การคำนวณฟังก์ชั่นลิงก์แบบบัญญัติใน GLM

ฉันคิดว่าฟังก์ชั่น canonical linkมาจากพารามิเตอร์ธรรมชาติของตระกูล exponential พูดดูครอบครัว ดังนั้นคือฟังก์ชันลิงก์แบบบัญญัติ ใช้การกระจาย Bernoulliเป็นตัวอย่างเรามี ดังนั้นฟังก์ชันลิงก์แบบบัญญัติ$g(\cdot)$

$$f(y,\theta,\psi)=\exp\left\{\frac{y\theta-b(\theta)}{a(\psi)}-c(y,\psi)\right\}$$ $\theta=\theta(\mu)$ $$P(Y=y)=\mu^{y}(1-\mu)^{1-y}=\exp\left\{y\log\frac{\mu}{1-\mu}+\log{(1-\mu)}\right\}$$ $$g(\mu)=\log\frac{\mu}{1-\mu}$$

แต่เมื่อฉันเห็นสไลด์นี้มันก็อ้างว่า

$$g'(\mu)=\frac{1}{V(\mu)}$$ แม้ว่ามันจะสามารถตรวจสอบได้ง่ายสำหรับการแจกแจงนี้โดยเฉพาะ (และการแจกแจงอื่น ๆ เช่นการแจกแจงปัวซอง) ฉันไม่เห็นความเท่าเทียมกันของกรณีทั่วไป ใครสามารถให้คำแนะนำได้บ้าง ขอบคุณ ~

ฟังก์ชั่นความแปรปรวนตัวแปร Bernoulli เป็น$V(\mu) = \mu(1-\mu)$MU) เราตรวจสอบได้ง่ายว่าด้วยการเชื่อมโยงที่ยอมรับได้$g(\mu) = \log \frac{\mu}{1-\mu} = \log \mu - \log(1-\mu)$จากนั้น

$$g'(\mu) = \frac{1}{\mu} + \frac{1}{1-\mu} = \frac{1 - \mu + \mu}{\mu(1-\mu)} = \frac{1}{\mu(1-\mu)} = \frac{1}{V(\mu)}.$$

สำหรับกรณีทั่วไปหนึ่งเกิดขึ้นจากคำนิยามที่ เห็นเช่นหน้า 28-29 ในMcCullagh และ Nelder ด้วยลิงก์มาตรฐานเรามีและฟังก์ชันความแปรปรวนถูกกำหนดเป็นซึ่งในแง่ของกลายเป็น ด้วยความแตกต่างของตัวตนเราจะได้

$$E(Y) = \mu = b'(\theta) \quad \text{ and } \quad \text{Var}(Y) = b''(\theta) a(\psi),$$ $g$$\theta = g(\mu) = g(b'(\theta))$$b''(\theta)$$\mu$ $$V(\mu) = b''(g(\mu)).$$ $\theta = g(b'(\theta))$ $$1 = g'(b'(\theta)) b''(\theta) = g'(\mu) V(\mu),$$

ในการก่อสร้างของฟังก์ชั่นกึ่งโอกาสมันเป็นธรรมชาติที่จะเริ่มต้นด้วยความสัมพันธ์ระหว่างค่าเฉลี่ยและความแปรปรวนที่ได้รับในแง่ของฟังก์ชั่นความแปรปรวนVในบริบทนี้การต่อต้านอนุพันธ์ของสามารถตีความได้ว่าเป็นลักษณะทั่วไปของฟังก์ชั่นการเชื่อมโยงดูตัวอย่างคำจำกัดความของโอกาสเสมือน (บันทึก) ในหน้า 325 (สูตร 9.3) ) ในMcCullagh และ Nelder $V$$V(\mu)^{-1}$