การกระจายสำหรับสูงสุด (ขั้นต่ำ) ของตัวแปรสุ่มแบบอิสระสองตัวคืออะไร

โดยเฉพาะสมมติว่า $X$ และ $Y$เป็นตัวแปรสุ่มปกติ (อิสระ แต่ไม่จำเป็นต้องมีการกระจายเหมือนกัน) รับเฉพาะใด ๆ$a$มีสูตรที่ดีสำหรับ $P(\max(X,Y)\leq x)$หรือแนวคิดที่คล้ายกัน เราจะรู้ว่า$\max(X,Y)$มีการกระจายตามปกติอาจจะเป็นสูตรสำหรับค่าเบี่ยงเบนมาตรฐานค่าเฉลี่ยและในแง่ของเหล่านั้นสำหรับ$X$และ$Y$ ? ฉันตรวจสอบสถานที่ปกติ (วิกิพีเดีย google) แต่ไม่พบอะไรเลย

Normals ที่ไม่เหมือนกันมากที่สุดสองค่าสามารถแสดงเป็นการกระจายแบบ Azzalini ที่บิดเบือนได้ ตัวอย่างเช่นดูงาน / งานนำเสนอปี 2007 โดยBalakrishnan

การดูสถิติการสั่งซื้อของ Bivariate และหลายตัวแปรที่มีความซับซ้อน
ศาสตราจารย์ Prof. N. Balakrishnan
บทความ / งานนำเสนอ (2007)

บทความล่าสุดโดย ( Nadarajah และ Kotz - ดูได้ที่นี่ ) ให้คุณสมบัติบางอย่างของ max :$(X,Y)$

Nadarajah, S. และ Kotz, S. (2008), "การกระจายแน่นอนของตัวแปรสุ่มแบบเกาส์สูงสุด / ต่ำสุด", ธุรกรรม IEEE บนระบบบูรณาการขนาดใหญ่มาก (VLSI), VOL. 16, ไม่ 2, กุมภาพันธ์ 2008

สำหรับการทำงานก่อนหน้าดู:

AP Basu และ JK Ghosh“ ความสามารถในการระบุตัวของการแจกแจงแบบพหุคูณและแบบอื่น ๆ ภายใต้แบบจำลองความเสี่ยงในการแข่งขัน” J. Multivariate Anal., vol. 8, pp. 413–429, 1978

HN Nagaraja และ NR Mohan,“ ในความเป็นอิสระของการกระจายชีวิตของระบบและสาเหตุของความล้มเหลว,” Scandinavian Actuarial J. , pp. 188–198, 1982

YL Tong การกระจายทั่วไปหลายตัวแปร นิวยอร์ก: Springer-Verlag, 1990

ท่านสามารถใช้ระบบพีชคณิตคอมพิวเตอร์เพื่อทำการคำนวณอัตโนมัติ ตัวอย่างเช่นกำหนดด้วย pdfและด้วย pdf :$X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$$f(x)$$Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$$g(y)$

... ไฟล์ PDF ของคือ:$Z = max(X,Y)$

ฉันกำลังใช้Maximumฟังก์ชันจากชุดmathStaticaของMathematicaและErfแสดงถึงฟังก์ชันข้อผิดพลาด

ฉันประหลาดใจที่ในคำตอบก่อนหน้านี้ไม่มีการกล่าวถึงคุณสมบัติที่น่าสนใจที่สุด: การแจกแจงความน่าจะเป็นแบบสะสมสำหรับสูงสุดเป็นผลคูณของการแจกแจงความน่าจะเป็นแบบนั้น ๆ