วิธีการพิสูจน์ว่า

ฉันพยายามสร้างความไม่เท่าเทียมกัน

$| T_{i} | = \frac{| X_{i} - \bar{X} |}{S} \leq \frac{n - 1}{\sqrt{n}}$ $\left| T_i \right|=\frac{\left|X_i -\bar{X} \right|}{S} \leq\frac{n-1}{\sqrt{n}}$

โดยที่คือค่าเฉลี่ยตัวอย่างและเป็นส่วนเบี่ยงเบนมาตรฐานตัวอย่างนั่นคือ {n-1}} $\bar{X}$ $S$ $S=\sqrt{\frac{\sum_{i=1}^n \left( X_i -\bar{X} \right)^2}{n-1}}$

มันง่ายที่จะเห็นว่าและแต่สิ่งนี้ไม่ใกล้เคียงกับสิ่งที่ฉันค้นหามามากและมันก็ไม่มีประโยชน์ ฉันได้ทดลองกับ Cauchy-Schwarz และความไม่เท่าเทียมกันของรูปสามเหลี่ยม แต่ไม่มีที่ไหนเลย จะต้องมีขั้นตอนที่บอบบางที่ฉันหายไปที่ไหนสักแห่ง ฉันขอขอบคุณความช่วยเหลือบางส่วนขอบคุณ $\sum_{i=1}^n T_i^2 = n-1$ $\left| T_i \right| < \sqrt{n-1}$

self-study descriptive-statistics bounds

— JohnK
แหล่งที่มา

คำตอบ:

นี่คือความไม่เท่าเทียมกันของแซมวลและมันต้องการเข้าสู่ระบบ ถ้าคุณใช้รุ่นวิกิพีเดียและการทำงานซ้ำมันเป็นความหมายของคุณจะพบว่ามันจะกลายเป็น $\leq$ $n-1$ $S,$

\frac{| X_{i} - \bar{X} |}{S} \leq \frac{n - 1}{\sqrt{n}}

${{ \left| X_i-\bar X \right| } \over S} \leq {{n-1} \over \sqrt{n}}$

— soakley
แหล่งที่มา

มันได้รับความไม่เท่าเทียมกันอย่างเข้มงวดในหนังสือ แต่ฉันได้แก้ไขแล้วขอบคุณ

— JohnK

หลังจากทำให้ปัญหาง่ายขึ้นโดยใช้วิธีการตามปกติมันสามารถแก้ไขได้โดยการแปลงให้เป็นโปรแกรมย่อขนาดคู่ซึ่งมีคำตอบที่รู้จักกันดีพร้อมหลักฐานเบื้องต้น บางทีการทำให้เป็นคู่นี้อาจเป็น "ขั้นตอนที่ละเอียดอ่อน" ที่อ้างถึงในคำถาม ความไม่เท่าเทียมกันยังสามารถสร้างขึ้นในลักษณะเชิงกลอย่างหมดจดโดยการเพิ่มผ่านตัวคูณ Lagrange $|T_i|$

ก่อนอื่นฉันขอนำเสนอโซลูชันที่สง่างามยิ่งขึ้นโดยยึดตามรูปทรงสี่เหลี่ยมน้อยที่สุด มันไม่จำเป็นต้องมีการทำให้เข้าใจง่ายเบื้องต้นและเกือบจะทันทีโดยให้สัญชาติญาณโดยตรงในผลลัพธ์ ตามที่แนะนำในคำถามปัญหาจะลดความไม่เท่าเทียมกันของ Cauchy-Schwarz

วิธีการแก้ปัญหาทางเรขาคณิต

พิจารณาเป็นเวกเตอร์ -dimensional ในปริภูมิแบบยุคลิดด้วยผลิตภัณฑ์แบบจุดปกติ ปล่อยเป็นเวกเตอร์พื้นฐานและ1) เขียนและสำหรับประมาณการมุมฉากของและเข้ามาเติมเต็มมุมฉากของ{1} (ในทางสถิติคำศัพท์พวกเขาเป็นคนที่เหลือด้วยความเคารพหมายถึง) แล้วตั้งแต่และ $\mathbf{x} = (X_1, X_2, \ldots, X_n)$ $n$ $\mathbf{y} = (0,0,\ldots,0,1,0,\ldots,0)$ $i^\text{th}$ $\mathbf{1} = (1,1,\ldots, 1)$ $\mathbf{\hat x}$ $\mathbf{\hat y}$ $\mathbf{x}$ $\mathbf{y}$ $\mathbf{1}$ $X_i-\bar X = \mathbf{\hat x}\cdot \mathbf{y}$ $S = ||\mathbf{\hat x}||/\sqrt{n-1}$ ,

| T_{i} | = \sqrt{n - 1} \frac{| \hat{x} \cdot y |}{| | \hat{x} | |} = \sqrt{n - 1} \frac{| \hat{x} \cdot \hat{y} |}{| | \hat{x} | |}

$|T_i| = \sqrt{n-1}\frac{|\mathbf{\hat x} \cdot \mathbf{y}|}{||\mathbf{\hat x}||} = \sqrt{n-1}\frac{|\mathbf{\hat x} \cdot \mathbf{\hat y}|}{||\mathbf{\hat x}||}$

เป็นส่วนประกอบของในทิศทาง โดย Cauchy-Schwarz มันจะถูกขยายให้มากที่สุดเมื่อขนานกับ , ซึ่ง QED $\mathbf{\hat y}$ $\mathbf{\hat x}$ $\mathbf{\hat x}$ $\mathbf{\hat y} = (-1,-1,\ldots,-1,n-1,-1,-1,\ldots,-1)/n$

T_{i} = \pm \sqrt{n - 1} \frac{\hat{y} \cdot \hat{y}}{| | \hat{y} | |} = \pm \sqrt{n - 1} | | \hat{y} | | = \pm \frac{n - 1}{\sqrt{n}},

$T_i = \pm \sqrt{n-1} \frac{\mathbf{\hat y}\cdot \mathbf{\hat y} }{ ||\mathbf{\hat y}||} = \pm\sqrt{n-1}||\mathbf{\hat y}|| = \pm\frac{n-1}{\sqrt{n}},$

อนึ่งโซลูชันนี้ให้การจำแนกลักษณะเฉพาะของทุกกรณีที่ถูกขยายให้ใหญ่สุด: มันเป็นแบบฟอร์มทั้งหมด $|T_i|$

x = σ \hat{y} + μ 1 = σ (- 1, - 1, \dots, - 1, n - 1, - 1, - 1, \dots, - 1) + μ (1, 1, \dots, 1)

$\mathbf{x} = \sigma\mathbf{\hat y} + \mu\mathbf{1} = \sigma(-1,-1,\ldots,-1,n-1,-1,-1,\ldots,-1) + \mu(1,1,\ldots, 1)$

สำหรับจริงทั้งหมด\ $\mu, \sigma$

การวิเคราะห์นี้สรุปได้อย่างง่ายดายในกรณีที่จะถูกแทนที่ด้วยชุด regressors ใด ๆ เห็นได้ชัดว่าสูงสุดของเป็นสัดส่วนกับความยาวของส่วนที่เหลือของ ,. $\{\mathbf{1}\}$ $T_i$ $\mathbf{y}$ $||\mathbf{\hat y}||$

การทำให้เข้าใจง่าย

เพราะคงที่อยู่ภายใต้การเปลี่ยนแปลงของสถานที่ตั้งและขนาดเราอาจคิดกับการสูญเสียของทั่วไปไม่ว่าผลรวมเป็นศูนย์รวมของพวกเขาและสี่เหลี่ยมเพื่อn-1สิ่งนี้จะระบุด้วยตั้งแต่ (ตารางค่าเฉลี่ย) เป็น1เพิ่มมันเป็นประหนึ่งการเพิ่ม 2 ไม่มีการสูญเสียโดยทั่วไปเมื่อใช้เนื่องจากสามารถแลกเปลี่ยนได้ $T_i$ $X_i$ $n-1$ $|T_i|$ $|X_i|$ $S$ $1$ $|T_i|^2 = T_i^2 = X_i^2$ $i=1$ $X_i$

โซลูชันผ่านการกำหนดสูตรคู่

ปัญหาที่สองคือการแก้ไขค่าของและถามว่าค่าของจะต้องมีอะไรบ้างเพื่อลดผลรวมของกำลังสองที่0 เพราะจะได้รับปัญหานี้เป็นปัญหาของการลดกำหนดว่า-X_1 $X_1^2$ $X_j, j\ne 1$ $\sum_{j=1}^n X_j^2$ $\sum_{j=1}^n X_j = 0$ $X_1$ $\sum_{j=2}^n X_j^2$ $\sum_{j=2}^n X_j = -X_1$

การแก้ปัญหาสามารถพบได้ง่ายในหลาย ๆ หนึ่งในขั้นพื้นฐานที่สุดคือการเขียน

X_{j} = - \frac{X_{1}}{n - 1} + ε_{j}, j = 2, 3, \dots, n

$X_j = -\frac{X_1}{n-1} + \varepsilon_j,\ j=2, 3, \ldots, n$

ที่0 การขยายฟังก์ชั่นวัตถุประสงค์และใช้ข้อมูลประจำตัวแบบรวมถึงศูนย์เพื่อทำให้การสร้างง่ายขึ้น $\sum_{j=2}^n \varepsilon_j = 0$

\sum_{j = 2}^{n} X_{j}^{2} = \sum_{j = 2}^{n} {(- \frac{X_{1}}{n - 1} + ε_{j})}^{2} = \sum {(- \frac{X_{1}}{n - 1})}^{2} - 2 \frac{X_{1}}{n - 1} \sum ε_{j} + \sum ε_{j}^{2} = Constant + \sum ε_{j}^{2},

$\sum_{j=2}^n X_j^2 = \sum_{j=2}^n \left(-\frac{X_1}{n-1} + \varepsilon_j\right)^2 = \\\sum \left(-\frac{X_1}{n-1}\right)^2 - 2\frac{X_1}{n-1}\sum \varepsilon_j + \sum \varepsilon_j^2 \\= \text{Constant} + \sum \varepsilon_j^2,$

ทันทีที่แสดงให้เห็นถึงวิธีการแก้ปัญหาที่ไม่ซ้ำกันคือสำหรับทุกJสำหรับวิธีนี้ $\varepsilon_j=0$ $j$

(n - 1) S^{2} = X_{1}^{2} + (n - 1) {(- \frac{X_{1}}{n - 1})}^{2} = (1 + \frac{1}{n - 1}) X_{1}^{2} = \frac{n}{n - 1} X_{1}^{2}

$(n-1)S^2 = X_1^2 + (n-1)\left(-\frac{X_1}{n-1}\right)^2 = \left(1 + \frac{1}{n-1}\right)X_1^2 = \frac{n}{n-1}X_1^2$

และ

| T_{i} | = \frac{| X_{1} |}{S} = \frac{| X_{1} |}{\sqrt{\frac{n}{(n - 1)^{2}} X_{1}^{2}}} = \frac{n - 1}{\sqrt{n}},

$|T_i| = \frac{|X_1|}{S} = \frac{|X_1|}{\sqrt{\frac{n}{(n-1)^2}X_1^2}} = \frac{n-1}{\sqrt{n}},$

QED

โซลูชันผ่านเครื่องจักร

กลับไปที่โปรแกรมง่าย ๆ ที่เราเริ่มต้นด้วย:

Maximize X_{1}^{2}

$\text{Maximize } X_1^2$

ภายใต้

\sum_{i = 1}^{n} X_{i} = 0 and \sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{2} - (n - 1) = 0.

$\sum_{i=1}^n X_i = 0\text{ and }\sum_{i=1}^n X_i^2 -(n-1)=0.$

วิธีการของตัวคูณลากรองจ์ (ซึ่งเกือบจะเป็นกลไกเชิงกลและตรงไปตรงมา) เท่ากับการรวมกันเชิงเส้นที่ไม่เกี่ยวข้องของการไล่ระดับสีของฟังก์ชันทั้งสามนี้ให้เป็นศูนย์:

(0, 0, \dots, 0) = λ_{1} D (X_{1}^{2}) + λ_{2} D (\sum_{i = 1}^{n} X_{i}) + λ_{3} D (\sum_{i = 1}^{n} X_{i}^{2} - (n - 1)) .

$(0,0,\ldots, 0) = \lambda_1 D(X_1^2) + \lambda_2 D\left(\sum_{i=1}^n X_i\right ) + \lambda_3 D\left(\sum_{i=1}^n X_i^2 -(n-1)\right).$

ส่วนประกอบโดยส่วนประกอบสมการเหล่านี้คือ $n$

\begin{aligned} 0 & = 2 λ_{1} X_{1} + & λ_{2} & + 2 λ_{3} X_{1} \\ 0 & = & λ_{2} & + 2 λ_{3} X_{2} \\ 0 & = \dots \\ 0 & = & λ_{2} & + 2 λ_{3} X_{n} . \end{aligned}

$\eqalign{ 0 &= 2\lambda_1 X_1 +& \lambda_2 &+ 2\lambda_3 X_1 \\ 0 &= & \lambda_2 &+ 2\lambda_3 X_2 \\ 0 &= \cdots \\ 0 &= & \lambda _2 &+ 2\lambda_3 X_n. }$

สุดท้ายของพวกเขาบ่งบอกทั้งหรือ 0 (เราอาจออกกฎกรณีหลังแล้วเพราะสมการแรกหมายถึง . trivializing การผสมผสานเชิงเส้น) ผลรวมการศูนย์ จำกัด ผลิต- ข้อ จำกัด ผลรวมของกำลังสองให้โซลูชันทั้งสอง $n-1$ $X_2 = X_3 = \cdots = X_n = -\lambda_2/(2\lambda_3)$ $\lambda_2=\lambda_3=0$ $\lambda_1=0$ $X_1 = -(n-1)X_2$

X_{1} = \pm \frac{n - 1}{\sqrt{n}}; X_{2} = X_{3} = \dots = X_{n} = \mp \frac{1}{\sqrt{n}} .

$X_1 = \pm\frac{n-1}{\sqrt{n}};\ X_2 = X_3 = \cdots = X_n = \mp\frac{1}{\sqrt{n}}.$

พวกเขาทั้งสองให้ผลผลิต

| T_{i} | = | X_{1} | \leq | \pm \frac{n - 1}{\sqrt{n}} | = \frac{n - 1}{\sqrt{n}} .

$|T_i| = |X_1| \le |\pm\frac{n-1}{\sqrt{n}}| = \frac{n-1}{\sqrt{n}}.$

— whuber
แหล่งที่มา

ขอบคุณสำหรับภาคผนวกของคุณรูปทรงเรขาคณิตนั้นทรงพลังมากและในบรรดาโซลูชั่นทั้งสามนั้นเป็นสิ่งที่ใช้งานง่ายที่สุดสำหรับฉัน

— JohnK

ความไม่เท่าเทียมดังที่กล่าวไว้เป็นจริง มันค่อนข้างชัดเจนโดยสังหรณ์ว่าเราได้รับกรณีที่ยากที่สุดสำหรับความไม่เท่าเทียมกัน (นั่นคือการเพิ่มด้านซ้ายสุดสำหรับ ) โดยการเลือกค่าหนึ่งพูดให้ใหญ่ที่สุดเท่าที่จะเป็นไปได้ ให้เราดูตัวอย่างด้วยการกำหนดค่าดังกล่าว: $S^2$ $x_1$

n = 4, x_{1} = x_{2} = x_{3} = 0, x_{4} = 4, \bar{x} = 1, S^{2} = 4,

$n=4, \quad x_1=x_2=x_3=0, x_4=4, \bar{x}=1, S^2=4,$ ตอนนี้ขึ้นอยู่กับในขณะที่ขีด จำกัด บนที่กำหนดเท่ากับซึ่งเป็นเพียง พอ. ความคิดนั้นสามารถพิสูจน์ให้สมบูรณ์ได้

\frac{| x_{i} - \bar{x} |}{S} = {\begin{cases} \frac{1}{2} or \\ \frac{3}{2} \end{cases}

$\frac{|x_i-\bar{x}|}{S}=\begin{cases} \frac12 ~\text{or}~ \\ \frac32 \end{cases}$

i

$i$

\frac{4 - 1}{2} = 1.5

$\frac{4-1}{2}=1.5$

แก้ไข

ตอนนี้เราจะพิสูจน์การอ้างสิทธิ์ตามคำแนะนำข้างต้น อันดับแรกสำหรับเวกเตอร์ที่ได้รับในปัญหานี้เราสามารถแทนที่มันด้วยโดยไม่ต้องเปลี่ยนด้านข้างของความไม่เท่าเทียมกันด้านใดด้านหนึ่ง ดังนั้นในต่อไปนี้ให้เราคิดว่า 0 นอกจากนี้เรายังสามารถทำการ relabelling สมมติว่าใหญ่ที่สุด จากนั้นโดยเลือกแรกแล้วเราสามารถตรวจสอบด้วยพีชคณิตแบบง่าย ๆ ที่เรามีความเสมอภาคในความไม่เท่าเทียมกันอ้างว่า ดังนั้นจึงคม $x=(x_1, x_2, \dots, x_n)$ $x-\bar{x}$ $\bar{x}=0$ $x_1$ $x_1>0$ $x_2=x_3=\dots=x_n=-\frac{x_1}{n-1}$

จากนั้นกำหนดภูมิภาค (นูน)โดย สำหรับรับในเชิงบวกอย่างต่อเนื่อง 2 โปรดทราบว่าคือจุดตัดของไฮเปอร์เพลนที่มีทรงกลมที่ศูนย์กลางกำเนิดดังนั้นจึงมีทรงกลมใน -space ขณะนี้ปัญหาของเราสามารถกำหนดเป็น ตั้งแต่ $R$

R = {x \in R : \bar{x} = 0, \sum (x_{i} - \bar{x})^{2} / (n - 1) \leq S^{2}}

$R = \{ x\in\mathbb{R} \colon \bar{x}=0, \sum(x_i-\bar{x})^2/(n-1) \le S^2\}$

S^{2}

$S^2$

R

$R$

(n - 1)

$(n-1)$

max_{x \in R} max_{i} | x_{i} |

$\max_{x\in R} \max_i |x_i|$

x

$x$ การขยายให้ใหญ่สุดซึ่งจะเป็นกรณีที่ยากที่สุดสำหรับความไม่เท่าเทียมกัน นี่เป็นปัญหาในการหาฟังก์ชั่นการนูนสูงสุดของเซตนูนซึ่งโดยทั่วไปแล้วจะเป็นปัญหาที่ยาก (ต่ำสุดง่าย!) แต่ในกรณีนี้พื้นที่นูนเป็นทรงกลมที่ศูนย์กลางกำเนิดและฟังก์ชันที่เราต้องการขยายให้ใหญ่สุดคือค่าสัมบูรณ์ของพิกัด เห็นได้ชัดว่าจำนวนสูงสุดพบได้ในขอบเขตของและโดยการสูงสุดกรณีทดสอบครั้งแรกของเราถูกบังคับ

R

$R$

| x_{1} |

$|x_1|$

— kjetil b halvorsen
แหล่งที่มา

@JohnK คุณสามารถลบความคิดเห็นของคุณตอนนี้โพสต์ได้รับการแก้ไข

— kjetil b halvorsen

แม้ว่าคำตอบนี้จะแสดงให้เห็นว่าความไม่เท่าเทียมกัน (สมมติว่าเป็นจริงซึ่งก็คือ) นั้นแน่นแต่ก็ไม่เห็นชัดเจนว่าการคำนวณเดี่ยวนั้นสามารถ "สมบูรณ์เพื่อพิสูจน์" คุณช่วยบอกได้ว่าจะทำอย่างไร?

— whuber

ความประสงค์ แต่พรุ่งนี้ตอนนี้ฉันต้องเตรียมชั้นเรียนในวันพรุ่งนี้

— kjetil b halvorsen

ขอบคุณ - ฉันขอขอบคุณที่คุณกำหนดปัญหาอย่างระมัดระวัง แต่ "หลักฐาน" ของคุณดูเหมือนจะมาจากคำกล่าวที่ว่า "ชัดเจน" คุณสามารถใช้ตัวคูณทวีคูณ Lagrange เพื่อทำงานให้เสร็จได้ แต่มันจะเป็นการดีถ้าได้เห็นแนวทางที่ (a) จริง ๆ เป็นข้อพิสูจน์และ (b) ให้ข้อมูลเชิงลึก

— whuber

@whuber หากคุณมีเวลาฉันจะขอบคุณถ้าคุณสามารถโพสต์โซลูชั่นตัวคูณของคุณลากรองจ์ ฉันคิดว่าความไม่เท่าเทียมโดยรวมนั้นไม่ได้มีชื่อเสียงเท่าที่ควร

— JohnK