่อเทียบกับดังนั้นบทแทรกของ Neyman-Pearson ไม่สามารถใช้ได้เนื่องจากมี 'หลายค่าใน ' หากพบว่าการทดสอบนั้นมีประสิทธิภาพมากที่สุดสำหรับทุกค่าภายใต้การทดสอบนั้นจะกล่าวว่าเป็น'ที่มีประสิทธิภาพมากที่สุดสม่ำเสมอ' (UMP) (เช่นที่มีประสิทธิภาพมากที่สุดสำหรับทุกค่าภายใต้ )$H_0: \theta = \theta_1$$H_1: \theta > \theta_1$$H_1$$H_1$$H_1$

มีทฤษฎีบทของ Karlin และ Rubin ที่ให้เงื่อนไขที่จำเป็นสำหรับการทดสอบอัตราส่วนความน่าจะเป็นที่มีประสิทธิภาพมากที่สุดอย่างสม่ำเสมอ เงื่อนไขเหล่านี้ถูกเติมเต็มสำหรับการทดสอบด้านเดียว (univariate) จำนวนมาก

ดังนั้นคุณสมบัติที่ต้องการของการทดสอบอัตราส่วนความน่าจะเป็นนั้นอยู่ในความจริงที่ว่าในหลาย ๆ กรณีมันมีพลังสูงสุด (แม้ว่าจะไม่ได้ในทุกกรณี)

ในกรณีส่วนใหญ่การมีอยู่ของการทดสอบ UMP นั้นไม่สามารถแสดงได้และในหลาย ๆ กรณี (โดยเฉพาะอย่างยิ่งหลายตัวแปร) จะสามารถแสดงได้ว่าการทดสอบ UMP นั้นไม่มีอยู่จริง อย่างไรก็ตามในบางกรณีเหล่านี้มีการใช้การทดสอบอัตราส่วนความน่าจะเป็นเนื่องจากคุณสมบัติที่ต้องการ (ในบริบทด้านบน) เพราะมันค่อนข้างง่ายที่จะใช้และบางครั้งก็ไม่สามารถกำหนดการทดสอบอื่นได้

ตัวอย่างเช่นการทดสอบด้านเดียวซึ่งยึดตามการแจกแจงปกติมาตรฐานคือ UMP

สัญชาตญาณที่อยู่เบื้องหลังการทดสอบอัตราส่วนความน่าจะเป็น:

ถ้าผมต้องการที่จะทดสอบเมื่อเทียบกับแล้วเราต้องสังเกตมาจากตัวอย่าง โปรดทราบว่านี่เป็นหนึ่งค่าเดียว H 1 : θ = θ 1$H_0: \theta=\theta_0$$H_1: \theta = \theta_1$$o$

เรารู้ว่าทั้งเป็นจริงหรือเป็นจริงดังนั้นเราสามารถคำนวณความน่าจะเป็นของเมื่อเป็นจริง (เรียกว่า ) และความน่าจะเป็นที่จะสังเกตเมื่อเป็นจริง (เรียกว่า )H 1 o H 0 L 0 o H 1 L $H_0$$H_1$$o$$H_0$$L_0$$o$$H_1$$L_1$

หากเรามีแนวโน้มที่จะเชื่อว่า '' น่าจะเป็นจริง '' ดังนั้นหากปันส่วนเรามีเหตุผลที่จะเชื่อว่าเป็นจริงมากกว่าH_0 H 1 L $L_1 > L_0$$H_1$H1H$\frac{L_1}{L_0} > 1$$H_1$$H_0$

ถ้าจะเป็นเช่นเราอาจสรุปได้ว่ามันอาจเป็นเพราะโอกาสดังนั้นในการตัดสินใจว่าเราต้องการการทดสอบและการกระจายของซึ่งก็คือ .. . อัตราส่วนของความเป็นไปได้สองอย่าง 1.001L$\frac{L_1}{L_0}$$1.001$$\frac{L_1}{L_0}$

ฉันพบไฟล์ PDFนี้บนอินเทอร์เน็ต