พิจารณาละสองครั้งอนุพันธ์และการกระจายสมมาตร\ทีนี้ลองพิจารณาการแจกแจงที่แตกต่างกันสองครั้งที่สอง rigth บิดเบือนในแง่ที่ $\mathcal{F}_X$ $\mathcal{F}_Z$

(1) F_{X} ⪯_{c} F_{Z} .

$(1)\quad\mathcal{F}_X\preceq_c\mathcal{F}_Z.$

โดยที่ $\preceq_c$ เป็นคำสั่งนูนของ van Zwet [0] ดังนั้น $(1)$ จึงเท่ากับ:

(2) F_{Z}^{- 1} F_{X} (x) is convex \forall x \in R .

$(2)\quad F^{-1}_ZF_X(x)\text{ is convex $\forall x\in\mathbb{R}.$}$

ลองพิจารณาการแจกแจงที่แตกต่างกันสองสามครั้ง $\mathcal{F}_Y$ น่าพอใจ:

(3) F_{Y} ⪯_{c} F_{Z} .

$(3)\quad\mathcal{F}_Y\preceq_c\mathcal{F}_Z.$

คำถามของฉันคือเราสามารถหาการแจกแจง $\mathcal{F}_Y$ และการกระจายแบบสมมาตร $\mathcal{F}_X$ เพื่อเขียนใด ๆ $\mathcal{F}_Z$ (ทั้งสามนิยามไว้ข้างต้น) ในแง่ขององค์ประกอบของ $\mathcal{F}_X$ และ $\mathcal{F}_Y$ เป็น:

F_{Z} (z) = F_{Y} F_{X}^{- 1} F_{Y} (z)

$F_Z(z)=F_YF_X^{-1}F_Y(z)$

หรือไม่?

แก้ไข:

ตัวอย่างเช่นถ้า $\mathcal{F}_X$ คือ Weibull พร้อมพารามิเตอร์รูปร่าง 3.602349 (เพื่อให้สมมาตร) และ $\mathcal{F}_Z$ คือการแจกแจงแบบ Weibull พร้อมพารามิเตอร์รูปร่าง 3/2 (เพื่อให้เอียงไปทางขวา) ฉันเข้าใจ

max_{z} | F_{Z} (z) - F_{Y} F_{X}^{- 1} F_{Y} (z) | \approx 0

$\max_z|F_Z(z)-F_YF_X^{-1}F_Y(z)|\approx 0$

โดยการตั้งค่าเป็นการกระจาย Weibull พร้อมพารามิเตอร์รูปร่าง 2.324553 โปรดทราบว่าการแจกแจงทั้งสามตอบสนอง: $\mathcal{F}_Y$

F_{- X} = F_{X} ⪯_{c} F_{Y} ⪯_{c} F_{Z},

$\mathcal{F}_{-X}=\mathcal{F}_X\preceq_c\mathcal{F}_Y\preceq_c\mathcal{F}_Z,$ ตามที่ต้องการ ฉันสงสัยว่านี่เป็นเรื่องจริงโดยทั่วไป (ภายใต้เงื่อนไขที่ระบุไว้)

[0] van Zwet, WR (1979) Mean, มัธยฐาน, โหมด II (1979) Statistica Neerlandica เล่มที่ 33 ฉบับที่ 1 หน้า 1--5

distributions skewness

— user603
แหล่งที่มา

No!

ตัวอย่างง่ายๆคือการแจกแจงโดย Tukey (กรณีพิเศษสำหรับของการแจกแจงTukeyและ ) $g$ $h=0$ $g$ $h$

ตัวอย่างเช่นให้เป็น Tukeyพร้อมพารามิเตอร์และเป็น Tukeyพร้อมพารามิเตอร์ และการกระจายTukeyที่g_Z ตั้งแต่วิทยานิพนธ์เหล่านี้มีการแจกแจงที่สาม: $\mathcal{F}_X$ $g$ $g_X=0$ $\mathcal{F}_Z$ $g$ $g_Z>0$ $\mathcal{F}_Y$ $g$ $g_Y\leq g_Z$ $h=0$

F_{- X} = F_{X} ⪯_{c} F_{Y} ⪯_{c} F_{Z} .

$\mathcal{F}_{-X}=\mathcal{F}_X\preceq_c\mathcal{F}_Y\preceq_c\mathcal{F}_Z.$

(อันแรกมาจากคำจำกัดความของ Tukeyซึ่งสมมาตรถ้า , อันถัดไปจาก [0], ทฤษฎีบท 2.1 (i)) $g$ $g=0$

ตัวอย่างเช่นสำหรับเรามี: $g_Z=0.5$

min_{g_{Y} \leq g_{Z}} max_{z} | F_{Z} (z) - F_{Y} F_{X}^{- 1} F_{Y} (z) | \approx 0.005 > 0

$\min_{g_Y\leq g_Z}\max_z|F_Z(z)-F_YF^{-1}_XF_Y(z)|\approx0.005>0$

(ด้วยเหตุผลบางอย่างค่าต่ำสุดน่าจะใกล้เคียงกับ ) $g_Y\approx g_Z/2$

[0] HL MacGillivray รูปร่างคุณสมบัติของตระกูล g-and-h และ Johnson Comm นักสถิติ. - วิธีทฤษฎี, 21 (5) (1992), หน้า 1233–1250

แก้ไข:

ในกรณีของ Weibull การอ้างสิทธิ์เป็นจริง:

ให้เป็นการแจกแจงแบบ Weibull พร้อมพารามิเตอร์รูปร่าง (พารามิเตอร์ scale ไม่ส่งผลต่อการสั่งซื้อแบบนูนเพื่อให้เราสามารถตั้งค่าเป็น 1 โดยไม่สูญเสียค่าทั่วไป) ในทำนองเดียวกัน , และและw_X $\mathcal{F}_Z$ $w_Z$ $\mathcal{F}_Y$ $\mathcal{F}_X$ $w_Y$ $w_X$

ข้อแรกให้ทราบว่าการแจกแจงแบบ Weibull ใด ๆ สามครั้งสามารถสั่งได้ในความหมายของ [0]

ถัดไปโปรดทราบว่า:

F_{X} = F_{- X} ⟹ w_{X} = 3.602349.

$\mathcal{F}_X=\mathcal{F}_{-X}\implies w_X=3.602349.$

ตอนนี้สำหรับ Weibull:

F_{Y} (y) = 1 - \exp ((- y)^{w_{Y}}), F_{Y}^{- 1} (q) = (- \ln (1 - q))^{1 / w_{Y}},

$F_Y(y)=1-\exp((-y)^{w_Y}),\;F_Y^{-1}(q)=(-\ln(1-q))^{1/w_Y},$

ดังนั้น

F_{Y} F_{X}^{- 1} F_{Y} (z) = 1 - \exp (- z^{w_{Y}^{2} / w_{X}}),

$F_YF_X^{-1}F_Y(z)=1-\exp(-z^{w_Y^2/w_X}),$

ตั้งแต่

F_{Z} (z) = 1 - \exp (- z^{w_{Z}}) .

$F_Z(z)=1-\exp(-z^{w_Z}).$

ดังนั้นการเรียกร้องจะสามารถมีความพึงพอใจโดยการตั้งค่า w_X} $w_Y=\sqrt{w_Z/w_X}$

[0] van Zwet, WR (1979) Mean, มัธยฐาน, โหมด II (1979) Statistica Neerlandica เล่มที่ 33 ฉบับที่ 1 หน้า 1--5
[1] Groeneveld, RA (1985) ความเบ้สำหรับครอบครัว weibull Statistica Neerlandica เล่มที่ 40 ฉบับที่ 3 หน้า 135–140

— user603
แหล่งที่มา

เราสามารถเขียนการแจกแจงเบ้ที่ถูกต้องได้เสมอในแง่ขององค์ประกอบของการแจกแจงโดยพลการและสมมาตรหรือไม่?

แก้ไข:

แก้ไข: