การ์ดเกม: ถ้าฉันจั่วไพ่สี่ใบโดยสุ่มและคุณจั่วไพ่หกใบความน่าจะเป็นที่ไพ่สูงสุดของฉันสูงกว่าแต้มสูงสุดของคุณคืออะไร?

ตามที่ระบุไว้ในชื่อกล่าวว่าถ้าฉันสุ่มไพ่ 4 ใบและคุณดึงไพ่ 6 ใบจากเด็คเดียวกันความน่าจะเป็นที่การ์ดสูงสุดของฉันชนะไพ่สูงสุดของคุณคืออะไร

การเปลี่ยนแปลงนี้จะเกิดขึ้นได้อย่างไรหากเราดึงออกมาจากเด็คที่แตกต่างกัน

ขอบคุณ!

คำถามง่าย ๆ นี้มีคำตอบที่ซับซ้อน ภาวะแทรกซ้อนเกิดจากสองปัจจัย:

1. ไพ่ถูกดึงโดยไม่ต้องเปลี่ยน (การจับสลากแต่ละครั้งจะเปลี่ยนเนื้อหาของสำรับที่พร้อมใช้งานสำหรับการจับในภายหลัง)

2. สำรับมักจะมีไพ่หลายใบของแต่ละค่าทำให้เสมอกันสำหรับการ์ดสูงสุดที่เป็นไปได้

เนื่องจากภาวะแทรกซ้อนนั้นหลีกเลี่ยงไม่ได้เรามาพูดถึงปัญหาทั่วไปในวงกว้างอย่างสมเหตุสมผลแล้วดูที่กรณีพิเศษ ในการวางนัยทั่วไป "เด็ค" ประกอบด้วยการ์ดจำนวน จำกัด การ์ดมี"ค่า" ที่แตกต่างกันซึ่งสามารถจัดอันดับจากต่ำสุดไปสูงสุด ให้มีn i ≥ 1ของค่าที่อยู่ในอันดับที่i (โดยi = 1ที่ต่ำที่สุดและi = mสูงสุด) ผู้เล่นคนหนึ่งดึง≥ 0บัตรจากดาดฟ้าและผู้เล่นที่สองดึงข≥ $m$$n_i \ge 1$$i$$i=1$$i=m$$a\ge 0$$b\ge 1$บัตร โอกาสที่ไพ่ที่มีอันดับสูงสุดในมือของผู้เล่นคนแรกมีมูลค่ามากกว่าไพ่ที่มีอันดับสูงสุดในมือของผู้เล่นคนที่สองอย่างเคร่งครัด ให้กิจกรรมนี้เรียกว่า : "ชนะ" สำหรับผู้เล่นคนแรก$W$

วิธีการหนึ่งที่จะคิดออกนี้เริ่มต้นจากการสังเกตว่าขั้นตอนจะเทียบเท่ากับการวาดภาพ+ ขบัตรจากดาดฟ้า, การแรกออกของผู้ที่จะเป็นบัตรที่ผู้เล่นคนแรกและส่วนที่เหลืออีกขจะเป็นบัตรที่ผู้เล่นที่สองของ ในบรรดาไพ่เหล่านี้ให้jเป็นค่าสูงสุดและให้k ≥ 1เป็นจำนวนไพ่ของค่านั้น ผู้เล่นคนแรกชนะเฉพาะเมื่อเธอถือไพ่kทั้งหมด หลายวิธีในการที่บัตรโดยเฉพาะอย่างยิ่งผู้ที่สามารถพบได้ในหมู่บัตรในขณะที่จำนวนของวิธีการของการวางตำแหน่งเหล่านั้นบัตรในทุก$a+b$$a$$b$$j$$k \ge 1$$k$$a$$\binom{a}{k}$$k$$a+b$ที่ถูกวาดเป็น{K}$\binom{a+b}{k}$

ตอนนี้โอกาสที่เป็นค่าสูงสุดและมีบัตรดังกล่าวเป็นโอกาสในการเลือกจากบัตรของมูลค่าและเลือกที่เหลือออกจากที่ต่ำกว่าค่า เนื่องจากมีวาดที่สวมใส่ได้ของการ์ดคำตอบคือ$j$$k$$k$$n_j$$j$$a+b-k$$n_1 + n_2 + \cdots + n_{j-1} = N_{j-1}$$\binom{N_m}{a+b}$$a+b$

$$\Pr(W) = \frac{1}{\binom{N_m}{a+b}}\sum_{j=1}^m \sum_{k=1}^{n_j} \frac{\binom{a}{k}}{\binom{a+b}{k}}\binom{n_j}{k}\binom{N_{j-1}}{a+b-k}.$$

(ในนิพจน์นี้และสัมประสิทธิ์ทวินามใด ๆ ที่มีค่าสูงสุดน้อยกว่าค่าต่ำสุดหรือค่าต่ำสุดเป็นลบจะถูกนำมาเป็นศูนย์) เป็นการคำนวณที่ค่อนข้างมีประสิทธิภาพโดยใช้เวลาเป็นสัดส่วนกับจำนวนการ์ด ในสำรับ เพราะเกี่ยวข้องกับค่าสัมประสิทธิ์ทวินามเฉพาะมันเป็นคล้อยตามการประมาณค่า asymptotic ใหญ่ของและข$N_0=0$$a$$b$

---

ในบางกรณีคุณอาจต้องการแก้ไขคำจำกัดความของ "win" สิ่งนี้เกิดขึ้นได้อย่างง่ายดายโดยการเปลี่ยนค่าของและสูตรเดียวกันจะคำนวณโอกาสที่ผู้เล่นคนที่สองชนะทันที ความแตกต่างระหว่างและผลรวมของสองโอกาสนั้นคือโอกาสในการเสมอกัน คุณสามารถกำหนดโอกาสในการผูกให้กับผู้เล่นในสัดส่วนที่คุณต้องการ$a$$b$$1$

---

ในชั้นธรรมดามากของการเล่นไพ่และสำหรับม. เหตุฉะนั้นให้เราพิจารณาดาดฟ้าใด ๆ ในที่ทุกเป็นค่าเดียวกันพูดnในกรณีนี้และสูตรก่อนหน้านี้จะลดความซับซ้อนลงเล็กน้อย$m=13$$n_i=4$$i=1, 2, \ldots, m$$n_i$$n$$N_{j-1} = (j-1)n$

$$\Pr(W) = \frac{1}{\binom{m n}{a+b}}\sum_{k=1}^{n}\frac{\binom{a}{k}}{\binom{a+b}{k}}\binom{n}{k}\sum_{j=1}^m \binom{(j-1)n}{a+b-k}.$$

ยกตัวอย่างเช่นมีและในทั่วไปสำรับไพ่ 52 จาก 13 อันดับ,และ ,0.3176 การจำลอง 100,000 บทละครของเกมนี้สร้างประมาณซึ่งมีความแม่นยำถึงเกือบสามตัวเลขที่สำคัญและไม่แตกต่างอย่างมีนัยสำคัญจากสิ่งที่สูตรระบุ$m=13$$n=4$$a=4$$b=6$$\Pr(W) = \frac{12297518}{38720339}\approx 0.3176$$0.3159$

---

ต่อไปนี้Rรหัสแก้ไขได้อย่างง่ายดายในการประมาณการสำหรับการใด ๆ ดาดฟ้า: เพียงแค่การเปลี่ยนแปลง, และ มันได้รับการตั้งค่าให้ทำงานเพียง 10,000 บทละครซึ่งควรใช้เวลาน้อยกว่าหนึ่งวินาทีในการดำเนินการและดีสำหรับตัวเลขสองตัวที่สำคัญในการประมาณ$\Pr(W)$abdeck

a <- 4
b <- 6
deck <- rep(1:13, 4)
set.seed(17)
cards <- replicate(1e4, sample(deck, a+b))
win <- apply(cards, 2, function(x) max(x[1:a]) > max(x[-(1:a)]))
m <- mean(win)
se <- sqrt(m*(1-m)/length(win))
cat("Estimated Pr(a wins) =", round(m, 4), "+/-", round(se, 5), "\n")

เอาต์พุตในอินสแตนซ์นี้คือ

ค่าใช้จ่ายโดยประมาณ (a wins) = 0.3132 +/- 0.00464