ที่ระดับอะไรคือการทดสอบ

ความเป็นมา:ข้ามอย่างปลอดภัย - อยู่ที่นี่เพื่อการอ้างอิงและทำให้คำถามถูกต้อง

การเปิดอ่านบทความนี้:

"การทดสอบไคสแควร์ที่มีชื่อเสียงของคาร์ลเพียร์สันได้มาจากสถิติอื่นที่เรียกว่าสถิติซีตามการแจกแจงแบบปกติรุ่นที่ง่ายที่สุดของ $\chi^2$ สามารถแสดงให้เห็นว่าเป็นคณิตศาสตร์ในทางคณิตศาสตร์เหมือนกับการทดสอบซีที่เทียบเท่า ในทุกสถานการณ์สำหรับทุกเจตนารมณ์และวัตถุประสงค์ "ไคสแควร์" อาจเรียกว่า "ซีสแควร์" ค่าวิกฤตของ $\chi^2$ สำหรับระดับอิสระหนึ่งระดับคือจตุรัสของค่าวิกฤตที่สอดคล้องกันของซี "

นี้ได้รับการยืนยันหลายครั้งใน CV ( ที่นี่ , ที่นี่ , ที่นี่และอื่น ๆ )

และแน่นอนเราสามารถพิสูจน์ได้ว่า $\chi^2_{1\,df}$ เทียบเท่ากับ $X^2$ ด้วย $X\sim N(0,1)$ :

สมมติว่า $X \sim N(0,1)$ และ $Y=X^2$ และค้นหาความหนาแน่นของ $Y$ โดยใช้วิธี $cdf$ :

)ปัญหาคือเราไม่สามารถรวมความหนาแน่นของการแจกแจงแบบปกติในรูปแบบปิด แต่เราสามารถแสดงได้: $p(Y \leq y) = p(X^2 \leq y)= p(-\sqrt{y} \leq x \leq \sqrt{y})$

รับอนุพันธ์:

F_{X} (y) = F_{X} (\sqrt{y}) - F_{X} (- \sqrt{y}) .

$F_X(y) = F_X(\sqrt{y})- F_X(-\sqrt[]{y}).$

f_{X} (y) = F_{X}^{'} (\sqrt{y}) \frac{1}{2 \sqrt{y}} + F_{X}^{'} (\sqrt{- y}) \frac{1}{2 \sqrt{y}} .

$f_X(y)= F_X'(\sqrt{y})\,\frac{1}{2\sqrt{y}}+ F_X'(\sqrt{-y})\,\frac{1}{2\sqrt{y}}.$

ตั้งแต่ค่าของปกติสมมาตร: $pdf$

Yการเทียบสิ่งนี้กับ $f_X(y)= F_X'(\sqrt{y})\,\frac{1}{\sqrt{y}}$ $pdf$ ของปกติ (ตอนนี้ในจะเท่ากับ $x$ $pdf$ $\sqrt{y}$ ที่จะเสียบเข้ากับ $e^{-\frac{x^2}{2}}$ ส่วนหนึ่งของปกติ ); และความทรงจำในรวม $pdf$ ในตอนท้าย: $\frac{1}{\sqrt{y}}$

f_{X} (y) = F_{X}^{'} (\sqrt{y}) \frac{1}{\sqrt{y}} = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{y}{2}} \frac{1}{\sqrt{y}} = \frac{1}{\sqrt{2 π}} e^{- \frac{y}{2}} y^{\frac{1}{2} - 1}

$f_X(y)= F_X'(\sqrt[]{y})\,\frac{1}{\sqrt[]{y}}= \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-\frac{y}{2}}\, \frac{1}{\sqrt[]{y}}=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\,e^{-\frac{y}{2}}\, y^{\frac{1}{2}- 1}$

เปรียบเทียบกับ pdf ของตารางไค:

f_{X} (x) = \frac{1}{2^{ν / 2} Γ (\frac{ν}{2})} e^{\frac{- x}{2}} x^{\frac{ν}{2} - 1}

$f_X(x)= \frac{1}{2^{\nu/2}\Gamma(\frac{\nu}{2})}e^{\frac{-x}{2}}x^{\frac{\nu}{2}-1}$

ตั้งแต่สำหรับdf เราได้รับ $\Gamma(1/2)=\sqrt{\pi}$ $1$ $pdf$ ของไคสแควร์ทุกประการ

ต่อไปหากเราเรียกฟังก์ชั่นprop.test()ในการวิจัยเราจะอัญเชิญเดียวกันทดสอบเช่นถ้าเราตัดสินใจ $\chi^2$ chisq.test()

คำถาม:

ดังนั้นฉันจึงได้รับคะแนนทั้งหมดเหล่านี้ แต่ฉันก็ยังไม่รู้ว่าการนำไปใช้กับการทดสอบสองครั้งจริงด้วยเหตุผลสองประการ:

การทดสอบ z ไม่ได้ยกกำลังสอง
สถิติการทดสอบจริงนั้นแตกต่างอย่างสิ้นเชิง:

ค่าของสถิติทดสอบสำหรับ $\chi^2$ คือ:

ที่ $\chi^2 = \sum_{i=1}^{n} \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i} = N \sum_{i=1}^n p_i \left(\frac{O_i/N - p_i}{p_i}\right)^2$

= สถิติการทดสอบสะสมของ Pearson ซึ่ง asymptotically ใกล้ถึงการแจกแจง = จำนวนการสังเกตประเภท ; = จำนวนการสังเกตทั้งหมด = = ที่คาดว่าจะ (ทฤษฎี) ความถี่ของประเภทถูกกล่าวหาโดยสันนิษฐานว่าส่วนของประเภทในประชากรที่อยู่ ; $\chi^2$ $\chi^2$ $O_i$ $i$ $N$ $E_i$ $N p_i$ $i$ $i$ $p_i$ $n$ = จำนวนเซลล์ในตาราง

ในทางกลับกันสถิติทดสอบสำหรับการทดสอบคือ: $z$

ด้วย $\displaystyle Z = \frac{\frac{x_1}{n_1}-\frac{x_2}{n_2}}{\sqrt{p\,(1-p)(1/n_1+1/n_2)}}$ โดยที่และเป็นจำนวน "ความสำเร็จ" เหนือจำนวนเรื่องในแต่ละระดับของตัวแปรเด็ดขาดเช่นและ $\displaystyle p = \frac{x_1\,+\,x_2}{n_1\,+\,n_2}$ $x_1$ $x_2$ $n_1$ $n_2$ 2

สูตรนี้น่าจะขึ้นอยู่กับการแจกแจงทวินาม

สองคนนี้สถิติการทดสอบที่แตกต่างกันอย่างชัดเจนและส่งผลให้ผลลัพธ์ที่แตกต่างสำหรับสถิติการทดสอบจริงเช่นเดียวกับP -values : 5.8481สำหรับและสำหรับ Z-test ที่ (ขอขอบคุณคุณ @ mark999 ) พี -value สำหรับทดสอบในขณะที่สำหรับ Z-ทดสอบ ความแตกต่างที่อธิบายโดยสองด้านเทียบกับหนึ่งด้าน: (ขอบคุณ @amoeba) $\chi^2$ 2.4183 $\small 2.4183^2=5.84817$ $\chi^2$ 0.015590.0077 $\small 0.01559/2=0.007795$

ดังนั้นในระดับใดที่เราบอกว่าพวกเขาเป็นหนึ่งเดียวกัน

chi-squared proportion z-test

— Antoni Parellada
แหล่งที่มา

แต่นี่เป็นการทดสอบสองแบบที่เหมือนกัน Z กำลังสองคือสถิติไคสแควร์ ให้คุณมีตารางความถี่ 2x2 ซึ่งคอลัมน์เป็นสองกลุ่มและแถวคือ "สำเร็จ" และ "ล้มเหลว" จากนั้นความถี่ที่คาดหวังที่เรียกว่าการทดสอบไคสแควร์ในคอลัมน์ที่กำหนดคือโปรไฟล์ (โดยกลุ่ม 'N) คอลัมน์เฉลี่ย (กลุ่ม)ถ่วงน้ำหนักคูณด้วย N ของกลุ่มนั้นดังนั้นจึงมาว่าไคสแควร์ทดสอบการเบี่ยงเบนของ แต่ละโปรไฟล์สองกลุ่มจากโปรไฟล์กลุ่มเฉลี่ยนี้ซึ่งเทียบเท่ากับการทดสอบโปรไฟล์ของกลุ่มที่แตกต่างจากกันคือการทดสอบ z ของสัดส่วน

— ttnphns

ในตัวอย่างของการเชื่อมโยงหลายมิติสุดท้าย

เกือบจะเป็นกำลังสองของสถิติการทดสอบ z แต่ไม่มากนักและค่า p แตกต่างกัน นอกจากนี้เมื่อคุณดูที่สูตรสำหรับสถิติที่เหลือด้านบนมันเป็นความจริงทันทีหรือไม่ที่พวกเขาเหมือนกัน? หรือแม้แต่หนึ่งจตุรัสของอีกอันหนึ่ง?

χ^{2}

$\chi^2$

— Antoni Parellada

ในchisq.test()มีคุณพยายามใช้correct=FALSE?

— mark999

อันโตนี การทดสอบทั้งสองมีอยู่โดยมีหรือไม่มีเยตส์ เป็นไปได้ไหมที่คุณคำนวณอันหนึ่งด้วย แต่อีกอันที่ไม่มีมัน?

— ttnphns

ขอขอบคุณ! คุณถูก (คาดการณ์) ถูกต้อง เมื่อปิดการแก้ไข Yates หนึ่งจะเป็นเพียงกำลังสองของอีกอัน ฉันแก้ไขคำถามตามนั้นแม้ว่าจะเร็วสักเล็กน้อย ฉันยังต้องการที่จะพิสูจน์เกี่ยวกับพีชคณิตว่าสถิติการทดสอบทั้งสองเหมือนกัน (หรือหนึ่งในสองของอื่น ๆ ) และเข้าใจว่าทำไมค่า p แตกต่างกัน

— Antoni Parellada

ให้เรามีตารางความถี่ 2x2 ที่คอลัมน์คือกลุ่มผู้ตอบสองกลุ่มและแถวคือคำตอบสองคำตอบ "ใช่" และ "ไม่" และเราได้เปลี่ยนความถี่ให้เป็นสัดส่วนภายในกลุ่มเช่นเป็นโปรไฟล์แนวตั้ง:

      Gr1   Gr2  Total
Yes   p1    p2     p
No    q1    q2     q
      --------------
     100%  100%   100%
      n1    n2     N

ปกติ (ไม่แก้ไข Yates) ของตารางนี้หลังจากที่คุณแทนสัดส่วนแทนความถี่ในสูตรของมันดูเหมือนว่า: $\chi^2$

n_{1} [\frac{(p_{1} - p)^{2}}{p} + \frac{(q_{1} - q)^{2}}{q}] + n_{2} [\frac{(p_{2} - p)^{2}}{p} + \frac{(q_{2} - q)^{2}}{q}] = \frac{n_{1} (p_{1} - p)^{2} + n_{2} (p_{2} - p)^{2}}{p q} .

$n_1[\frac{(p_1-p)^2}{p}+\frac{(q_1-q)^2}{q}]+n_2[\frac{(p_2-p)^2}{p}+\frac{(q_2-q)^2}{q}]= \frac{n_1(p_1-p)^2+n_2(p_2-p)^2}{pq}.$

จำไว้ว่า $p= \frac{n_1p_1+n_2p_2}{n_1+n_2}$ (p1,q1)(p2,q2)

. . . = \frac{(p_{1} - p_{2})^{2} (n_{1}^{2} n_{2} + n_{1} n_{2}^{2})}{p q N^{2}}

$...= \frac{(p_1-p_2)^2(n_1^2n_2+n_1n_2^2)}{pqN^2}$

$(n_1^2n_2+n_1n_2^2)$

\frac{(p_{1} - p_{2})^{2}}{p q (1 / n_{1} + 1 / n_{2})} = Z^{2},

$\frac{(p_1-p_2)^2}{pq(1/n_1+1/n_2)}=Z^2,$

the squared z-statistic of the z-test of proportions for "Yes" response.

Thus, the 2x2 homogeneity Chi-square statistic (and test) is equivalent to the z-test of two proportions. The so called expected frequencies computed in the chi-square test in a given column is the weighted (by the group n) average vertical profile (i.e. the profile of the "average group") multiplied by that group's n. Thus, it comes out that chi-square tests the deviation of each of the two groups profiles from this average group profile, - which is equivalent to testing the groups' profiles difference from each other, which is the z-test of proportions.

This is one demonstration of a link between a variables association measure (chi-square) and a group difference measure (z-test statistic). Attribute associations and group differences are (often) the two facets of the same thing.

(Showing the expansion in the first line above, By @Antoni's request):

$n_1[\frac{(p_1-p)^2}{p}+\frac{(q_1-q)^2}{q}]+n_2[\frac{(p_2-p)^2}{p}+\frac{(q_2-q)^2}{q}] = \frac{n_1(p_1-p)^2q}{pq}+\frac{n_1(q_1-q)^2p}{pq}+\frac{n_2(p_2-p)^2q}{pq}+\frac{n_2(q_2-q)^2p}{pq} = \frac{n_1(p_1-p)^2(1-p)+n_1(1-p_1-1+p)^2p+n_2(p_2-p)^2(1-p)+n_2(1-p_2-1+p)^2p}{pq} = \frac{n_1(p_1-p)^2(1-p)+n_1(p-p_1)^2p+n_2(p_2-p)^2(1-p)+n_2(p-p_2)^2p}{pq} = \frac{[n_1(p_1-p)^2][(1-p)+p]+[n_2(p_2-p)^2][(1-p)+p]}{pq} = \frac{n_1(p_1-p)^2+n_2(p_2-p)^2}{pq}.$

— ttnphns
แหล่งที่มา

@ttnphs This is great! Any chance you could clarify the intermediate step in the first equation (

χ^{2}

$\chi^2$ ) formula - I don't see how the

q

$q$ 's go away after the equal sign.

— Antoni Parellada

@ttnphs When I expand it I get

n_{1} [\frac{(p_{1} - p)^{2}}{p} + \frac{(q_{1} - q)^{2}}{q}] + n_{2} [\frac{(p_{2} - p)^{2}}{p} + \frac{(q_{2} - q)^{2}}{q}] = n_{1} (\frac{q (p^{2} + p (- 2 p_{1} - 2 q_{1} + p_{1}^{2}) + p (q^{2} + q_{1}^{2})}{p q}) + n_{2} (\frac{q (p^{2} + p (- 2 p_{2} - 2 q_{2}) + p_{2}^{2}) + p (q^{2} + q_{2}^{2})}{p q})

$n_1[\frac{(p_1-p)^2}{p}+\frac{(q_1-q)^2}{q}]+n_2[\frac{(p_2-p)^2}{p}+\frac{(q_2-q)^2}{q}]=n_1(\frac{q(p^2+p(-2p_1-2q_1+p_1^2)+p(q^2+q_1^2)}{pq})+n_2(\frac{q(p^2+p(-2p_2-2q_2)+p_2^2)+p(q^2+q_2^2)}{pq})$

— Antoni Parellada

@ttnphs ... Or some reference so it's less work to type the latex... And I'll promptly and happily 'accept' the answer...

— Antoni Parellada

@Antoni, expansion inserted.

— ttnphns

@ttnphns Awesome!

— Antoni Parellada