ความแตกต่างระหว่างข้อมูลเฉลี่ยแล้วทำการปรับและปรับข้อมูลให้เหมาะสม

หากมีให้ปรับเส้นให้พอดีกับ "การทดลอง" แยกหลายครั้งจากนั้นทำการหาค่าเฉลี่ยพอดีหรือเฉลี่ยข้อมูลจากการทดลองแยกต่างหากจากนั้นทำการปรับข้อมูลเฉลี่ยให้พอดี ให้ฉันทำอย่างละเอียด:

ฉันทำการจำลองคอมพิวเตอร์ซึ่งสร้างเส้นโค้งดังที่แสดงด้านล่าง เราดึงปริมาณออกมาเรียกมันว่า "A" โดยการปรับพื้นที่เชิงเส้นของพล็อต (นาน ๆ ) ค่าเป็นความชันของภูมิภาคเชิงเส้น แน่นอนว่ามีข้อผิดพลาดที่เกี่ยวข้องกับการถดถอยเชิงเส้นนี้

โดยทั่วไปเราจะเรียกใช้การจำลองเหล่านี้ 100 ครั้งหรือมากกว่าด้วยเงื่อนไขเริ่มต้นที่แตกต่างกันเพื่อคำนวณค่าเฉลี่ยของ "A" ฉันได้รับการบอกว่าเป็นการดีกว่าที่จะเฉลี่ยข้อมูลดิบ (จากพล็อตด้านล่าง) เป็นกลุ่มที่พูด 10 แล้วเหมาะสำหรับ "A" และเฉลี่ย 10 "A" ด้วยกัน

ฉันไม่มีสัญชาตญาณว่ามีข้อดีหรือไม่และดีกว่าการปรับค่า "A" ให้เหมาะสมกับบุคคล 100 คนและหาค่าเฉลี่ยเหล่านั้น

error fitting average

— pragmatist1
แหล่งที่มา

ฉันไม่แน่ใจว่าฉันเข้าใจ: คุณวัด A ณ เวลาต่างๆและคุณประเมินว่าหรือไม่ ถ้าอย่างนั้นคุณทำเช่นนี้หลายครั้งและคุณหาค่าเฉลี่ยของทั้งหมดหรือไม่

A = β_{0} + β_{1} t

$A= \beta_0 +\beta_1 t$

β_{1}

$\beta_1$

ขอโทษค่ะ เนื้อเรื่องด้านบนเป็นผลมาจากการจำลองเดี่ยว (เรียกว่าการทดลอง) เขตที่ไม่ใช่เชิงเส้นเริ่มต้นถูกยกเลิกเราจึงใส่เส้นตรงกับส่วนเชิงเส้นและรับความชัน "A" ดังนั้นการจำลองทั้งหมดทำให้ได้การประมาณ "A" เพียงครั้งเดียว แน่นอนคำถามของฉันหมุนรอบว่าค่าเฉลี่ยจำนวนมากแปลงแล้วคำนวณ A แตกต่างจากเพียงแค่การคำนวณ A สำหรับกลุ่มของแปลงและค่าเฉลี่ยพวกเขา หวังว่าชัดเจน

— pragmatist1

ฉันไม่เห็นว่าทำไมสิ่งนี้ถึงสร้างความแตกต่าง? (หากสมมติฐานสำหรับการถดถอยเชิงเส้นเป็นจริง)

ฉันเดาว่าอุปกรณ์ไม่เคยผิดพลาดหรือไม่มาบรรจบกัน / ให้การประเมินที่สูงชันอย่างน่าขันเนื่องจากการทดลองแต่ละครั้งมีขนาดเล็ก? นั่นจะเป็นสิ่งที่รวมรุ่นแรก (หรือโมเดลลำดับชั้น) เข้าด้วยกันสามารถช่วยได้

— Björn

คุณสามารถรวมข้อมูลทั้งหมดเข้าด้วยกันได้ แต่รวมส่วนประกอบบางอย่างเพื่อแยกความแตกต่างระหว่างการทดสอบ (การสกัดกั้นที่แตกต่างกันสำหรับการทดสอบแต่ละครั้ง วิธีนี้คุณสามารถประมาณความชันโดยรวมได้ แต่จะสามารถระบุเอฟเฟกต์ "แบทช์" หรือความแตกต่างระหว่างการทดสอบได้

— bdeonovic

คำตอบ:

ลองนึกภาพเราอยู่ในบริบทแผงข้อมูลที่มีการเปลี่ยนแปลงข้ามเวลาและทั่วทั้ง บริษัทผมคิดของแต่ละช่วงเวลาเป็นการทดลองแยกต่างหาก ฉันเข้าใจคำถามของคุณว่าเทียบเท่ากับการประเมินผลกระทบโดยใช้: $t$ $i$ $t$

การเปลี่ยนแปลงหน้าตัดในค่าเฉลี่ยอนุกรมเวลา
ค่าเฉลี่ยอนุกรมเวลาของการเปลี่ยนแปลงหน้าตัด

คำตอบโดยทั่วไปคือไม่

การตั้งค่า:

ในสูตรของฉันเราสามารถคิดถึงแต่ละช่วงเวลาเป็นการทดลองแยกต่างหาก $t$

สมมติว่าคุณมีแผงความยาวมากกว่าบริษัท หากเราแยกแต่ละช่วงเวลาออกจากกันฯลฯ ... เราสามารถเขียนข้อมูลโดยรวมเป็น: $T$ $n$ $(X_t, \mathbf{y}_t)$

Y = [\begin{matrix} y_{1} \\ y_{2} \\ \dots \\ y_{n} \end{matrix}] X = [\begin{matrix} X_{1} \\ X_{2} \\ \dots \\ X_{n} \end{matrix}]

$Y = \begin{bmatrix} \mathbf{y}_1 \\ \mathbf{y}_2 \\ \ldots \\ \mathbf{y}_n \end{bmatrix} \quad \quad X = \begin{bmatrix} X_1 \\ X_2 \\ \ldots \\ X_n \end{bmatrix}$

ค่าเฉลี่ยของความพอดี:

\begin{aligned} \frac{1}{T} \sum_{t} b_{t} & = \frac{1}{T} \sum_{t} {(X_{t}^{'} X_{t})}^{- 1} X_{t}^{'} y_{t} \\ = \frac{1}{T} \sum_{t} S_{t}^{- 1} (\frac{1}{n} \sum_{i} x_{t, i} y_{t, i}) where S_{t} = \frac{1}{n} \sum_{i} x_{t, i} x_{t, i}^{'} \end{aligned}

$\begin{align*} \frac{1}{T} \sum_t \mathbf{b}_t &= \frac{1}{T} \sum_t \left(X_t'X_t \right)^{-1} X_t' \mathbf{y}_t \\ &= \frac{1}{T} \sum_t S^{-1}_t \left( \frac{1}{n} \sum_i \mathbf{x}_{t,i} y_{t,i}\right) \quad \text{where } S_t = \frac{1}{n} \sum_i \mathbf{x}_{t,i} \mathbf{x}_{t,i}' \end{align*}$

พอดีกับค่าเฉลี่ย:

นี่ไม่ใช่โดยทั่วไปเท่ากับการประมาณการตามการเปลี่ยนแปลงหน้าตัดของค่าเฉลี่ยอนุกรมเวลา (เช่นระหว่างตัวประมาณ)

{(\frac{1}{n} \sum_{i} {\bar{x}}_{i} {\bar{x}}_{i}^{'})}^{- 1} \frac{1}{n} \sum_{i} {\bar{x}}_{i} {\bar{y}}_{i}

$\left( \frac{1}{n} \sum_i \bar{\mathbf{x}}_i \bar{\mathbf{x}}_i' \right)^{-1} \frac{1}{n} \sum_i \bar{\mathbf{x}}_i \bar{y}_i$

โดยที่ฯลฯ ... $\bar{\mathbf{x}}_i = \frac{1}{T} \sum_t \mathbf{x}_{t, i}$

การประมาณค่า OLS ที่รวมไว้:

สิ่งที่มีประโยชน์ที่ควรคิดคือการประมาณค่า OLS ที่รวมไว้ มันคืออะไร? จากนั้นใช้

\begin{aligned} \hat{b} & = {(X^{'} X)}^{- 1} X^{'} Y \\ = {(\frac{1}{n T} \sum_{t} X_{t}^{'} X_{t})}^{- 1} (\frac{1}{n T} \sum_{t} X_{t}^{'} y_{i}) \end{aligned}

$\begin{align*} \hat{\mathbf{b}} &= \left(X'X\right)^{-1}X'Y \\ &= \left( \frac{1}{nT} \sum_t X_t'X_t \right)^{-1} \left( \frac{1}{nT} \sum_t X_t' \mathbf{y}_i \right) \end{align*}$

b_{t} = {(X_{t}^{'} X_{t})}^{- 1} X_{t}^{'} y_{i}

$\mathbf{b}_t = \left(X_t'X_t \right)^{-1}X_t' \mathbf{y}_i$

\begin{aligned} = {(\frac{1}{n T} \sum_{t} X_{t}^{'} X_{t})}^{- 1} (\frac{1}{n T} \sum_{t} X_{t}^{'} X_{t} b_{t}) \end{aligned}

$\begin{align*} &= \left( \frac{1}{nT} \sum_t X_t'X_t \right)^{-1} \left( \frac{1}{nT} \sum_t X_t'X_t \mathbf{b}_t \right) \end{align*}$

ลองและเป็นค่าประมาณของเราในตัวอย่างเต็มและในช่วงเวลาตามลำดับ จากนั้นเรามี: $S = \frac{1}{nT} \sum_i X'X$ $S_t = \frac{1}{n} X_t'X_t$ $\operatorname{E}[\mathbf{x}\mathbf{x}']$ $t$

\begin{aligned} \hat{b} & = \frac{1}{T} \sum_{t} (S^{- 1} S_{t}) b_{t} \end{aligned}

$\begin{align*} \hat{\mathbf{b}} &= \frac{1}{T} \sum_t \left( S^{-1} S_t \right) \mathbf{b}_t \end{align*}$

นี่เป็นเหมือนค่าเฉลี่ยของเวลาที่ต่างกันโดยประมาณแต่มันต่างกันเล็กน้อย ในแง่ที่หลวมคุณจะให้น้ำหนักมากขึ้นในช่วงเวลาที่มีความแปรปรวนสูงกว่าของตัวแปรด้านขวามือ $\mathbf{b}_t$

กรณีพิเศษ: ตัวแปรด้านขวาเป็นค่าคงที่เวลาและเฉพาะเจาะจง

หากตัวแปรทางด้านขวาสำหรับแต่ละ บริษัทเป็นค่าคงที่ตลอดเวลา (เช่นสำหรับและใด ๆ) ดังนั้นสำหรับทั้งหมดและเราจะได้: $i$ $X_{t_1} = X_{t_2}$ $t_1$ $t_2$ $S = S_t$ $t$

\hat{b} = \frac{1}{T} \sum_{t} b_{t}

$\hat{\mathbf{b}} = \frac{1}{T} \sum_t \mathbf{b}_t$

ความคิดเห็นสนุก:

นี่เป็นกรณีของFama และ Macbethเมื่อพวกเขาใช้เทคนิคนี้ในการประมาณค่าตัดขวางเพื่อรับข้อผิดพลาดมาตรฐานที่สอดคล้องกันเมื่อประเมินว่าผลตอบแทนที่คาดหวังนั้นแตกต่างกันอย่างไรกับความแปรปรวนร่วมของ บริษัท กับตลาด (หรือปัจจัยอื่น ๆ

ขั้นตอน Fama-Macbeth เป็นวิธีที่ใช้งานง่ายเพื่อรับข้อผิดพลาดมาตรฐานที่สอดคล้องกันในบริบทพาเนลเมื่อเงื่อนไขข้อผิดพลาดมีความสัมพันธ์ข้ามส่วน แต่เป็นอิสระตลอดเวลา เทคนิคที่ทันสมัยกว่าที่ให้ผลลัพธ์ที่คล้ายกันคือการจัดกลุ่มตรงเวลา

— Matthew Gunn
แหล่งที่มา

(หมายเหตุ: ฉันไม่มีชื่อเสียงพอที่จะแสดงความคิดเห็นดังนั้นฉันจึงโพสต์สิ่งนี้เป็นคำตอบ)

สำหรับคำถามเฉพาะที่วางคำตอบโดยfcopถูกต้อง: การปรับค่าเฉลี่ยเท่ากับค่าเฉลี่ยที่พอดี (อย่างน้อยสำหรับสแควร์สเชิงเส้นน้อยที่สุด) อย่างไรก็ตามเป็นเรื่องที่ควรค่าแก่การกล่าวถึงว่าวิธีการ " ออนไลน์ " ที่ไร้เดียงสาอย่างใดอย่างหนึ่งเหล่านี้สามารถให้ผลลัพธ์ที่มีอคติได้เมื่อเปรียบเทียบกับการปรับข้อมูลทั้งหมดในครั้งเดียว ในฐานะที่เป็นสองเท่ากันฉันจะมุ่งเน้นไปที่วิธี "พอดีกับค่าเฉลี่ย" โดยพื้นฐานแล้วปรับเส้นโค้งเฉลี่ยจะละเว้นความไม่แน่นอนสัมพัทธ์ในค่าระหว่างจุดแตกต่างกัน ตัวอย่างเช่นถ้า ,และจากนั้น $\bar{y}[x]=\langle y[x]\rangle$ $y$ $x$ $y_1[x_1]=y_2[x_1]=2$ $y_1[x_2]=1$ $y_1[x_2]=3$ $\bar{y}[x_1]=\bar{y}[x_2]=2$ แต่ใด ๆ เส้นโค้งที่พอดีควรดูแลมากขึ้นเกี่ยวกับความไม่เหมาะที่เมื่อเทียบกับx_2 $x_1$ $x_2$

โปรดทราบว่าแพลตฟอร์มซอฟต์แวร์ทางวิทยาศาสตร์ส่วนใหญ่ควรมีเครื่องมือในการคำนวณ / อัปเดตสแควร์น้อยที่สุดที่เป็น "ออนไลน์" อย่างแท้จริง (รู้จักกันในชื่อสแควร์สมิทแบบเรียกซ้ำ ) ดังนั้นข้อมูลทั้งหมดสามารถใช้ (ถ้าเป็นที่ต้องการ)

— GeoMatt22
แหล่งที่มา

คำตอบที่โพสต์โดย fcop ถูกลบ คุณอาจต้องการแก้ไขคำตอบของคุณเล็กน้อย

— Glen_b -Reinstate Monica