การพิสูจน์ลำดับลดลง (สนับสนุนโดยการพล็อตเป็นจำนวนมาก)

คำถามมากมายที่ฉันโพสต์ใน SE ในเดือนที่ผ่านมามีเป้าหมายเพื่อช่วยฉันแก้ปัญหานี้โดยเฉพาะ ตอบคำถามทุกข้อแล้ว แต่ฉันก็ยังหาวิธีแก้ไม่ได้ ดังนั้นฉันคิดว่าฉันควรถามปัญหาที่ฉันพยายามแก้ไขโดยตรง

ให้โดยที่ , , (จำนวนเต็ม) และทุกตัวเป็น cdf ส่วนเกิน 1)$X_n \sim F_n$$F_n = (1-(1-F_{n-1})^c)^c$$F_0 = x$$c\geq 2$$F_n$$(0,1)$

ฉันต้องการพิสูจน์ว่าลดลงด้วยสำหรับทุกc (หรือแม้กระทั่งสำหรับcใด ๆ)! ฉันสามารถแสดงให้เห็นว่าF_nแปรสภาพเป็นมวล Dirac ที่ทางออกที่ไม่ซ้ำกับ x_c = (1- (1-x) ^ c) ^ c) สำหรับc = 2 , x_2 = (3- \ sqrt {5}) / 2 \ ประมาณ 0.38 เมื่อมองไปที่พล็อตของ CDFS สำหรับเพิ่มขึ้นn 's สำหรับเดียวกันค , CDFS ทั้งหมดข้ามที่x_n ค่าF (x)ลดลงสำหรับค่าxน้อยกว่าx_nและเพิ่มค่าของxยิ่งกว่านั้นx_n$\mathbb{E}X_n$$n$$c$$c$$F_n$$x_c = (1-(1-x)^c)^c)$$c=2$$x_2 = (3-\sqrt{5})/2 \approx .38$$n$$c$$x_n$$F(x)$$x$$x_n$$x$$x_n$(เป็น$n$เพิ่มขึ้น) บรรจบกับเส้นแนวตั้งที่x_n$x_n$

ด้านล่างเป็นพล็อตของ$\mathbb{E}X_n$สำหรับ$n = 1$ที่จะ$40$สำหรับ$c = 2$ที่จะ7$7$มันเป็นพล็อตที่ไม่ต่อเนื่อง แต่ฉันมีเส้นที่รวมเข้าด้วยกันเพื่อให้ดูง่าย ในการสร้างพล็อตนี้ฉันใช้ NIntegrate ใน Mathematica แม้ว่าฉันจะต้องทำมันใน$1-F^{-1}_n$ด้วยเหตุผลบางประการ Mathematica ไม่สามารถสร้างคำตอบสำหรับค่าที่สูงของ$n$สำหรับฟังก์ชันดั้งเดิม ทั้งสองควรจะเทียบเท่าตามทฤษฎีบทของเด็กหนุ่ม, $\int_0^1F(x)\,dx = \int_0^1 1-F^{-1}(x)\,dx$1F ในกรณีของฉัน$F^{-1}_n(x) = 1-(1-(F^{-1}_{n-1})^{\frac{1}{c}})^{\frac{1}{c}}$ , $F^{-1}_n = x$x

ในขณะที่คุณสามารถดูย้ายมาก Quicky ห่างนาทีจากจุดคงที่x_cเมื่อเพิ่มขึ้นจุดคงที่จะลดลง (ในที่สุดจะเป็น 0)$EX_n$$x_c$$c$

ดังนั้นมันแน่นอนน่าจะเป็นความจริงที่ว่าลดลงด้วยสำหรับทุกคแต่ฉันไม่สามารถพิสูจน์ได้ ใครช่วยฉันออกได้บ้าง (อีกครั้งฉันจะค่อนข้างมีความสุขแม้เพียงแค่เดียว) และถ้าคุณทำไม่ได้ แต่คุณมีความเข้าใจว่าทำไมปัญหานี้อาจแก้ไม่ได้โปรดแบ่งปันข้อมูลเชิงลึกนั้นด้วย $EX_n$$n$$c$$c$

นี้ได้รับการตอบรับใน MO โดย Pietro Majer ที่นี่